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isbn号码:9780673382450

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《数学思维的基石：函数、方程与数列的探索》 本书是一本旨在帮助读者深入理解和掌握高等代数核心概念的指南。它不仅仅是一本教科书，更是一次数学思维的启蒙之旅，带领读者穿越抽象的概念，抵达逻辑严谨的清晰境地。本书侧重于培养读者独立解决问题的能力，通过由浅入深的讲解和丰富多样的习题，激发读者对数学的兴趣，并为进一步学习微积分、线性代数等更高级的数学领域打下坚实的基础。 第一部分：函数的奥秘——连接变化与规律 函数的概念是现代数学的基石，也是本书的第一个重要组成部分。我们将从最基本的可视化方法出发，理解函数如何描述变量之间的依赖关系。 函数概念的引入： 我们将从日常生活中常见的例子入手，例如距离与时间的关系，购买商品的总价与数量的关系，从而直观地理解“输入”与“输出”的概念。通过图示和表格，清晰地展现输入值如何唯一确定输出值。接着，我们将正式引入函数的定义，强调其核心特征：定义域、值域以及映射关系。 函数类型及其图象： 本部分将详细介绍各种基本初等函数，包括： 线性函数（一次函数）： y = mx + b。我们将深入分析斜率 `m` 和截距 `b` 的几何意义，理解它们如何影响函数的增长速度和起始位置。通过绘制线性函数的图象，观察直线在坐标系中的表现，以及不同斜率和截距对应的不同情况。我们将探讨线性函数的应用，例如简单投资回报模型，速度-时间关系等。 二次函数： y = ax² + bx + c。我们将深入研究抛物线的形状，分析系数 `a`、`b`、`c` 对抛物线的开口方向、对称轴、顶点位置的影响。我们将学习如何通过配方法或公式求出二次函数的顶点坐标，理解顶点在描述最大值或最小值问题中的重要性。同时，我们将探索二次函数的应用，如自由落体运动的轨迹，射弹的飞行路径等。 指数函数： y = aˣ。我们将研究当底数 `a` 大于1和介于0和1之间时，指数函数的增长或衰减特性。重点关注其增长的“指数级”特征，以及与线性增长的本质区别。我们将介绍自然指数函数 eˣ，及其在描述连续增长现象中的核心作用，例如人口增长、复利计算等。 对数函数： y = logₐx。我们将深入理解对数函数是指数函数的反函数，以及它们之间的密切联系。我们将学习对数的运算法则，例如乘积、商、幂的对数，以及换底公式。对数函数在处理极大范围的数据时尤为有用，例如地震烈度（里氏震级）、声音强度（分贝）的计算。 幂函数： y = xⁿ。我们将研究不同整数和分数次幂对函数图象的影响，包括正整数次幂、负整数次幂以及分数次幂（如平方根、立方根）。这将帮助我们理解更复杂函数的构建基础。 函数的运算与性质： 函数的组合（复合函数）： f(g(x))。我们将学习如何将两个或多个函数组合起来，形成一个新的函数。通过实例，理解复合函数的定义域和值域如何由原函数决定，以及其图象的变换规律。 函数的奇偶性： 奇函数与偶函数。我们将学习如何通过判断 f(-x) 与 f(x) 或 -f(x) 的关系来确定函数的奇偶性，并理解奇偶性对函数图象对称性的影响。 函数的单调性： 增函数与减函数。我们将学习如何通过观察函数图象或利用导数（在后续章节中会深入讨论）来判断函数的单调区间，理解单调性在描述变量变化趋势中的重要性。 函数的周期性： 周期函数。我们将介绍周期函数的定义，以及周期在描述重复性现象中的意义。虽然本书不侧重三角函数，但周期性的概念是理解许多自然现象（如波动）的基础。 反函数： 如果函数 f 是一一对应的，那么它存在反函数 f⁻¹。我们将学习如何求解反函数，并理解反函数与原函数图象关于直线 y = x 的对称关系。 分段函数与绝对值函数： 我们将学习如何处理在不同定义域上具有不同表达式的函数，即分段函数。同时，我们将深入理解绝对值函数 |x| 的几何意义，以及如何将其应用于求解涉及不等式的方程。 第二部分：方程与不等式的求解——探索未知与限制 方程和不等式是数学中最基本也是最重要的工具，它们帮助我们找到未知量的值，或者确定变量的取值范围。 代数方程的根与解： 一元一次方程： ax + b = 0。