具体描述
《经济类院校基础课程本科系列教学辅导书·线性代数习题解答》是根据西南财经大学出版社的经济应用数学基础《线性代数》一书中的习题编写的。我们对《线性代数》中的全部习题作出了解答，可供广大选用该书的师生、自学者和准备报考经济类硕士研究生的考生使用。
经典力学导论：从牛顿定律到拉格朗日方程 图书简介 本书旨在为物理学、工程学及相关领域的研究者和高年级本科生提供一个系统、深入且富有洞察力的经典力学基础。它不仅仅是牛顿力学的简单重复，而是一次从宏观运动规律到微观作用机制的深刻探索，最终导向更具普适性和结构美感的分析力学框架。 第一部分：牛顿力学与运动学的基石 (The Newtonian Foundation) 本部分着重回顾并深化对牛顿运动定律的理解，强调其在不同参考系中的适用性与局限性。 第一章：运动学的几何与坐标变换 本章从运动学的基本概念入手，包括位移、速度和加速度的矢量表示。我们详细探讨了不同参考系之间的运动学变换，特别是惯性系与非惯性系（如匀速旋转系）之间的关系。非惯性系中的惯性力（如科里奥利力和离心力）被引入，为后续分析奠定了必要的背景。坐标系的选择，如笛卡尔坐标系、柱坐标系和球坐标系，及其对应的速度和加速度的微分形式，将进行详尽的推导和对比分析。重点在于理解如何利用这些变换来简化复杂运动的描述。 第二章：牛顿定律的严格表述与守恒量 牛顿第二定律 $mathbf{F} = mmathbf{a}$ 在本章中被提升到更抽象的层面，重点讨论了力的概念——它是系统间相互作用的度量，而非一个先验存在的实体。本章核心在于对三大守恒定律——动量守恒、角动量守恒和能量守恒——的严格推导及其物理意义的阐释。动量定理与冲量的关系，角动量相对于任意参考点的守恒条件，以及功和势能的定义，都将得到细致的几何和微积分论证。通过分析保守力场中的运动，为后续的势能概念的推广做铺垫。 第三章：振动与波动现象 本章聚焦于一维系统的典型受力情况。我们首先深入分析简谐振动（SHM），包括其解析解、相位和共振现象。随后，引入阻尼振动和受迫振动，通过复数解法和稳态分析，清晰展示阻尼对系统响应的影响。在波动方面，本章将简要介绍一维波动方程的求解，特别是傅里叶分析在分析周期性边界条件下的振动模式中的应用。 第二部分：刚体动力学与进阶应用 (Rigid Body Dynamics and Advanced Topics) 本部分将理论框架扩展到多粒子系统和具有内自由度的物体。 第四章：刚体运动学的描述 刚体运动是三维空间中运动学最复杂的课题之一。本章详细介绍了描述刚体姿态的数学工具，包括旋转矩阵和欧拉角。欧拉角的选择及其“万向节死锁”问题将被批判性地讨论。对刚体转动的描述，特别强调了瞬时旋转轴的概念。本章为理解角动量和转动惯量奠定了数学基础。 第五章：刚体动力学与转动惯量 转动惯量（惯性张量）的计算，特别是主轴的确定及其对角化过程，是本章的重点。转动惯量的定义、平行轴定理和斯泰纳定理将得到充分证明。本章随后将推导牛顿-欧拉方程（刚体绕固定轴的转动方程和绕质心的运动方程）。通过实际案例，如陀螺仪的进动和章动，展示分析刚体运动的强大工具。 第六章：中心力问题与轨道力学 中心力场（如万有引力）是经典力学中一个极其重要的简化模型。本章将利用角动量守恒原理，将二维中心力问题降维为有效的一维径向运动问题。开普勒定律的严格推导将是核心内容。通过有效势能的概念，我们将分析各种轨道（椭圆、抛物线、双曲线）的形成条件，并引入微扰理论来初步探讨非理想引力场下的轨道修正。 第三部分：分析力学——拉格朗日体系 (Analytical Mechanics) 本部分标志着从基于力的牛顿体系向基于能量和变分原理的拉格朗日体系的跨越。这是理解现代物理学不可或缺的一步。 第七章：变分原理与达朗贝尔原理 本章从变分法的基础——泛函及其变分——开始。我们详细阐述了对任意一条运动路径的变分概念。随后，达朗贝尔原理被引入，它将动力学问题转化为准静态问题，为构建更简洁的力学表述提供了逻辑跳板。 第八章：拉格朗日量与欧拉-拉格朗日方程 本章的核心是构建拉格朗日函数 $L = T - V$（动能减去势能），并严格推导由最小作用量原理（或称哈密顿原理）导出的欧拉-拉格朗日方程。通过对约束的巧妙处理，我们将展示拉格朗日力学如何自然地规避了约束力的复杂性。本章包含大量关于单摆、双摆和耦合振子等经典系统的拉格朗日力学处理实例。 第九章：约束、广义坐标与守恒律的再发现 广义坐标的概念及其在描述复杂系统中的优越性将被深入讨论。我们将重访牛顿力学中的守恒量，但这次是通过拉格朗日量，应用诺特定理（Noether's Theorem）的初级形式来证明：系统的每一种连续对称性都对应着一个守恒量。例如，时间平移不变性对应能量守恒，空间平移不变性对应动量守恒。这将为理解物理定律的普适性提供深刻的哲学和数学基础。 第十章：小振动理论与正则变换导论 对于多自由度系统，当系统偏离平衡位置足够小时，我们将利用拉格朗日方程进行线性化处理，导出耦合的二阶微分方程组。通过坐标变换（特征值问题求解），将系统解耦，确定系统的简正坐标和简正频率。最后，本章将以简短的篇幅介绍哈密顿力学的开端——正则变换的概念，为更高级的理论物理学习埋下伏笔。 本书的特色在于其严谨的数学推导和对物理图像的深刻剖析相结合，力求使读者不仅知其“然”（如何计算），更知其“所以然”（为何如此）。全书结构层层递进，从基础概念到高级分析工具，为读者构建起一座坚实的经典力学知识体系。
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