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出版者:北京大学出版社

作者:陈维桓

出品人:

页数:438

译者:

出版时间:2017-8-1

价格:38

装帧:平装

isbn号码:9787301286548

丛书系列:21世纪数学规划教材·数学基础课系列

图书标签:

• 数学
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• 微分几何
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• 微分几何
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探索无限可能：一段跨越时空的数学之旅 想象一下，我们置身于一个由线条、曲面和更高维度空间构成的宏伟宇宙。在那里，事物的形态并非一成不变，而是随着我们观察的角度、运动的轨迹而微妙地变化。我们如何捕捉并理解这些动态的美？又如何从最根本的尺度上描述这些复杂而迷人的形状？这正是我们即将展开的数学探索之旅所要触及的核心。 我们的旅程始于我们最熟悉的二维平面。在这里，我们早已熟练运用解析几何来描述点、线、圆等基本图形。然而，当我们将目光投向更广阔的天地，比如一个起伏的山峦表面，或者一个优雅的钟罩曲线，平面几何的工具便显得捉襟见肘。我们需要的，是一种能够审视局部曲率、理解切线方向、并能精确衡量弧长和面积的全新视角。 在本次旅程中，我们将潜心研究微分几何的精髓。它并非简单地堆砌公式，而是赋予我们一种全新的语言，一种能够“看透”曲面本质的语言。我们将学习如何运用微积分的强大力量，来剖析光滑的曲线和曲面。想象一下，一个蚂蚁在苹果表面爬行，它感受到的不仅仅是前方的道路，还有路面的倾斜度，以及周围环境的弯曲程度。微分几何正是提供了一个数学框架，让我们能够精确地量化这些“感受”，从而深入理解物体的局部性质。 首先，我们将聚焦于曲线。在三维欧几里得空间中，一条光滑的曲线就像一根漂浮在虚空中的细线。我们如何描述它在任意一点的“弯曲”程度？这里，“曲率”的概念便应运而生。通过引入法向量、主法线、挠率等一系列几何量，我们将能够精确地刻画曲线的弯曲和扭转的程度。这不仅仅是理论上的抽象，更在工程设计、航空航天等领域有着实际的应用。例如，设计一条安全高效的高速公路弯道，或是规划航天器在空间中的最优轨迹，都需要对曲线的几何性质有深入的理解。 接着，我们将目光转向更为广阔的曲面。曲面是三维世界的基础构成，从我们生活的建筑到浩瀚的宇宙星系，无处不在。在曲面上，我们面临着更为复杂的挑战。一个曲面在不同方向上的“弯曲”程度是不同的。我们将学习如何定义并计算高斯曲率和平均曲率。高斯曲率能够告诉我们一个点是凸起（如球面）、凹陷（如马鞍面）还是平坦（如平面）。而平均曲率则为我们提供了一个衡量曲面“膨胀”或“收缩”程度的指标。 理解曲面的局部性质，离不开切空间和法向量的概念。在曲面上的每一点，都存在一个与曲面垂直的法向量，它指示了曲面在该点的“朝向”。而切空间则是一个包含所有可能的切线向量的向量空间，它揭示了曲面在该点附近的“线性结构”。通过这些概念，我们将能够建立曲面与局部欧几里得空间的联系，从而将曲面上的复杂问题转化为相对简单的向量代数问题。 第二基本形式是理解曲面弯曲性质的关键工具。它捕捉了曲面上点的位置变化与曲面的局部形状之间的关系。通过对第二基本形式的分析，我们可以计算出曲面的高斯曲率和平均曲率，并进一步推断曲面的几何特性。例如，在一个曲面上，如果所有点的法曲率在所有方向上都相同，那么这个曲面就是一个均曲面。 当我们深入研究曲面的几何属性时，测地线的概念便显得尤为重要。测地线可以被看作是曲面上“最直”的路径，就像在平面上直线一样。它们是连接曲面上两点的最短路径（在局部范围内）。测地线的概念不仅与曲面的距离测量紧密相关，还在广义相对论等物理理论中扮演着核心角色，描述了物体在时空中的运动轨迹。 旅程的另一条重要脉络将围绕着流形展开。流形是微分几何研究的更一般化的对象，它可以看作是局部上看起来像欧几里得空间的“拓扑空间”。从一维的曲线，到二维的曲面，再到我们生活的三维空间，以及更高维度的抽象空间，它们都可以被看作是不同维度的流形。微分几何为我们提供了一种在流形上进行微积分运算的方法，这使得我们能够研究具有任意拓扑结构的“光滑”空间。 我们将学习如何定义流形上的切丛和余切丛，这些结构允许我们在流形上的每一点上定义向量场和微分形式。向量场可以被看作是作用在流形上每一点上的“箭头”，它们描述了流形上的“流动”或“变化”。而微分形式则是一种更抽象的数学对象，它们能够“测量”向量场在流形上的“积分”。 外微分是微分几何中一种强大的运算，它允许我们在流形上对微分形式进行“求导”。外微分在流形上推广了我们熟知的梯度、散度和旋度等概念，并与斯托克斯定理等一系列积分定理紧密联系。这些定理揭示了向量场或微分形式在流形上“局部”性质与其“整体”性质之间的深刻联系。 黎曼流形是我们研究的另一重要课题。黎曼流形是带有黎曼度量的流形。黎曼度量允许我们在流形上的每一点上定义内积，从而能够在流形上进行距离、角度、体积等的测量。这使得我们能够对曲面进行精确的几何度量，计算曲线的长度、曲面的面积，甚至定义曲面之间的距离。曲率张量是描述黎曼流形几何性质的核心对象，它包含了关于流形弯曲的信息。 当我们深入研究曲率时，里奇曲率和斯凯勒曲率等概念将帮助我们理解流形整体的“平均弯曲”程度。这些曲率的概念在物理学中扮演着至关重要的角色，例如，爱因斯坦的广义相对论就将引力描述为时空的弯曲，而这种弯曲正是通过黎曼流形的曲率来刻画的。 本次旅程并非只停留在理论的海洋，我们也将尝试去理解这些抽象概念的直观意义。我们将通过几何直观来理解曲率的概念，并通过具体的例子来体会测地线的性质。例如，地球表面上的大圆航线就是测地线的一个生动体现。 微分几何的智慧，潜藏在对世界万物形态变化的深刻洞察之中。它帮助我们理解从微观世界的晶体结构，到宏观宇宙的运行规律。它提供了一种超越直觉的数学工具，让我们能够精确地描述和分析那些复杂而美丽的几何现象。 踏上这段数学之旅，你将获得一双能够“看见”无限可能性的眼睛。你将学会用全新的语言去阅读和理解自然界的奥秘，去感受数学之美在形态变幻中的无限魅力。准备好，一同探索这个由线条、曲面和更高维度空间交织而成的迷人世界吧！