我们将系统地学习求解一元一次方程的步骤，理解其解的唯一性。 一元二次方程： ax² + bx + c = 0。我们将学习三种主要的求解方法：因式分解法、配方法以及求根公式。我们将重点分析判别式 Δ = b² - 4ac 的作用，它能帮助我们判断方程根的性质（两个实根、一个重根或两个共轭复根）。 高次方程： 虽然不深入讨论一般高次方程的求解，但我们会介绍一些特殊情况下的求解方法，例如利用因式分解定理、余数定理等，来寻找多项式方程的根。 方程的根与函数图象的联系： 我们将强调方程的实数根与相应函数图象与x轴交点的关系，加深对代数解与几何意义的理解。 方程组的求解： 二元一次方程组： 我们将学习代入消元法和加减消元法，以及利用图像法来求解二元一次方程组，并理解方程组的解对应于两条直线（或曲线）的交点。 线性方程组的初步概念： 介绍多个变量的线性方程组，为后续学习线性代数中的矩阵方法打下基础。 不等式的求解与性质： 一元一次不等式： ax + b > 0（或 <, ≥, ≤）。我们将学习不等式的基本性质，例如同加、同乘（注意乘数符号）、移项法则。 一元二次不等式： ax² + bx + c > 0（或 <, ≥, ≤）。我们将学习利用二次函数的图象或数轴穿根法来求解二次不等式，理解不等式的解集表示。 含有绝对值的不等式： |x| > a, |x| < a 等。我们将学习如何将绝对值不等式转化为等价的普通不等式进行求解。 不等式组的求解： 学习如何求解多个不等式组成的系统，其解集是满足所有不等式的共同区域。 指数方程与对数方程： 指数方程： aˣ = b。我们将学习如何利用指数函数的性质，或者将方程两边取对数来求解。 对数方程： logₐx = b。我们将学习如何利用对数函数的定义，或者对两边取指数来求解。 参数方程与隐函数（初步接触）： 简要介绍参数方程和隐函数的概念，为读者拓展数学视野。 第三部分：数列与级数——序列的规律与无限的求和 数列和级数是研究离散数学结构的重要工具，它们在概率统计、金融数学、计算机科学等领域有着广泛的应用。 数列的基本概念： 数列的定义： 我们将理解数列是将自然数集（或其子集）作为定义域，实数集作为值域的函数。 通项公式： 学习如何根据数列的特点，找到描述数列每一项的公式，即通项公式。 递推公式： 学习如何利用前一项（或前几项）来表示后一项，即递推公式。 重要数列类型： 等差数列： an = a₁ + (n-1)d。我们将深入研究其通项公式和前 n 项和公式 Sn = n/2 (a₁ + an) = n/2 (2a₁ + (n-1)d)。我们将分析等差数列的线性增长特征，以及其在各种实际问题中的应用，例如等步长增长模型。 等比数列： an = a₁ rⁿ⁻¹。我们将深入研究其通项公式和前 n 项和公式 Sn = a₁ (1 - rⁿ) / (1 - r) (当 r ≠ 1)。我们将分析等比数列的指数增长或衰减特征，以及其在复利计算、放射性衰变模型等方面的应用。 数列的收敛性（初步）： 引入数列极限的概念，理解当项数 n 趋向无穷时，数列项值趋向某个固定值的现象。 级数： 有限项的和： 了解级数是数列各项的和。 无穷等比级数： 当公比 |r| < 1 时，无穷等比级数 S = a₁ / (1 - r) 收敛。我们将学习计算收敛的无穷等比级数的值，并探讨其应用，例如无限循环小数的化简。 级数的收敛与发散（概念性介绍）： 简要介绍级数可能收敛到某个有限值，也可能发散到无穷大。 本书特色： 循序渐进的教学方法： 内容从最基础的概念开始，逐步深入，确保读者能够扎实地掌握每一个知识点。 丰富的实例与应用： 结合实际生活中的例子，例如物理、经济、工程等领域的应用，展示数学的实用性和魅力。 强调数学思维： 不仅教授解题技巧，更注重培养读者逻辑推理、抽象思维和分析问题的能力。 精选习题： 配备大量不同难度等级的习题，包括概念题、计算题和应用题，帮助读者巩固所学，检测掌握程度。 清晰的图示与表格： 大量运用图表来直观地解释抽象概念，帮助读者建立清晰的数学模型。 本书适合高中生、大学生以及任何希望系统性学习或复习高等代数知识的读者。通过本书的学习，读者将能够自信地应对数学挑战，并在未来的学习和工作中运用数学工具解决复杂问题。

