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出版者:Pearson Publications Company

作者:Mathematics

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-05

价格:USD 71.33

装帧:Hardcover

isbn号码:9780131478947

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• 数学
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深入探索：代数、几何与微积分的桥梁 (非《My Mathlab Student Version, 4th Edition》相关内容) 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的数学基础，涵盖了从基础代数到高级微积分的关键概念和应用。我们相信，数学不仅是一门学科，更是一种理解世界、解决复杂问题的强大工具。本书的结构设计旨在引导读者逐步建立逻辑思维链条，将抽象的数学原理与实际应用场景紧密结合。 --- 第一部分：坚固的基础——现代代数与函数分析 本部分聚焦于构建严谨的代数框架，这是所有高等数学学习的基石。我们将摒弃仅仅停留在运算层面的教学方法，转而强调对概念的深刻理解。 第一章：实数系统与基本结构 本章首先回顾了自然数、整数、有理数和无理数的集合结构，并深入探讨了实数系的完备性公理。我们详细阐述了数轴上的拓扑性质，为后续的极限和连续性概念埋下伏笔。重点讨论了绝对值、不等式的解法及其在区间表示法中的应用。一个重要的篇幅被用于分析代数表达式的结构化处理，包括多项式的因式分解（如高次因式定理的应用）和有理表达式的简化，强调在这些操作中保持数学等价性的重要性。 第二章：线性方程组与矩阵代数入门 本章引入了线性系统的概念，从二元和三元一次方程组开始，逐步过渡到$n$维空间中的线性方程组。高斯消元法（Gaussian Elimination）被作为核心工具进行深入讲解，不仅关注步骤的执行，更强调行阶梯形矩阵（Row Echelon Form）和简化行阶梯形矩阵（Reduced Row Echelon Form）背后的几何意义——解空间的维度和自由度。 矩阵部分，我们详细介绍了矩阵的加减乘法、转置和逆矩阵的求法。重点在于矩阵乘法的非交换性及其在坐标变换中的作用。最后，本章引入了行列式的概念，阐述了其计算方法（拉普拉斯展开）及其与矩阵可逆性的关系（行列式判别法）。 第三章：函数的本质：从图形到解析 本章是连接代数与分析的桥梁。我们从直观的笛卡尔坐标系出发，定义了函数的精确数学概念，包括定义域、值域和函数的四种基本性质（奇偶性、周期性、单调性、有界性）。 重点分析了几类核心函数族： 1. 多项式函数： 探讨了其根的性质、多项式函数的局部极值和拐点的一般趋势。 2. 有理函数： 深入分析了渐近线（垂直、水平和斜渐近线）的确定过程，以及函数图像的完整描绘方法。 3. 指数与对数函数： 阐述了自然对数$e$的精确定义（基于极限），并对比了不同底数的对数函数的变化率，强调其在复利计算和衰变模型中的应用。 第四章：数列、级数与收敛性 本章引导读者进入序列分析的世界。我们首先区分了有界数列和无界数列，并引入了极限的$epsilon-N$定义，用以精确描述数列的趋近行为。算术级数和几何级数的求和公式被导出并证明。 核心内容在于无穷级数的收敛性判定： 必要条件： 级项不趋于零的级数必发散。 积分判别法： 将离散的级数问题转化为连续的积分问题进行分析。 比较判别法与比值判别法： 适用于复杂级数的收敛性快速判断。 最后，本章简要介绍了幂级数（Power Series）的概念及其收敛半径的确定方法，为泰勒级数做准备。 --- 第二部分：变化的度量——微分学原理与应用 微分学是研究瞬时变化率的数学分支。本部分从直觉的概念过渡到严格的导数定义，并展示其在优化和建模中的强大能力。 第五章：极限、连续性与导数的诞生 本章是微积分学习中最为关键的理论基石。我们首先使用直观的图形和数列例子来理解极限的概念，然后严谨地定义了单侧极限和双侧极限。 