广义似变分不等式解的存在性和算法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:大连理工大学出版社

作者:赵亚莉，钱伟懿，

出品人:

页数:144 页

译者:

出版时间:2008年1月1日

价格:12.00元

装帧:平装

isbn号码:9787561139813

丛书系列:

图书标签:

• 广义似变分不等式
• 变分不等式
• 数值解
• 算法
• 优化
• 非线性分析
• 存在性
• 解的存在性
• 数学模型
• 应用数学

好的，这是一份关于一本假设名为《广义似变分不等式解的存在性和算法》之外的、但主题相关的书籍简介。由于您的要求是不包含该特定书籍的内容，我将聚焦于广义、似变分不等式理论背景下，但内容侧重于其应用、数值方法、特定领域引申等方面的书籍的详细介绍。 --- 书名：《非线性泛函分析与优化：理论前沿与计算实现》 内容简介 本书深入探讨了非线性泛函分析在现代数学、工程科学与经济管理领域中的前沿应用与计算挑战。它旨在弥合纯粹的数学理论与复杂工程问题的实际需求之间的鸿沟，为研究人员、高级学生及应用数学家提供一个全面、深入的知识框架。 本书结构清晰，首先回顾了现代变分理论的基础——特别是勒贝格积分、希尔伯特空间和巴拿赫空间理论的最新进展。核心章节聚焦于非线性泛函分析在解决极端非凸问题时的局限性与新的突破口。我们详尽讨论了单调算子理论的扩展，包括广义的拓扑可微性概念，以及在无限维空间中应用布朗不动点定理和山路定理来证明解的存在性。 第一部分：理论基础的深化与重构 本部分从基础理论出发，但强调了对传统框架的批判性继承。我们详细分析了Sobolev空间的高阶结构，特别是当解的存在性依赖于边界条件和源项的正则性时所面临的挑战。重点讨论了变分极限的概念，这对于分析由偏微分方程（PDEs）退化到积分方程或混合型方程时的稳定性至关重要。 一个关键的创新点在于对非凸能量泛函的处理。书中引入了新的广义极小值原理，该原理不再严格要求函数空间满足某些光滑性假设，而是利用度量空间上的微分（如Gross积分或Bochner积分）来定义梯度，从而拓宽了可以处理的问题范围，尤其适用于图像恢复、材料科学中的相场模型等领域。 第二部分：新型算子理论与稳定性分析 传统不动点理论在处理高维、强非线性系统时往往失效。本书的第二部分着重于非紧算子理论的最新进展。我们详细阐述了Measure of Noncompactness（非紧测度）方法，并将其应用于证明随机微分方程解的存在性，这些方程在金融工程和生物动力学模型中至关重要。 此外，本书对迭代算法的收敛性进行了深入的理论分析。我们考察了投影梯度方法、次梯度方法在处理具有非光滑约束的优化问题时的全局收敛性，并引入了基于连续分析的扰动理论，用于评估输入数据微小变化对解的敏感度。对于解的稳定性，我们提出了新的指数稳定判据，该判据基于算子在无穷小扰动下的特征值分析，为工程设计提供了更可靠的依据。 第三部分：数值实现与计算挑战 理论的价值最终体现在其计算可行性上。本部分将重点转向大型非线性系统的数值求解策略。 有限元方法的推广： 我们不局限于标准的Galerkin方法，而是深入探讨了混合有限元方法在处理涉及散度约束（如Navier-Stokes方程或弹性力学）时的优势。特别地，书中详细介绍了如何构造稳定化技术（如SUPG、PSPG）来克服高雷诺数或小尺度效应带来的数值震荡问题，这对于计算流体力学（CFD）至关重要。 基于梯度的优化算法的加速： 针对高维优化问题，本书介绍了牛顿法的各种预处理技术，包括Krylov子空间方法（如GMRES的非线性扩展）以及拟牛顿方法（如BFGS、L-BFGS）在处理大规模稀疏系统时的优化实现。书中提供了一套完整的算法框架，用于解决涉及非凸约束集的二次规划和半定规划的近似解法。 机器学习与变分问题的融合： 这是一个新兴的研究热点。书中探讨了如何利用深度神经网络来近似复杂的非线性算子，从而实现对PDEs的快速求解（Physics-Informed Neural Networks, PINNs的理论基础）。我们分析了使用这些网络作为变分问题的试函数空间的可行性，并讨论了这种方法的误差估计和正则化策略。 第四部分：特定应用领域的深入剖析 本书最后一部分将理论和算法应用于具体的前沿领域： 1. 材料科学与相场模型： 分析具有非局部相互作用的演化方程，如Cahn-Hilliard方程的推广形式，并讨论其在微观结构演化模拟中的应用。 2. 图像处理与逆问题： 探讨Total Variation (TV) 最小化的泛函理论基础，以及如何利用更高级的正则化项（如各向异性正则化）来恢复具有复杂纹理的图像。 3. 控制理论与最优设计： 考察无穷维Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的解的性质，并提出基于动态规划的数值方法来确定最优控制策略。 总结 《非线性泛函分析与优化：理论前沿与计算实现》旨在为读者提供一个严谨而实用的知识体系，连接了抽象的数学概念与现实世界中的复杂工程优化难题。本书对理论推导的严密性与计算实现的有效性并重，是高级研究人员和致力于解决复杂非线性问题的工程师不可或缺的参考手册。全书配有丰富的数学推导和可复现的数值算例，确保读者能够真正掌握理论并应用于实际研究中。

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