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说实话，我对纯数学书籍的耐心是有限的，尤其是那些动辄上百页、几乎没有插图的“圣经”。但这本书的叙事风格，出乎意料地具有一种“讲故事”的魔力。它不像是在教你解题技巧，更像是在邀请你参与一场智力探险。比如在引入指数和对数概念时，作者并没有直接抛出 $a^x = b Leftrightarrow x = log_a b$ 这个定义，而是花了大量篇幅去描述历史上人们是如何在复利计算和天文观测中，被指数增长和衰减的现象所困扰，以及最终是如何“发明”对数来简化这些复杂运算的。这种历史和背景的引入，极大地激发了我对知识产生的兴趣，让原本冰冷的数字拥有了温度和人性。它在讲解过程中非常注重培养读者的逻辑推理能力，而不是死记硬背公式。书中那些“挑战题”设计得非常巧妙，它们往往需要你把前面学到的几个不相关的知识点——比如解析几何的知识和不等式的性质——巧妙地结合起来才能解开，这让我感觉自己不只是在做题，而是在进行一次高级别的思维体操。我特别欣赏它对“为什么”的追问，而不是满足于“怎么做”。

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这本教材的实用性绝对超出了我对一本基础代数书籍的预期。我本职工作是做数据分析的，日常工作中经常需要处理各种分布函数和拟合问题。我原以为得去专门找统计学的书籍才能找到我需要的东西，没想到这本书在探讨函数的应用时，已经涵盖了相当一部分基础的建模思想。例如，在讨论二次函数和抛物线时，它非常自然地引入了“最佳拟合线”的概念，虽然深度不及专业统计书，但已经足够让你理解最小二乘法的基本原理。更让我感到惊喜的是，它对解析几何的讲解丝毫不含糊。很多代数书为了追求简洁会草草带过圆锥曲线，但这本却花了大力气去解释椭圆、双曲线的焦点、离心率这些参数是如何影响其形状的，这对于理解物理学中的轨道问题非常有帮助。它给出的练习题库非常丰富，而且难度梯度控制得极佳，从基础的代数运算到需要综合运用多个概念的复杂应用题都有覆盖，这保证了读者在学习过程中能够不断地自我检测和巩固。

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如果用一个词来形容这本书的整体架构，我会选择“系统性”或者“完整性”。很多代数教材会割裂地处理不同主题，比如把三角函数当作一个独立的附加章节，或者将复数体系放在书的末尾当做一个可有可无的补充。但这本书的伟大之处在于，它将代数视为一个有机的整体来构建知识体系。从最基础的数系扩展（从自然数到复数），到函数关系的建立，再到方程和不等式的求解策略，每一步都像是为下一步做好了坚实的铺垫。尤其在复数和三角函数的融合部分，作者巧妙地利用欧拉公式（虽然可能没有直接写出欧拉公式，但其内在逻辑已有所体现）来统一处理周期性和旋转问题，这让原本感觉毫不相关的概念突然间联系了起来，形成了一个宏大而统一的数学图景。这种全局观的培养，对于任何想要深入学习科学或工程领域的人来说，都是至关重要的。它教会的不仅仅是代数运算，更是一种结构化、系统化的思维模式。

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作为一名非数学专业的学生，我最大的恐惧就是面对那些晦涩难懂的数学符号和语言。很多教材的作者似乎忘了他们的读者并非都是数学博士预备役，他们的行文逻辑常常是“跳跃式”的。然而，这本书的作者展现出了一种令人尊敬的教学耐心。它的语言风格非常平实、清晰，几乎没有使用任何“吓人”的专业术语而不先进行解释。最让我感到受益匪浅的是它对“证明”这一环节的处理。它不会强迫你立刻去理解一个复杂的欧几里得式证明，而是先用图形化的方式或者具体的数值例子来“说服”你这个结论是正确的，然后再逐步引导你理解背后的逻辑链条。这种“直观理解先行，形式逻辑跟上”的教学策略，极大地降低了学习的心理门槛。我感觉自己不是在被动接受知识，而是在和一位非常耐心的导师进行对话，他总能找到最容易被理解的方式来解释最抽象的概念。这种对读者体验的尊重，是它区别于其他同类教材的显著优点。

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这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，那种深邃的蓝色调配上烫金的字体，立刻就给人一种“这是本正经教材”的庄重感。我是在为微积分做准备时偶然翻到它的，原本以为它会像我大学里那些枯燥的数学书一样，充斥着密密麻麻的公式和让人昏昏欲睡的定理推导。然而，它的章节划分异常清晰，仿佛有人用一把锋利的瑞士军刀，精准地解剖了代数这个庞大的知识体系。特别是关于函数图像的讲解部分，作者似乎深谙“授人以渔”的道理，不仅仅是告诉你结论，而是通过一系列精心设计的几何视角，让你亲手“看到”变量之间的关系是如何演变的。我记得有一章专门讨论了多项式根的性质，书中给出的例子跳脱了传统教科书里常见的 $x^2-4=0$ 这种入门级问题，而是上升到了更具应用性的场景，比如在工程设计中如何通过调整参数来优化曲线的平滑度。阅读体验上，它的排版非常友好，关键定义和定理都被框注出来，即使用眼疲劳时也能迅速定位重点，这对于自学者来说简直是救命稻草。虽然是入门级别的代数，但它为后续的高等数学学习打下了极其坚实的基础，那些看似基础的线性方程组，在书中被赋予了矩阵变换的思维框架，让人茅塞顿开。

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