评分☆☆☆☆☆

比较一般的微分几何教材...首先，比较初步，其次，example都不太好。我现在觉得写得最好的一本微分几何教材是Phelippe G Ciarlet的Lecture Notes，在我们学校LBJ数学中心的网站上可以下载

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评分☆☆☆☆☆

说实话，刚翻开这本书的时候，我差点被那密密麻麻的符号给劝退了。这哪里是书，分明是一本暗号大全！但硬着头皮读下去后，才发现这作者真是个“鬼才”。他似乎有一种魔力，能把原本枯燥到让人想打瞌睡的推导过程，描述得像是一场精彩的推理剧。每一次定理的证明，都充满了悬念和转折，让你忍不住想知道“下一步会发生什么”。我尤其欣赏它对历史背景的穿插介绍，让你明白这些伟大的数学思想是如何在历史长河中孕育、发展、相互影响的。这使得学习不再是机械的记忆，而更像是一场与已逝伟大思想家的对话。我常常在想，作者在构思这些章节时，该是经历了多少次的推敲和打磨，才能将如此庞大的知识体系组织得如此错落有致。虽然有些章节我需要反复阅读好几遍才能勉强跟上节奏，但一旦理解了其中的精髓，那种成就感是无与伦比的。这本书的深度，足以让一个初学者感到敬畏，也足以让一个专业人士发现新的视角。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书的瞬间，我被它那沉稳大气的封面设计所吸引。它不像那些花哨的畅销书，它散发着一种历经岁月沉淀的学术气息。内容上，我认为它最大的优点在于其广博的覆盖面，几乎囊括了该领域从经典到前沿的方方面面。作者似乎并不急于展现自己有多么高深，而是耐心地引导读者，从最基础的拓扑概念开始，一步步建立起对现代几何学的直观认识。我尤其喜欢它对不同流派思想的平衡处理，没有偏袒某一种特定的数学哲学，而是客观地呈现了各种工具和方法的适用范围。书中插图虽然不多，但每一张都恰到好处，精准地描绘了难以想象的高维空间结构，是视觉化理解的绝佳帮手。读完这本书，我感觉自己仿佛掌握了一套新的“语言”，可以用更精确、更优雅的方式来描述和分析我们周围的世界，那种思维上的提升，比单纯记住几个公式要宝贵得多。

