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《21世纪高等院校计算机系列规划教材•数据库原理及应用》以关系数据库为重点，全面、系统地介绍了数据库系统的基本概念、基本原理、基本方法以及有关应用。为了配合教学与自学，《21世纪高等院校计算机系列规划教材•数据库原理及应用》每章均配有适量习题，附录中还提供了Microsoft SQL Server 2000简明教程和面向教学的实验指导书。
算法设计与分析：理论基础与实践应用 第一部分：算法基础与复杂度理论 第一章 算法概述与分析基础 本章旨在为读者建立对算法的清晰认知，并引入科学衡量算法效率的工具。我们将从算法的定义、特性（如正确性、可执行性、有限性、输入与输出）入手，探讨算法设计的基本思想，包括分而治之、贪心策略和动态规划的初步概念。 核心内容集中在算法分析的理论基石上。我们将深入剖析时间复杂度和空间复杂度的概念，区分最坏情况、最好情况和平均情况分析。重点讲解渐近符号（大O记法 $O$、小o记法 $o$、大Ω记法 $Omega$、小ω记法 $omega$ 和 $Theta$ 记法）的数学定义、使用规则及其在描述算法性能界限中的关键作用。通过实例（如线性搜索和二分搜索）对比不同增长率函数的性能差异。 第二章 递归与主定理 递归是算法设计中一种强大而优雅的工具，本章系统地探讨递归算法的构建与分析方法。我们将首先回顾数学归纳法在证明算法正确性方面的应用。随后，重点介绍如何将递归过程转化为递归关系式（Recurrence Relations）。 理论分析部分，我们将详细推导并应用主定理（Master Theorem），这是求解特定形式分治算法递归关系式的快速有效工具。读者将学习如何识别和匹配主定理的三种情况，并理解其背后的数学原理。此外，还将探讨更通用的替换法（Substitution Method）和递归树法（Recursion Tree Method），以应对不完全符合主定理标准形式的复杂递归问题。通过对快速排序和合并排序的深度分析，巩固所学知识。 第三章 排序算法的深度探究 排序是计算机科学中最基础也最经典的问题之一。本章不仅回顾基础排序（如插入排序、选择排序），更侧重于高性能比较排序算法的原理、实现细节和性能瓶颈分析。 我们将详细分析合并排序（Merge Sort），强调其稳定的 $O(n log n)$ 时间复杂度，并探讨其在外部排序中的应用潜力。快速排序（Quick Sort）的分析将聚焦于主元（Pivot）选择策略的重要性，对比随机选择与固定选择的性能差异，并引入“期望线性时间”的概念。 随后，转向非比较排序算法。详述计数排序（Counting Sort）、基数排序（Radix Sort）和桶排序（Bucket Sort）的工作机制，分析它们在特定数据约束下如何突破 $Omega(n log n)$ 的下限，达到线性时间复杂度。最后，讨论堆（Heap）结构及其作为优先队列的实现，并基于堆构建堆排序（Heap Sort），分析其原地排序的特性。 第二部分：核心算法范式与应用 第四章 线性时间选择与中位数问题 在许多数据处理场景中，我们不仅需要排序，更需要快速找到一组数据中的第 $k$ 小元素（选择问题）。本章专注于线性时间的选择算法。 首先，我们将介绍基于快速排序思想的快速选择（Quickselect）算法，分析其平均 $O(n)$ 时间复杂度，并探讨最坏情况下的性能问题。随后，引入中位数的中位数（Median of Medians）算法，详细推导其保证线性时间 $O(n)$ 的机制，这是算法设计中一个重要的理论里程碑，展示了如何通过精巧的枢轴选择策略来消除最坏情况的风险。 第五章 图论算法I：基础遍历与最短路径 图论是建模复杂关系系统的核心工具。本章建立图的数学表示（邻接矩阵与邻接表）和基本操作。 核心算法包括图的两种深度遍历方法：广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）。我们将阐述这两种遍历在连通性判断、拓扑排序以及寻找无权图最短路径中的应用。 随后，深入探讨单源最短路径问题。详细分析迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）的工作原理、数据结构选择（优先队列的优化）以及其在不存在负权边的图中的适用性。 第六章 图论算法II：多源最短路径与最小生成树 本章扩展图论的应用范围，处理更复杂的路径问题和结构优化问题。 我们将分析贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm），理解其如何处理图中的负权边，并具备负权环检测的能力，分析其时间复杂度结构。