Generalized Inverses of Linear Transformations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:S. L. Campbell

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1991-04-01

价格:USD 11.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486666938

丛书系列:

图书标签:

• 线性变换
• 广义逆
• 矩阵论
• 线性代数
• 算子理论
• 函数分析
• 应用数学
• 数值分析
• 优化
• 工程数学

《线性变换的广义逆》 本书深入探讨了线性代数的核心概念之一——线性变换的广义逆。我们从对线性变换及其基本性质的全面回顾开始，为后续内容的展开奠定坚实的基础。 第一章：线性变换基础 本章将详细介绍向量空间、线性映射以及线性变换的定义和关键属性。我们将探讨线性变换的核（kernel）和像（image），以及它们与线性变换的秩（rank）和零度（nullity）之间的关系。此外，线性变换矩阵表示法的引入，以及不同基下矩阵之间的转换，也将是本章的重点。我们将通过一系列例子和证明，帮助读者牢固掌握这些基础知识。 第二章：线性方程组与最小二乘解 在深入广义逆之前，理解线性方程组的解的存在性和唯一性至关重要。本章将回顾线性方程组的结构，并介绍在方程组无解的情况下，如何寻找“最优”的近似解，即最小二乘解。我们将引入投影矩阵的概念，并展示如何利用它来构造最小二乘解，为理解广义逆的作用提供一个重要的铺垫。 第三章：伪逆的定义与性质 本书的核心内容——伪逆（也称为莫尔-彭罗斯伪逆）将在本章正式引入。我们将给出伪逆的严格数学定义，并从不同角度（如满足特定方程组）来阐述其等价定义。伪逆的唯一性将得到证明。我们还将探讨伪逆的一些基本性质，例如 $(A^dagger)^dagger = A$，$(A^dagger A)^dagger = A^dagger A$，$(AA^dagger)^dagger = AA^dagger$，以及 $(A^dagger B)^dagger$ 的一些性质。这些性质为理解伪逆在实际应用中的作用奠定了基础。 第四章：伪逆的计算方法 理论定义是重要的，但实际计算同样关键。本章将介绍计算线性变换伪逆的多种方法。我们将从最基本的定义出发，通过求解满足伪逆定义方程组的方法进行讲解。随后，我们将重点介绍基于奇异值分解（SVD）的伪逆计算方法，阐述SVD如何提供一种强大且数值稳定的方式来计算伪逆。我们将详细解释SVD分解的步骤，以及如何利用SVD的酉矩阵和奇异值来构建伪逆。其他计算方法，如基于分块矩阵的计算，以及迭代方法，也将被提及，并对它们的优缺点进行比较。 第五章：伪逆的应用 伪逆作为一种泛化了逆的概念，在数学和工程的诸多领域有着广泛的应用。本章将详细探讨伪逆在以下方面的应用： 求解不适定问题（Ill-posed problems）： 许多实际问题，如图像重建、数据去噪和逆问题，本质上是不适定的。伪逆为这些问题提供了一种正则化方法，使得可以获得有意义的解。 线性回归与模型拟合： 在统计学和机器学习中，线性回归是基础。当设计矩阵（即自变量的矩阵）不是满秩时，传统的最小二乘法将遇到困难。伪逆能够完美地解决这个问题，提供唯一的最小二乘解，并且能够处理特征之间存在线性相关性的情况。 控制理论： 在控制系统设计中，伪逆被用于求解可控性和可观性相关的方程，以及设计状态反馈控制器。 信号处理： 在信号恢复、去卷积和系统辨识等问题中，伪逆发挥着重要作用。 优化问题： 伪逆在某些无约束和有约束的优化问题中也有应用。 我们将通过具体的案例分析，展示伪逆如何在这些领域中发挥关键作用，以及其带来的理论和实践价值。 第六章：广义逆的拓展与推广 除了最常用的伪逆（莫尔-彭罗斯伪逆）外，广义逆的概念还可以进行更广泛的定义和推广。本章将介绍其他类型的广义逆，例如： D-伪逆： 讨论在给定矩阵 $M$ 和 $N$ 下，满足 $AXB=D$ 的广义逆 $X$。 加权伪逆： 介绍在考虑不同变量重要性时，如何通过引入权重矩阵来构造加权伪逆。 其他广义逆的性质与应用： 探讨这些广义逆的定义、存在性、唯一性以及它们在特定问题中的应用。 第七章：数值计算与稳定性 在实际应用中，计算伪逆的数值稳定性至关重要。本章将深入讨论数值计算中的挑战，例如由于数据误差引起的病态（ill-conditioned）问题。我们将分析不同计算方法（特别是基于SVD的方法）的数值稳定性，并介绍一些提高数值精度的技术，如使用更精确的算术类型，或采用迭代改进算法。 附录： 线性代数基础回顾： 为需要巩固基础知识的读者提供更详细的线性代数概念回顾。 矩阵分解方法： 对奇异值分解（SVD）、QR分解等进行更深入的介绍。 相关软件库与工具： 提及在实际计算中常用的数学软件库（如MATLAB, NumPy, SciPy等）以及它们在计算伪逆方面的功能。 本书旨在为读者提供一个关于线性变换广义逆的全面、深入且实用的理解。通过理论讲解、计算方法介绍和广泛的应用实例，我们希望读者能够掌握这一强大的数学工具，并将其有效地应用于解决复杂的科学与工程问题。