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这本书的阅读体验简直是“爱恨交织”。它就像一个严厉的导师，绝不姑息任何偷懒的行为。你必须带着笔和草稿纸，随时准备停下来验证每一个步骤。如果只是走马观花地浏览，那基本上等于白看，因为它对读者的预备知识要求非常高，每一个章节的衔接都紧密得像锁链一样，少一个环节都会导致后面的内容完全脱节。但正因为这种近乎苛刻的严谨性，我才敢相信书中的每一个结论。我发现自己很少需要查阅外部资料来补充理解，因为作者已经把所需的铺垫工作做到了极致。特别是那些证明过程，简直是艺术品，逻辑链条的每一个扣子都扣得天衣无缝，让人不得不叹服人类智力的极限。这本书更像是一本“工具箱”，而不是“速成手册”，它给予你的不是快速答案，而是解决问题的完整方法论。我建议所有想深入研究相关领域的同仁，把它放在手边，时不时地翻阅，每次都会有新的感悟。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是数学界的“百科全书”，厚得都能当枕头用了！我拿到手的时候，光是掂量分量就感受到了作者的诚意——满满的干货，每一页都散发着知识的芬芳。我特别喜欢它对基础概念的深入剖析，那种层层递进的逻辑推导，就像是在搭建一座精美的数学大厦，每块砖石都打磨得一丝不苟。读起来虽然需要极大的专注力，但那种豁然开朗的感觉，绝对值回票价。它不是那种浮光掠影的科普读物，而是真正扎根于严谨数学体系的著作。我感觉自己像个探险家，在作者构建的复杂地图上，每解开一个公式，就点亮了一片新的大陆。尤其是一些比较抽象的概念，作者总是能找到巧妙的比喻和例子来辅助理解，让人感觉即使是高深的理论，也不是遥不可及的空中楼阁。这本书的排版设计也值得称赞，字体清晰，图示直观，这对于阅读这种需要高度视觉辅助的学科来说至关重要。看完后，我感觉自己的思维框架都被重塑了，看问题的方式都变得更加立体和深入了。

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坦白说，这本书的阅读门槛相当高，但正是这种高度的专业性，让它在同类书籍中脱颖而出。它摒弃了一切花架子，直奔核心，用最纯粹的数学语言进行阐述。我发现自己常常需要停下来，仔细揣摩一个看似简单的定义，因为其中可能蕴含着后面几十页内容的基石。作者的写作风格非常内敛而有力，几乎没有冗余的文字，每一个词语的选用都经过了深思熟虑，充满了数学家特有的精确性。这本书给我的感觉是，它不是在“教”你知识，而是在“邀请”你去亲身“发现”这些知识。它挑战了我的理解极限，迫使我跳出原有的思维定式，去接纳那些反直觉但逻辑自洽的数学真理。对于那些真正热爱并致力于探索理论深度的人来说，这本书无疑是一份无价的财富，它会是你书架上那本被翻阅次数最多、书页边角被标记得最多的“圣经”级别的参考书。

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补标记。经典教材。

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补标记。经典教材。

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有的观点比较老了，但很清楚形象

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补标记。经典教材。

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补标记。经典教材。