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出版者:碁峰

作者:John A. Dossey

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页数:0

译者:林信男

出版时间:2004

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isbn号码:9789867594990

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探索未知：一本关于计算世界奥秘的指南 在这本深入浅出的读物中，我们将一同踏上一段关于“计算”这个看似简单实则深邃的概念的探索之旅。我们关注的并非某个具体的软件或硬件，也不是某一种编程语言的语法，而是隐藏在所有这些技术背后的、抽象而强大的逻辑与结构。这本书旨在揭示那些构成现代数字世界基石的普遍性原理，让你以一种全新的视角审视那些我们习以为常的技术现象。 我们将从“什么是计算？”这个最根本的问题出发。这不仅仅是关于计算机如何执行指令，更是关于信息如何在离散的实体中被表示、被操作、被传递。我们将探讨信息论的基本思想，理解比特（bit）这一最基础的信息单位的意义，以及它们如何组合成更复杂的结构。我们会思考，在最原始的意义上，数字信号是如何反映现实世界的？比如，一张图片，一个声音，一段文字，它们在计算机内部究竟是以何种形式存在的？我们不会直接进入数据结构的细节，但会先建立一种对“离散化”这一过程的直观理解：如何将连续的、模拟的世界转化为计算机可以处理的、可数的、离散的元素。 接着，我们将步入“逻辑的语言”。逻辑是构建一切计算思维的骨架。我们将从最基础的命题逻辑（propositional logic）开始，学习如何使用真值表来分析简单陈述的真伪关系，理解“与”（AND）、“或”（OR）、“非”（NOT）、“蕴含”（IMPLICATION）等逻辑运算符的含义。我们会看到，这些简单的逻辑门是如何构成复杂计算的基石的。随后，我们将进一步探索谓词逻辑（predicate logic），它允许我们表达更具普遍性的陈述，比如“对于所有X，如果X是猫，那么X有毛发”。这将帮助我们理解如何用更精确、更强大的语言来描述和推理问题，这种能力在算法设计和程序验证中至关重要。我们还会触及一些逻辑推理的基本规则，例如归谬法（proof by contradiction）和数学归纳法（mathematical induction），这些方法不仅是逻辑严谨性的体现，也是解决许多计算问题的有效工具。 本书的第三部分将聚焦于“结构的艺术”。计算并非杂乱无章的指令堆砌，而是建立在精妙的结构之上。我们将深入研究关系（relations）的概念。什么是两个集合之间的关系？在集合论的框架下，这些关系如何被定义和描述？例如，集合A到集合B的关系，我们可以将其看作是A的元素与B的元素之间的一种配对方式。我们将探讨关系的各种性质，比如自反性（reflexivity）、对称性（symmetry）、传递性（transitivity）。这些性质在理解数据库的连接操作、图算法的设计乃至程序的状态转移中都扮演着核心角色。 在结构的研究中，函数（functions）将是另一大亮点。它不仅仅是代数中的一个概念，在计算中，函数是处理信息的核心模型。我们将从集合论的角度来定义函数，理解函数的定义域（domain）和值域（domain），以及一一对应（bijection）、单射（injection）和满射（surjection）等重要的函数性质。我们将看到，一个程序的执行过程，本质上就是一系列函数的复合与应用。理解函数的特性，对于分析程序的效率、设计递归算法以及理解高级编程语言中的函数式编程范式至关重要。 紧接着，我们将探寻“有序的世界：序列与计数”。数据往往是带有顺序的，或者我们可以赋予它顺序。我们将讨论序列（sequences）的概念，它们是元素按特定顺序排列的集合。这包括了向量、字符串等我们熟悉的数学对象。我们还会研究计数（counting）的方法。组合数学（combinatorics）将为我们提供强大的工具来计算在特定条件下可能出现的不同排列组合的数量。我们将学习排列（permutations）和组合（combinations）的基本原理，理解如何利用这些工具来估算复杂系统的可能性，例如在密码学中计算密钥空间的大小，或者在算法分析中估算特定操作的执行次数。我们将探讨二项式定理（binomial theorem）及其在计数问题中的应用，以及更一般的生成函数（generating functions）的思想，它能够将序列与其对应的计数问题联系起来。 本书的第五部分将引入“连接与网络：图的思维”。图（graphs）是描述对象之间连接关系的一种强大而直观的模型。我们将从图的基本构成元素——顶点（vertices）和边（edges）——开始，理解有向图（directed graphs）与无向图（undirected graphs）的区别。我们将研究图的各种性质，例如连通性（connectivity）、度（degree）、通路（paths）和环（cycles）。图论的应用无处不在：它可以用来表示社交网络中的人际关系，城市交通网络，计算机网络中的节点连接，甚至可以用来建模状态转换系统。我们将初步接触一些基础的图算法思想，比如如何找到两个节点之间的最短路径，或者如何遍历整个图。这些概念为理解网络科学、算法设计以及系统建模提供了基础。 最后，我们将展望“计算的界限与可能性”。在理解了上述的基本概念之后，我们将简要探讨计算的本质能力和局限性。我们将温和地引入可计算性（computability）的概念，思考哪些问题是原则上可以通过算法来解决的，而哪些问题则可能超出了算法的能力范围。这并非深入到图灵机（Turing machine）的复杂证明，而是提供一种对计算能力边界的初步感知。我们也会触及算法复杂度（algorithm complexity）的初步思想，理解为什么解决同一个问题，不同的方法可能会有天壤之别，以及我们如何用简洁的方式来描述一个算法的“效率”。 贯穿全书的，是一种形式化思维的培养。我们将强调如何精确地定义问题，如何严谨地表达思想，以及如何通过推理来获得可靠的结论。本书将引导读者跳出具体技术的束缚，去理解“计算”这一概念在不同领域、不同层次上所共有的、抽象的数学和逻辑规律。它不是一本教你如何编程的书，而是一本让你理解“计算”之所以可能，以及它为何如此强大的书。通过对这些基础原理的掌握，你将能更深刻地理解现有的技术，并为未来学习更高级的概念打下坚实的基础。这是一次智力的冒险，一次通往理解数字世界深层运作机制的旅程。