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这本书的排版质量令人称赞，这对于一本数学专著来说至关重要。字体清晰，公式间距得当，很少出现印刷错误，这极大地提升了阅读体验。我注意到作者在一些关键定义后，会适当地穿插一些“注记”（Notes）来补充历史渊源或指出不同文献间的细微差别，这为深入研究提供了非常宝贵的线索。例如，对于某些特殊类型的矩阵（如Toeplitz矩阵或Hankel矩阵）的广义逆，书中给出的结构化处理方法非常精妙，显示了作者对特定结构矩阵深入的理解。唯一让我感到有些遗憾的是，这本书的参考文献列表似乎有些年代感了。虽然基础理论部分无可厚非，但在涉及到最新的机器学习或大规模数据分析中广义逆的应用时，感觉后续的跟踪引用不够及时。它更像是一个坚实的理论基石，但如果能辅以更多近十年来的应用进展综述，那它的价值会更加全面和立体。

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这本书的叙事风格非常“克制”，几乎没有任何作者的主观评论或历史背景介绍，完全是纯粹的数学表达。每一页都充满了公式、符号和严格的定义，让人感觉像是直接从一篇顶级的数学期刊中抽离出来的章节集合。我特别欣赏它对不同广义逆定义之间的相互关系进行梳理的章节，比如M-P逆（Moore-Penrose）的唯一性是如何从更一般的奇异值分解（SVD）中推导出来的。这种深度挖掘的劲头是很多同类书籍所缺乏的。然而，这种极致的严谨性也带来了一个副作用：阅读节奏被极大地拖慢了。很多时候，我需要停下来，在草稿纸上重新画图、推导符号的含义，才能真正跟上作者的思路。这本书显然不是为快速浏览而设计的，它要求的是一种沉浸式的、近乎冥想的专注。它更像是一位老派大师的私房笔记，知识密度极高，需要反复咀嚼才能体会其精髓。

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好的，这是一份模仿读者口吻、风格各异的图书评价，每段独立且详细： --- 这本看起来像是教科书的读物，从封面设计到内页排版，都透露着一股严谨的学术气息。我首先翻阅了目录，发现它的结构非常清晰，像是为数学系高年级本科生或初级研究生量身定制的。章节安排由浅入深，从基础的向量空间理论开始铺陈，逐步引入线性算子的概念，最终导向那些复杂、甚至有些晦涩的矩阵分解与伪逆运算。我特别注意到作者在引言部分花了不少篇幅来阐述研究这类“非完美”逆矩阵的必要性——这显然不是那种只讨论满秩、可逆矩阵的入门教材会涉及的内容。书中的定理证明详尽得令人安心，每一步逻辑推导都扣得很紧，仿佛生怕读者遗漏了任何一个细节。不过，对于没有坚实线性代数基础的读者来说，前几章的抽象性可能会构成一道不小的门槛，它要求你不仅知道“是什么”，更要理解“为什么必须是这样”。总的来说，这是一部扎实、硬核的专业著作，绝非轻松的读物，但对于希望在这一领域深耕的人来说，它提供的理论基础无疑是极其稳固的。

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老实说，我买这本书的初衷是想找一本能帮我解决实际工程问题的工具书，但读完前几章后，我深刻体会到自己可能误判了它的定位。它更像是一部理论的“圣经”，而非操作手册。书中大量的篇幅似乎都在致力于构建一个完备的理论框架，讨论的是那些“在无限维空间中如何定义和构造这些广义逆”的深刻问题，而不是直接给出哪个优化算法在特定噪声模型下表现最佳。我尝试在其中寻找一些可以直接套用的数值计算例子，结果发现，即便是有限维的情况，作者也倾向于使用抽象的泛函分析语言来描述，而不是直接给出便于编程实现的迭代步骤。这导致我的阅读体验有些“空中楼阁”的感觉——理论很优美，但落地性稍显不足。我期待更多关于最小二乘、最小范数解在不同约束条件下的具体应用案例分析，而不是纯粹的数学存在性证明。对我这种更偏向应用的研究者而言，这本书提供了背景知识，但离实际操作还有一段距离。

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我是在一个跨学科项目组的推荐下接触到这本厚重的专著的。我们小组需要处理的系统涉及大量欠定和超定问题，传统方法效果不佳。这本书确实为我们提供了一个理解“最佳近似解”和“最小残差解”的全新视角。但令我印象深刻的是它对“投影”概念的反复强调。作者似乎非常执着于将所有广义逆的求解过程，统一到某种正交投影算子的性质上来阐述。这种视角转换非常关键，它让我明白了为什么某些正则化方法能够稳定地产生有意义的解。不过，书中对计算稳定性的讨论似乎略显不足，尤其是在数值实现层面。当面对病态矩阵时，理论上成立的广义逆计算方法，在实际浮点运算中可能瞬间崩溃。我希望书中能有更明确的章节，专门讨论数值稳定性的挑战，以及如何结合现代优化算法来应对这些现实世界的难题。

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