具体描述
This book is dedicated to a theory of traces and determinants on embedded algebras of linear operators, where the trace and determinant are extended from finite rank operators by a limit process. All the important classical examples of traces and determinants suggested by Hill, von Koch, Fredholm, PoincarA(c), Ruston and Grothendieck are exhibited in particular, the determinants which were first introduced by Hill and PoincarA(c) in their investigations of infinite systems of linear equations stemming from problems in celestial mechanics are studied most of Fredholma s seminal results are presented in this book. Formulas for traces and determinants in a Hilbert space setting are readily derived and generalizations to Banach spaces are investigated. A large part of this book is also devoted to generalizations of the regularized determinants introduced by Hilbert and Carleman. Regularized determinants of higher order are presented in embedded algebras. Much attention is paid to integral operators with semi-separable kernels, and explicit formulas of traces and determinants are given. One of the conclusions of this book (based on results of Ben-Artzi and Perelson) is that the trace and determinant, which are considered here, essentially depend not only on the operator but also on the algebra containing this operator. In fact, it turns out that by considering the same operator in different algebras, the trace and determinant of non nuclear operators can be almost any complex number. However, an operator is invertible if and only if each determinant is different from zero. Also each of the determinants can be used in the inversion formula. An attractive feature of this book is that it contains the charming classical theory of determinants together with its most recent concrete and abstract developments and applications. The general presentation of the book is based on the authorsa work. This monograph should appeal to a wide group of mathematicians and engineers. The material is self-contained and may be used for advanced courses and seminars.
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用户评价
如果你期待的是那种“教你如何快速计算矩阵迹”的实用手册，那么这本书绝对会让你失望。它处理的算子是定义在抽象向量空间上的，其核心思想在于揭示这些代数不变量背后蕴含的深层分析结构。书中关于算子范数、紧性以及与测度论的交织描绘，非常具有启发性。我尤其欣赏作者对Weyl不等式的精妙证明——它不仅仅是一个证明，更像是一次对算子理论美学的展示。作者似乎有一种近乎哲学的洞察力，他总能找到将看似不相关的数学分支巧妙连接起来的线索。比如，他在讨论算子的“可约性”时，引入了一些非常规的代数拓扑视角，这使得原本枯燥的分类问题充满了生动的数学张力。这本书迫使我跳出传统的线性代数的舒适区，真正开始思考算子在无穷维度上的复杂行为。
评分这本书的排版和符号系统非常严谨，几乎没有发现明显的印刷错误，这对于需要精细对照公式的读者来说，无疑是一个巨大的福音。它带给我最深远的感受是，它彻底改变了我对“行列式”这个概念的认知边界。从二维平面的面积缩放因子，到无限维空间中描述算子“不失信息量”或“零点”特性的复杂函数，这一跨越是巨大的。书中关于Dyson型行列式与随机矩阵理论的联系部分，尽管篇幅不多，但暗示了更广阔的研究前景，让人不禁对外延的理论产生了强烈的探索欲。总的来说，这本书更像是一位经验丰富的导师，他不会直接喂给你答案，而是通过严密的逻辑链条，引导你亲自去发现真理的结构。它需要时间、耐心，以及对数学深层逻辑的敬畏之心。
评分这本书的结构安排非常考验读者的毅力，但回报是丰厚的。它并非线性地讲述内容，而是通过不同角度和工具来剖析“迹”和“行列式”的本质。例如，它会先用一种分析的方法（基于谱分解）来讨论这些概念，随后又会切换到更几何化的视角（如Lefschetz不动点定理在算子理论中的应用）。这种多维度的审视，使得对算子的理解不再是单薄的，而是立体而坚实的。我发现，很多在我脑海中原本模糊的算子性质，在读完关于“有限秩扰动”如何影响算子谱的研究后，变得异常清晰。唯一的遗憾可能是，对于非专业背景的读者来说，可能需要在参考其他拓扑学或函数空间理论的教材时暂停阅读，因为作者的假设读者已经熟练掌握了诸如Bochner积分等高级工具。它无疑是一本可以反复研读的工具书，每次重读都会有新的体会。
评分这本《Traces and Determinants of Linear Operators》的封面设计得相当朴实，黑白为主色调，给人一种严谨、深入的学术气息。刚翻开书页，就能感受到作者在数学语言上的精准把握。它似乎不是一本面向初学者的入门读物，更像是为已经对线性代数有一定基础，并渴望深入探究算子理论的读者准备的“进阶指南”。书中对迹（Trace）和行列式（Determinant）这两个核心概念的探讨，远超出了我们传统有限维空间中的理解。作者花费了大量的篇幅来构建无限维希尔伯特空间上的算子理论框架，这使得阅读过程充满了挑战，但也带来了巨大的智力满足感。尤其是在处理紧算子（Compact Operators）的谱理论时，那种层层递进的逻辑推演，让人仿佛置身于一个精密的数学迷宫中，每一步都需要集中全部注意力。对我个人而言，书中关于迹公式在量子信息论中应用的章节尤为引人入胜，它将纯粹的数学概念与尖端的物理学前沿紧密地联系了起来，展示了理论数学的强大生命力。
评分坦白说，初读此书时，我曾对其中大量出现的泛函分析术语感到一丝畏惧。它不像市面上那些流行的教材那样，用大量的图示和直观的例子来“软化”抽象概念。这本书选择了一条更直接、更“硬核”的道路，直接深入到测度论和拓扑学的深层结构中去解释算子的性质。不过，一旦你适应了这种风格，你会发现作者的叙述其实极其清晰，尽管语言密度很高。举个例子，作者在阐述Fredholm行列式的构造时，那种庖丁解牛般的分解与重构，令人叹为观止。它没有回避数学上的艰深之处，而是选择正视并清晰地构建每一个证明的基石。我特别欣赏作者在每章末尾设置的“历史背景与展望”小节，它们提供了一种难得的视角，让我们明白这些看似冰冷的公式是如何一步步从历史的困境中被提炼出来的，极大地丰富了对这门学科的整体认知，避免了单纯的公式堆砌感。
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