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这本《離散數學》的封面设计倒是挺吸引人的，采用了一种深邃的蓝色调，配上一些简洁的几何图形，给人一种严谨而又富有探索性的感觉。初次翻开这本书时，我最直观的感受就是它的排版非常清晰，字体大小和行间距都处理得恰到好处，这对于阅读数学这种需要高度集中注意力的内容来说至关重要。清晰的排版能有效减少阅读疲劳，让我能更长时间地沉浸在那些复杂的概念中而不至于迷失方向。虽然我还没深入研究到每一个定理的证明，但光是目录的梳理，就能看出编排者的用心。它似乎按照一个非常自然和逻辑的顺序展开，从基础的集合论和逻辑推理开始，逐步过渡到图论、组合数学等更深入的领域，这种循序渐进的结构让人感觉学习的路径非常顺畅，不会有那种突然被抛到深水区的恐慌感。特别是那些例子和插图，虽然只是初步扫了一眼，但感觉图示都非常精炼，直观地辅助理解抽象的数学结构，这一点对于我这种需要视觉辅助来巩固概念的读者来说，无疑是一个巨大的加分项。总的来说，第一印象非常积极，期待接下来的阅读体验能和这精美的“外衣”一样出色。

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我最近在准备一个关于算法优化的项目，急需一本能够提供扎实理论基础的参考书来夯实我的数学功底，于是便拿起了这本《離散數學》。这本书最让我欣赏的一点是它对“严谨性”的坚持。在阐述每一个定义和定理时，作者似乎毫不含糊，每一个限定条件都被明确地提了出来，没有留下任何模棱两可的解读空间。这种教科书式的、近乎吹毛求疵的严谨性，对于我们这些需要将理论直接应用于工程实践的人来说，是保证最终产品质量的基石。我特别关注了关于“证明方法”的那一章，它并没有仅仅罗列出各种证明技巧，而是深入剖析了每种技巧背后的思想内核，比如归纳法的本质、反证法的巧妙运用等等。作者似乎在教我们如何“思考”一个数学问题，而不仅仅是如何“解决”一个问题。这种教学方式的转变，极大地提高了我的思维层次。我感觉自己不是在被动地接收知识，而是在主动地与这些数学思想进行对话和辩论。这种深度的交流，远非那些只提供解题步骤的“速成”资料可以比拟的。

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我是一个工作了很多年的软件工程师，重新拾起离散数学主要是为了理解现代密码学和数据结构背后的底层逻辑。我发现这本书的侧重点非常符合现代信息科学的需求。例如，在组合数学的部分，它对排列组合的讨论不仅限于纯粹的计数问题，而是很快就将这些原理与动态规划的子问题分解、算法时间复杂度的分析紧密结合起来。这种“理论落地”的实践导向性，对我来说价值连城。我不需要为了一个纯粹的数学好奇心去阅读，而是能清晰地看到每一个章节学到的知识点如何直接映射到我日常工作中遇到的挑战上。特别是关于“函数和关系”那一部分，它对注入、满射、双射的讲解，直接为理解数据库的范式和数据模型提供了坚实的理论支撑。如果说很多数学书是“孤芳自赏”，那么这本《離散數學》明显更像是一个“实干家”，它把枯燥的逻辑变成了解决实际问题的强大工具箱。

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这本书的习题设置是其最大的亮点之一，也是我体验感最好的部分。很多数学教材的习题无非是重复套用公式，但这里的练习题明显经过了精心设计。它们大致可以分为三个层级：第一级是基础概念的巩固，帮助读者确保对定义的理解到位；第二级是稍微复杂一些的应用题，需要进行多步推理；而最让我惊喜的是第三级——那些“挑战性”或“探索性”的题目。这些题目往往没有标准答案或固定的解法路径，它们更像是抛给读者的一些小小的开放性问题，鼓励我们去尝试不同的数学工具进行探索。这种设计理念非常高明，它促使我们从“解题者”转变为“数学发现者”。我甚至花了一个下午的时间，对着其中一道关于递归关系求解的难题反复推敲，虽然过程很曲折，但最终得出结论时的那种成就感，是单纯听课或看别人解题所无法比拟的。这本教材真正做到了激发读者的内在学习动力。

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说实话，我是一个对抽象概念有天然抵触情绪的人，特别是在学习图论和关系代数时，那些符号和逻辑关系常常让我感到头晕脑胀。然而，这本《離散數學》在处理那些“硬骨头”时，展现出了一种出乎意料的亲和力。它没有一上来就抛出晦涩难懂的数学符号，而是先用非常贴近生活或计算机科学领域的场景来引入概念。比如，在讲解连通性和欧拉路径时，书中引用了城市交通网络规划的例子，一下子就让原本抽象的图论变得具体可感。更妙的是，作者在引入新的复杂概念之前，总会巧妙地回顾并串联起前面学过的基础知识点，形成一个紧密的知识网络。这就像是爬山，每当你觉得快要力竭时，抬头一看，发现自己已经站在了一个视野更开阔的平台上，并且能清晰地看到下一步该如何攀登。这种“回顾—串联—推进”的节奏感，极大地缓解了我学习过程中的焦虑，让整个学习曲线变得平滑且高效。

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