连续性的分析基于极限：函数在某点连续的三个条件（定义存在、极限存在、两者相等）被详细讨论。我们探讨了闭区间上连续函数的介值定理（Intermediate Value Theorem）和最大最小值定理（Extreme Value Theorem）的实际意义。 导数的定义——差商的极限——被引入，作为切线斜率和瞬时变化率的精确描述。本章对比了导数存在性与函数连续性的关系。 第六章：导数的运算法则与基本公式 本章系统地介绍了求导的工具箱： 1. 基本求导法则： 和、差、积、商的求导法则及其证明。 2. 复合函数求导： 链式法则（The Chain Rule）被视为核心技能，配有大量的实例分析，以处理复杂嵌套函数的求导。 3. 高阶导数： 二阶导数在描述曲率和凹凸性中的作用。 4. 特殊函数的导数： 幂函数、三角函数（正弦、余弦、正切等的导数）、反三角函数、指数和对数函数的精确导数公式。 第七章：隐函数求导与相关变化率 本章将导数应用于非显式函数关系中。隐函数求导法（Implicit Differentiation）被详细讲解，它允许我们处理那些难以或无法明确解出$y$的方程（如圆、椭圆方程）。 相关变化率（Related Rates）部分，通过具体的物理或工程问题（如水箱注水速度、影子长度变化），展示了如何根据已知变量的变化率来求解未知变量的变化率，强调了变量之间时间依赖关系的建立。 第八章：微分中值定理与导数的应用 本章探讨了导数如何揭示函数的整体行为。 1. 罗尔定理（Rolle's Theorem）与均值定理（Mean Value Theorem, MVT）： MVT 被证明，并阐述了其在证明其他定理中的核心地位。 2. 洛必达法则（L'Hôpital's Rule）： 专门用于处理$0/0$和$infty/infty$型不定式极限，通过导数来简化极限计算。 3. 导数在函数分析中的应用： 单调性判断： 一阶导数符号与函数增减性的关系。 极值与最优化问题： 利用一阶导数检验（FDT）和二阶导数检验（SDT）寻找局部极值点。 凹凸性与拐点： 二阶导数符号与函数曲线形状的关系。 --- 第三部分：累积的量——积分学基础与技术 积分学是对微分学的逆向操作，是研究总量、面积和累积效应的工具。 第九章：定积分的几何意义与黎曼和 本章从面积计算的实际问题出发，引入了定积分的概念。我们通过黎曼和（Riemann Sums）的构造，精确定义了定积分：即在有限区间内，将区间分割成无数个小矩形，然后求和取极限的过程。 我们讨论了定积分的线性性质以及上、下限的交换性质。牛顿-莱布尼茨公式的直观演示，将定积分与不定积分联系起来。 第十章：微积分基本定理与不定积分 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, FTC）被视为微积分的最高成就。本章分为两部分详细阐述：FTC（Part 1）论证了定积分是微分的逆运算；FTC（Part 2）提供了计算定积分的实际方法。 不定积分作为原函数族，详细列举了常见函数族的不定积分公式。 第十一章：积分技巧：从基本方法到代换法 本章专注于掌握求解复杂积分的各种技术： 1. 直接积分法： 熟练运用基本积分公式。 2. 替换法（Substitution Rule）： 推广了链式法则，这是求解定积分和不定积分最常用的技巧。我们重点分析了换元后上下限的同步变化。 3. 分部积分法（Integration by Parts）： 基于乘积求导法则的逆向应用，公式$int u , dv = uv - int v , du$的结构和选择$u$与$dv$的策略得到详尽的指导。 第十二章：积分的应用：面积、体积与平均值 本章展示了积分的广泛应用场景： 几何应用： 计算平面区域的面积（包括上下曲线之差）、旋转体的体积（圆盘法、薄壳法）。 物理应用： 求解变力做功问题。 统计应用： 计算函数在给定区间上的平均值。 --- 本书的撰写风格力求清晰、精确且富有启发性，通过大量的图示和循序渐进的例题，帮助学习者构建稳固的数学思维结构，为未来在工程、物理、经济学或其他定量科学领域的深入学习打下坚实的基础。每一章节末尾都设置了回顾与挑战性练习，以巩固所学知识。

