非线性偏微分方程引论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:清华大学

作者:郭玉翠

出品人:

页数:284

译者:

出版时间:2008-3

价格:29.00元

装帧:

isbn号码:9787302167402

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 1
• 偏微分方程
• 非线性
• 数学分析
• 数值分析
• 高等教育
• 学术
• 理论
• 应用
• 科学计算
• 数学模型

好的，这是一份关于一本名为《非线性偏微分方程引论》的书籍的详细简介，其中不包含该书内容的具体描述： --- 书籍简介：解析数学的广袤疆域 本书旨在为读者构建一个坚实的数学基础，重点聚焦于解析方法在处理复杂系统和现象时的应用。全书涵盖了从基础分析到高级拓扑结构等一系列核心概念，为理解现代科学与工程中的关键问题提供了必备的数学工具箱。 第一部分：基础分析与度量空间 本部分首先深入探讨了经典分析学的基石。我们将从勒贝格积分理论的严谨构建入手，详细阐述其相对于黎曼积分的优越性，特别是在处理有界函数序列的极限问题时。内容包括测度、可测函数、积分的定义与性质，以及Fubini定理在多重积分中的应用。 随后，我们将转向度量空间的抽象框架。读者将学习如何从直观的欧几里得空间概念推广到更一般的拓扑结构。重点讨论了完备性、紧致性、以及收敛的概念。完备空间，特别是巴拿赫空间，作为函数分析的起点，其结构将被细致剖析。我们将通过大量的例子说明，例如$L^p$ 空间如何作为处理函数积分的最佳环境。本节的难点在于理解抽象范数和拓扑结构如何反映物理现象中的稳定性与收敛性。 第二部分：泛函分析的视角 泛函分析是连接几何、代数与分析学的桥梁。本章将侧重于线性算子的研究。我们首先介绍有界线性算子的性质，以及算子范数的定义。随后的章节将聚焦于自伴算子和紧算子。自伴算子的谱理论是连接算子代数与微分方程解的性质的关键，它揭示了为什么某些物理量（如能量）在数学上表现出实值特性。 紧算子的研究，特别是其特征值问题的分析，为理解无穷维空间中的解提供了重要线索。我们将探讨谱的离散性，以及如何利用希尔伯特-施密特展开来分解复杂的函数空间。此外，线性泛函与Riesz表示定理的讨论，将为后续处理变分原理和优化问题奠定基础。 第三部分：变分法与能量最小化 变分法提供了一种基于能量或作用量最小化的方法来推导物理规律的强大工具。本部分详细介绍了欧拉-拉格朗日方程的推导过程，并将其推广到更复杂的约束条件下。核心内容围绕泛函的可微性（泛函导数）展开，这要求读者对链式法则在无穷维空间中的推广有深刻理解。 我们将探讨极值原理在经典力学和光学中的具体应用。一个重要的主题是直接法（Direct Method in the Calculus of Variations），它依赖于能量泛函的下半连续性和序列的弱收敛性来证明极小解的存在性。读者将熟悉Weierstrass 极小化理论的基本思想，并了解为什么在许多物理模型中，解的存在性依赖于能量的“良好”行为。 第四部分：分布与傅里叶分析 为了有效处理不连续的解或在广义意义上理解微分运算，引入了分布（或广义函数）的概念。本章将严谨定义测试函数空间$mathcal{D}$和分布空间$mathcal{S}'$，并展示如何利用极限操作来定义导数、卷积等基本运算。分布理论的优势在于，它允许我们将经典微分方程转化为在更广阔空间中的代数关系，从而极大地拓宽了解的范围。 在此基础上，傅里叶变换作为一种强大的分析工具被引入。我们重点研究傅里叶变换在$L^2$空间上的酉性，以及它如何将微分运算转化为乘法运算。Plancherel 定理和 Schwartz 空间在傅里叶分析中的作用被详细阐述。这一工具对于分析偏微分方程的解的平滑性和周期性至关重要。 第五部分：偏微分方程的解析理论基础 本部分转向偏微分方程（PDE）本身的结构分析，着重于理解方程的分类和基础解的构造。我们将首先根据二阶常系数线性PDE的特征方程，对椭圆型、抛物型和双曲型方程进行严格分类。 对于椭圆型方程（如拉普拉斯方程），重点在于调和函数的性质，包括最大值原理和具有边界值的唯一性。对于抛物型方程（如热传导方程），我们将探讨其解的平滑性如何随着时间演化而增强，并分析基本解（格林函数）的构造。对于双曲型方程（如波动方程），我们将侧重于特征线理论和能量守恒律，理解信息如何在系统中传播。 在解的构造方面，本章详细介绍了傅里叶变换和拉普拉斯变换在求解特定边界值问题中的实际操作流程，以及格林函数方法在系统性地找到任意源项下的解时的优雅性。 第六部分：半群理论与演化方程 本部分关注时间演化问题，即动力系统的数学描述。半群理论是分析常微分方程（ODE）的推广，它将解的演化视为作用在初始状态空间上的算子序列。我们将介绍生成元（Infinitesimal Generator）的概念，并阐述Hille-Yosida定理，该定理给出了一个有界线性算子生成强连续半群的充要条件。 半群理论的强大之处在于，它能够统一处理许多不同类型的演化方程，如抛物型方程，通过将时间演化视为无限小的步长迭代。本章将详述算子半群的性质，包括平滑性、扩张性以及如何利用其来构造解的长时间行为。 结语 本书的编写遵循由具体到抽象，再由抽象回归具体的原则，旨在帮助读者在严格的数学框架内，掌握处理复杂连续系统的核心分析技巧。全书的论证力求严密，并辅以丰富的数学物理背景示例，以期为后续深入研究打下坚实的基础。 ---

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