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出版者:Prentice Hall

作者:Bernard Kolman

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2000-01

价格:USD 23.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780130862488

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 初等线性代数
• 数学
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• 代数
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• 线性方程组
• 数学分析

数学的基石：探索线性代数的广阔天地 本书并非仅仅是一本关于“初等线性代数”的书，而是一扇通往数学深邃世界的大门，一个关于结构、关系和变换的奇妙旅程。它将带领读者深入理解那些支撑着现代科学、工程、经济和计算机科学等众多领域的核心概念。 1. 向量：空间中的点与箭头 旅程始于向量。我们学习如何将“量”从简单的数字概念拓展到具有方向和大小的实体。在二维和三维空间中，向量如同精准的指南针和丈量尺，描绘出点的位置、描绘出力的方向。我们不仅探索向量的加法和数乘等基本运算，更深入理解它们是如何组合、分解，并最终构成整个空间的骨架。从简单的几何直观到代数表达式，我们将看到向量如何成为描述和操纵空间信息的最基本工具。 2. 矩阵：数据与运算的载体 接着，我们迎来矩阵——一种组织数据的强大方式。矩阵如同一个精心设计的表格，能够同时容纳大量的数值信息，更重要的是，它承载着深刻的运算意义。矩阵的加法、减法、数乘，以及最为核心的矩阵乘法，将带领我们领略线性变换的威力。每一次矩阵乘法，都可能意味着一次旋转、一次缩放、一次剪切，或是这些变换的复合。我们还会学习矩阵的转置、逆矩阵等重要概念，这些工具将帮助我们解决方程组，分析系统行为，以及进行更复杂的数学建模。 3. 线性方程组：解开世界的秩序 线性方程组是线性代数最直接的应用之一。现实世界中充斥着相互关联的变量和限制条件，而线性方程组正是描述这些关系的有力语言。我们将学习如何用矩阵和向量来表示和解决这些方程组，从最基本的代入消元法，到系统而高效的高斯消元法。理解方程组的解的存在性、唯一性以及不同解集的形式，将使我们能够分析和预测许多现实世界的现象，例如电路分析、经济模型中的供需平衡等。 4. 向量空间：抽象与普适的力量 在掌握了向量和矩阵的基础后，我们将进入更为抽象但同样强大的概念——向量空间。向量空间是对我们已经熟悉的“向量”概念的推广，它包含了一系列满足特定运算规则的元素（不一定是传统的几何向量）。这种抽象使得线性代数的理论能够应用于更广泛的领域，如函数空间、多项式空间等。我们将深入理解向量空间的基、维度、子空间等核心概念，它们共同构成了理解和描述这些抽象空间的框架。 5. 线性变换：空间的“魔法” 线性变换是连接不同向量空间或同一向量空间内不同向量的桥梁。它们是保持向量加法和标量乘法运算的函数。每一种线性变换都可以用一个矩阵来表示，反之亦然。理解线性变换的性质，如核（零空间）和像（值域），以及它们的维度关系，可以帮助我们深入洞察数据的压缩、降维、图像处理等方面的数学原理。我们还将学习特征值和特征向量，它们揭示了线性变换在特定方向上的伸缩行为，是理解动态系统、稳定性和变化趋势的关键。 6. 行列式：矩阵的“身份证明” 行列式是与方阵相关联的一个标量值。它不仅在求解线性方程组时起到关键作用（如克拉默法则），更重要的是，它蕴含了关于矩阵及其所代表的线性变换的重要信息。行列式的大小可以指示变换的“缩放因子”，其正负号可以指示变换是否改变了空间的定向。我们还将学习如何计算不同大小矩阵的行列式，以及行列式的各种性质，例如与逆矩阵、特征值以及矩阵秩的关系。 7. 特征值与特征向量：洞察内在属性 特征值和特征向量是线性代数中最具洞察力的概念之一。对于一个给定的线性变换（用矩阵表示），特征向量是在该变换作用下，方向保持不变但长度可能发生变化的向量。与之对应的特征值则表示了这种长度变化的比例。这些特征值和特征向量揭示了线性变换的内在“本质”，它们在分析动力系统（如振动、增长模型）、主成分分析（PCA）、量子力学等领域具有极其重要的应用。 8. 对角化与相似矩阵：简化与理解 当一个矩阵拥有充足的特征向量时，我们可以对其进行对角化。对角化是将一个矩阵转化为一个对角矩阵的过程，而对角矩阵的运算非常简单。这个过程揭示了矩阵的本质，使得我们能够更容易地理解和计算复杂的矩阵运算。相似矩阵的概念则是在不同的基下表示同一个线性变换，它们拥有相同的特征值，反映了变换的内在不变性。 9. 正交性与最小二乘法：优化与近似 正交性是向量空间中的一个重要几何概念，它对应于欧几里得空间中的垂直关系。正交向量在数学和工程中有特殊的性质，例如它们能够简化计算，或者在投影和分解时提供最佳的表示。最小二乘法则是一种强大的工具，用于在存在噪声或不确定性的情况下，找到最适合数据的模型。它通过最小化误差平方和来实现，是数据拟合、回归分析以及信号处理的核心方法。 10. 更多探索：线性代数的无限可能 本书还将触及线性代数在更多领域的应用，例如谱定理（对于对称矩阵）、奇异值分解（SVD）等，这些高级概念为我们提供了更深层次的理解和更强大的分析工具。 总而言之，本书将引导读者构建扎实的线性代数基础，培养严谨的数学思维，并激发对数学在现代世界中无处不在的应用的深刻认识。这是一场关于逻辑、结构和抽象的智慧探索，将为您打开理解更复杂数学和科学问题的钥匙。

