Introductory Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:Richard J. Bagby

出品人:

页数:201

译者:

出版时间:2000-01-15

价格:USD 116.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780120725502

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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纯粹的数学之美：探索拓扑空间与函数分析的奥秘 本书旨在引导读者深入现代数学的核心领域，专注于拓扑学和泛函分析的精髓。我们致力于构建一个严谨而直观的知识体系，为高等数学研究者、物理学家以及对数学本质有深刻追求的读者提供坚实的理论基础与广阔的视野。本书不涉及任何初级分析（如经典实分析或复分析中的基础概念，如收敛性、积分的黎曼定义等）的重复叙述，而是直接从更高级、更抽象的结构层面展开论述。 第一部分：抽象的基石——拓扑空间的构建与深入 本书的开篇部分将我们从熟悉的欧几里得空间带入到更具包容性的拓扑空间的领域。我们假设读者已经掌握了集合论的基础操作和基本的函数概念。 第一章：拓扑空间的公理化与基础结构 我们首先精确地定义拓扑结构——开集的集合族。重点在于理解拓扑如何捕获“邻域”和“收敛性”的直观概念，而无需依赖距离函数。我们将详细分析以下关键概念： 拓扑的生成： 探讨由一组基（Base）或局部基（Local Base）所生成的拓扑，特别是如何利用特定的集合族（如开区间族在 $mathbb{R}^n$ 中的推广）来构造拓扑。 闭集、边界与内部/外部： 严格定义闭集、开集、边界点、聚点、内点和外点，并阐述它们之间的对偶关系。重点分析拓扑空间中“接近”这一概念的几何意义。 连续性与拓扑同胚： 函数的连续性被重新定义为原像下保持开集的性质。随后，我们引入拓扑同胚（Homeomorphism）的概念，这是理解拓扑空间本质的关键，即在拓扑意义上等价的空间。我们将通过具体的例子（例如，圆周与方形的同胚性）来阐释这一概念的强大威力。 第二章：构造性拓扑——重要的拓扑空间类型 本章专注于研究那些在分析学和几何学中具有特殊重要性的具体拓扑空间。 度量空间（Metric Spaces）的再审视： 尽管本书旨在超越传统分析，但度量空间作为一种特殊的拓扑空间是不可或缺的。我们将探讨度量诱导的拓扑，并着重分析完备性（Completeness）的概念，这为后续泛函分析中的收敛性讨论奠定了基础。我们将深入研究巴拿赫空间的雏形——完备的度量空间。 紧致性（Compactness）的深刻理解： 紧致性，定义为任意开覆盖存在有限子覆盖的性质，是分析学中诸多重要定理（如连续函数在紧集上的最大值、一致收敛性）的驱动力。我们将详细比较紧致性在度量空间（序列紧致）与一般拓扑空间中的等价条件，并利用Tychonoff定理阐述紧致性在乘积空间上的强大推广。 分离性公理（Separation Axioms）： 介绍 $T_1$ 到 $T_4$ 等分离公理，特别是豪斯多夫空间（Hausdorff Space）的重要性。豪斯多夫性质是确保序列极限唯一的先决条件，也是连接拓扑学与函数分析的桥梁。 第三章：构造与组合——商拓扑与乘积拓扑 本章探讨如何从已知的拓扑空间构建新的、更复杂的空间。 商拓扑（Quotient Topology）： 这是一个强大的构造工具，用于“粘合”空间中的点。我们将详细研究商映射的性质，并分析商拓扑如何用于构造如圆周、环面等空间，例如，通过对单位正方形的对边进行等价关系定义。 乘积拓扑（Product Topology）： 研究多个拓扑空间笛卡尔乘积上的自然拓扑结构，并与分层拓扑（Box Topology）进行对比，以突显乘积拓扑在保持Tychonoff性质上的优越性。 第二部分：无限维度的分析——泛函分析的开端 在建立了坚实的拓扑基础之后，本书转向研究无限维线性空间上的分析结构，即泛函分析的初步。我们关注的不再是有限维向量空间中平移和旋转带来的简化性质，而是无限维度的复杂性。 第四章：向量空间与赋范空间（Normed Spaces） 我们将假设读者对线性代数中的线性空间和线性映射有清晰的认识，并直接进入赋范空间的讨论。 赋范线性空间： 定义范数（Norm）及其诱导的度量。探讨范数与内积（Inner Product）的关系，并明确指出赋范空间不一定有内积。 有界线性算子与范数： 线性算子 $T: X o Y$ 在赋范空间之间的定义。重点在于算子的有界性（Boundedness），这等价于算子在拓扑意义上的连续性。我们引入算子范数 $|cdot|$，并研究算子空间 $L(X, Y)$ 自身的拓扑结构。 有限维与无限维的显著差异： 这是本章的核心洞察。我们将证明：在有限维向量空间中，任何范数都是等价的；而任何线性泛函都是连续的。在无限维空间中，这些性质都将失效，从而为后续研究难题埋下伏笔。 第五章：巴拿赫空间——完备性的力量 完备性在泛函分析中是至关重要的属性，它允许我们构造和证明收敛性定理。 巴拿赫空间（Banach Spaces）： 定义为完备的赋范线性空间。我们将分析为什么完备性如此重要，它允许我们在函数空间中安全地进行极限操作。 开映射定理（Open Mapping Theorem）： 这是一个深刻的定理，指出一个连续的满射线性算子在巴拿赫空间之间必定是一个开映射。我们将提供其严谨的证明，并阐述其在理论分析中的应用价值。 闭图像定理（Closed Graph Theorem）： 分析线性算子的图像闭合性与连续性之间的关系，以及在何种条件下（如一个空间是巴拿赫空间）它们是等价的。 第六章：对偶性与Hahn-Banach定理 本章探讨线性泛函（从空间到标量域 $mathbb{K}$ 的线性映射）的结构，这是泛函分析的核心研究对象之一。 线性泛函与强对偶： 定义赋范空间 $X$ 的连续对偶空间 $X^$，即所有连续线性泛函构成的空间。 Hahn-Banach扩张定理： 这是泛函分析中第一个真正“爆炸性”的结果。我们将详细阐述其在实数域和复数域上的表述，证明其存在性，并讨论其在保线性泛函扩张中的核心作用，无论空间是否完备。 有界线性泛函的刻画： 在度量空间中，我们分析了连续性与有界性的等价性。在更一般的情况下，我们将探讨如何利用 Hahn-Banach 定理来证明某些空间（如 $L^p$ 空间）的对偶空间的结构，为傅立叶分析和偏微分方程的理论奠定基础。 本书旨在提供一个连贯、逻辑严密的框架，使读者能够从抽象的拓扑结构过渡到具有强大分析工具的赋范线性空间，为进一步深入希尔伯特空间、测度论驱动的 $L^p$ 空间以及更高级的算子理论做好充分的准备。全书的重点在于概念的精确性、定理的深度证明及其内在联系的揭示，而非对具体计算技巧的罗列。

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