对于所有对之间最短路径问题，我们将系统学习弗洛伊德-沃夏尔算法（Floyd-Warshall Algorithm），探讨其动态规划的本质以及矩阵乘法在其中的体现。 在图的结构优化方面，本章详细介绍最小生成树（MST）的概念。对比并实现两种经典算法：普里姆算法（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm），分析它们在不同图结构（稠密图与稀疏图）下的效率差异，以及贪心选择在构建MST中的有效性。 第三部分：高级设计范式与计算界限 第七章 贪心算法：局部最优与全局最优 贪心算法的设计依赖于一个核心假设：贪心选择性质（Greedy Choice Property）和最优子结构。本章旨在教授如何识别适合贪心策略的问题。 我们将通过经典案例，如霍夫曼编码（Huffman Coding）——一种高效的无损数据压缩技术，来展示贪心策略的威力。分析其如何通过构建最优前缀码树实现最优编码。此外，还将探讨区间调度问题和最小激活时间问题，这些问题完美诠释了贪心方法在解决资源分配问题上的直观性和高效性。 第八章 动态规划：最优子结构与重叠子问题 动态规划（DP）是解决具有最优子结构和重叠子问题特征问题的强大工具，它通过自底向上或自顶向下（带备忘录）的方式避免重复计算。 本章将系统地梳理动态规划的设计流程：定义最优解的结构、找到递推关系式、确定计算顺序。深入分析的关键应用包括： 1. 最长公共子序列（LCS）：理解其矩阵填充过程和回溯路径。 2. 背包问题（Knapsack Problem）：重点解析0/1背包和有界背包问题的DP解法。 3. 矩阵链乘法（Matrix Chain Multiplication）：展示如何优化计算顺序以最小化乘法次数。 第九章 NP完全性理论入门 本章将引导读者进入计算复杂性理论的前沿。我们首先定义可判定问题（Decision Problems），并引入多项式时间（P）类，即可以在多项式时间内解决的问题集合。 核心概念是非确定性图灵机（NTM）和NP（Non-deterministic Polynomial time）问题类，即可以在多项式时间内验证解的问题集合。我们将详细讲解多项式时间归约（Polynomial-time Reduction）的概念，这是证明一个问题难度的核心技术。 最后，介绍NP-完全（NP-Complete）问题的概念，并深入分析第一个被证明的NP完全问题——可满足性问题（SAT），以及其他重要的NP完全问题，如图着色问题、哈密顿回路问题和子集和问题。理解为什么找到这些问题的多项式时间解是当前理论计算机科学的重大挑战。 第四部分：高级主题与实用技术 第十章 摊还分析与数据结构性能 为更精确地评估涉及动态结构操作的算法性能，本章引入摊还分析（Amortized Analysis）。它关注一系列操作的总成本，而非单个操作的最坏成本。 我们将讲解摊还分析的三种主要技术：聚集法（Aggregate Method）、势能法（Potential Method）和核算法（Accounting Method）。通过这些方法，我们将精确分析动态数组（如ArrayList或Vector）的底层数组扩容操作的摊还时间复杂度，以及斐波那契堆（Fibonacci Heap）中关键操作的性能优势。 第十一章 字符串匹配算法 字符串匹配是信息检索和生物信息学中的常见任务。本章专注于超越朴素匹配算法的先进技术。 重点解析Knuth-Morris-Pratt (KMP) 算法，理解其如何利用前缀函数（Prefix Function）或失配函数预处理模式串，从而避免在匹配过程中不必要的回溯，实现 $O(m+n)$ 的线性时间复杂度。随后，介绍Boyer-Moore 算法的核心思想，特别是“坏字符规则”和“好后缀规则”，这些规则使得Boyer-Moore在实际应用中通常比KMP更快。 第十二章 近似算法与启发式方法 面对NP难问题，精确求解往往不切实际。本章介绍在保证一定解的质量前提下，快速找到“足够好”解的策略。 我们将讨论近似算法（Approximation Algorithms）的概念，特别是近似比（Approximation Ratio）的定义。通过实例分析，如旅行商问题（TSP）的2-近似算法（基于MST），展示如何利用多项式时间算法在理论上给出解质量的保证。同时，简要介绍局部搜索（Local Search）和模拟退火（Simulated Annealing）等启发式方法，它们在实践中常用于优化复杂问题的解空间探索。
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