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这是一本非常“硬核”的线性代数教材，它的编排和内容呈现方式，明显是为了让读者真正掌握线性代数的“语言”和“思维方式”。书中关于抽象代数概念的引入，比如群、环、域在向量空间背景下的体现，让我感到十分惊艳。它并非简单地罗列公式和定理，而是通过对这些抽象结构的深入挖掘，来揭示线性代数背后更深层次的数学本质。我特别期待它对“基”和“维度”这两个概念的详细阐述，这往往是理解向量空间的关键。书中的一些定理证明，看起来相当严谨且完整，没有丝毫的含糊不清，这对于想要深入研究数学的学生来说，无疑是巨大的福音。我发现书中还包含了一些关于最小二乘法、奇异值分解等近代线性代数的重要应用，这使得这本书不仅限于理论讲解，更能展现线性代数在实际问题中的强大力量。这本教材更像是为那些有志于将线性代数作为工具，甚至是研究对象的读者量身定做的。

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我得说，这本书给我最大的感受就是“厚重感”，不仅仅是物理上的厚度，更是知识密度上的充实。从一开始的向量空间的概念引入，就展现了其深入浅出的教学思路，将抽象的概念用具体的例子进行类比和解释，这一点对于初学者来说至关重要。我尤其欣赏书中对线性变换的讲解，它不仅仅停留在操作层面，更是深入剖析了其几何意义和代数性质，让我在脑海中勾勒出了变换的“动态”过程。书中的图形和图示虽然不算特别精美，但都十分恰当，有效地辅助了对概念的理解，比如那些表示向量空间子空间关系的图，以及展示特征值和特征向量几何意义的示意图，都非常有帮助。我注意到一些练习题的难度跨度很大，从基础的计算到需要综合运用多个概念的证明题，这充分考虑到了不同水平的读者需求，能够让我在不同阶段找到适合自己的挑战。总而言之，这本书给我的感觉是，它是一个尽职尽责的数学向导，带领你一步一个脚印地探索线性代数的奥秘。

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这本书的封面设计真是朴实无华，甚至可以说是有些老派，一看到就让人觉得它走的是扎实严谨的路线，而非花哨的招摇。翻开目录，经典的线性代数主题一一呈现：向量空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值与特征向量等等，这些都是线性代数的核心基石。它的内容编排似乎遵循着循序渐进的原则，从最基础的概念入手，逐步深入到更复杂的理论和应用。我特别关注书中关于矩阵运算和方程组求解的部分，这直接关系到后续更抽象的概念理解。从篇幅上看，内容相当详实，每个章节的例题和习题数量也比较可观，这暗示着它不仅仅是理论的堆砌，更注重读者动手实践和巩固知识。语言风格上，我初步浏览了几页，感觉比较正式，但并非晦涩难懂，而是力求清晰准确地阐述数学概念。一些证明过程的呈现方式，也预示着严谨的数学推导是这本书的重头戏。我期待这本书能够为我建立起扎实的线性代数基础，为我日后的学习打下坚实的地基。

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我对这本书的印象是，它提供了一个非常全面的线性代数知识体系，并且在教学上非常用心。书中的语言虽然严谨，但通过大量的例题和详细的解释，努力将抽象的概念具体化。我特别欣赏它在引入新概念时，总会先给出直观的理解，然后再进行严谨的数学定义和证明。比如，在讲解特征值和特征向量时，它先用一个动态系统例子说明了特征向量在变换中的不变性，然后再给出代数定义。书中的排版也十分清晰，关键公式和定义都有醒目的标记，方便查阅。我注意到它在附录中还包含了一些高等数学或离散数学的相关知识点回顾，这对于那些可能基础不够扎实的读者来说，无疑是一个贴心的设计，能够帮助他们更好地銜接线性代数的学习。这本书的练习题不仅数量多，而且类型也很丰富，涵盖了计算、证明、应用等多种题型，相信能够帮助读者全面巩固所学知识。

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坦白说，我一开始对这本书的期望值并不是很高，以为它会是市面上常见的、比较浅尝辄止的线性代数入门书。但翻阅之后，我被它内容的广度和深度所震撼。从基础的行列式性质，到更高级的Jordan标准型，这本书几乎涵盖了线性代数的所有重要分支。我尤其关注书中关于“正交性”和“最小二乘法”的章节，这些内容在科学计算和数据分析中占据着举足轻重的地位。作者在讲解这些内容时，不仅仅给出了公式，还深入探讨了其背后的几何直观和实际意义，这大大提升了我学习的兴趣和理解程度。书中的例题设计也非常巧妙，很多都取材于实际应用场景，比如图像处理、数据拟合等，让我能直观地感受到线性代数是如何解决现实世界问题的。一些习题的难度设置也很有层次，鼓励读者不断挑战自我，深入思考。这让我意识到，这本书并非只是教你“会做题”，而是要让你“理解”和“应用”线性代数。

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