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这本书在理论讲解的深度和广度上做得相当到位，既保证了数学概念的严谨性，又不会让读者感到枯燥乏味。作者在解释每一个定理或公式时，都会给出清晰的推导过程，并且在推导的关键步骤处，会进行详细的解释和说明，标注出所应用的原理，这让我能够理解公式是如何一步步产生的，而不是仅仅死记硬背。例如，在关于线性代数的部分，作者对于矩阵的乘法和逆矩阵的求解，都进行了非常细致的推导，并且还解释了这些运算在实际问题中是如何应用的，比如在计算机图形学中的变换。更让我印象深刻的是，书中对于一些比较复杂的数学证明，作者会提供多种证明思路，或者从不同的角度来解读，这有助于我理解同一个问题可能有不同的解决方法，也能够加深对数学逻辑的理解。除了理论推导，书中还穿插了许多历史背景的介绍，比如某个数学概念是如何被发现的，以及对现代数学发展产生了怎样的影响，这些内容不仅增加了阅读的趣味性，也让我对数学这门学科有了更深的敬意。作者的语言风格比较严谨，但又不失生动，即使是面对一些比较抽象的理论，也能感受到作者的严谨和用心。

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这本书在对数学史和数学家故事的融入上做得非常出色，这让学习过程变得更加有血有肉，也让我对数学这门学科产生了更深的理解和敬意。作者会在讲解重要的数学概念时，穿插介绍相关数学家的生平事迹，以及他们是如何在当时的时代背景下，克服重重困难，最终取得突破性进展的。例如，在讲解微积分的牛顿和莱布尼茨的贡献时，书中不仅介绍了他们各自的理论体系，还描绘了他们之间激烈的争议，以及这些争议对数学发展的推动作用。这些生动的故事，让我觉得数学不再是冰冷的符号和公式，而是人类智慧和探索精神的结晶。它们也极大地激发了我对数学的兴趣，让我愿意去了解更多关于数学的历史和文化。我发现，当我们理解了知识的来龙去脉，以及创造这些知识的人们所经历的奋斗，就更容易对这些知识产生情感上的连接，从而更愿意投入精力去学习。

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这本书的语言风格非常吸引人，即使是讲解一些枯燥的数学原理，也能够保持一种生动活泼的叙述感。作者在行文中，常常会运用一些幽默的语言或者有趣的类比，让原本可能令人望而生畏的数学概念变得容易理解。比如，在解释数学归纳法时，作者会用“推倒多米诺骨牌”来形象地说明其原理，这种生动的比喻让我瞬间就抓住了核心。而且，作者非常善于引导读者的思考，他会提出一些开放性的问题，让读者在阅读过程中自己去探索答案，而不是直接给出所有信息。这种“引导式”的叙述方式，让我觉得自己参与到了知识的创造过程中，而不是被动地接受。书中的语言也比较简洁明了，没有过多冗余的修饰，每一个句子都力求准确地传达信息。我发现，当我遇到一些难以理解的概念时，尝试用作者的叙述方式去复述一遍，往往就能豁然开朗。

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这本书的排版和设计我真的非常喜欢。封面配色是那种沉静而又不失活力的蓝色调，很有学习的氛围。翻开书页，纸张的触感也很好，不是那种很粗糙的印刷纸，而是略带一点点光滑，用铅笔做笔记的时候也不会轻易蹭掉，用橡皮擦修改也比较方便，不会把纸弄得坑坑洼洼的。更让我惊喜的是，书中的插图和图表都绘制得非常精美，线条清晰，色彩搭配也很合理，不会让人觉得眼花缭乱。很多抽象的数学概念，通过这些生动的图示，一下子就变得直观易懂了。例如，在讲解微积分的极限部分，书中用了大量的几何图形来展示函数的变化趋势，配合着不同颜色的曲线和标注，即使是之前对微积分有些畏惧的我，也感觉豁然开朗。每一章的开头都会有一个小引言，简要介绍本章的学习内容和它在整个数学体系中的地位，这对于我们宏观把握学习进度很有帮助。而且，章节的划分也很清晰，知识点的过渡自然流畅，不会出现突然跳跃或者上下文脱节的情况。书本的装订也很牢固，即使经常翻阅，也不会出现散页的情况。整体而言，这本书在视觉设计和阅读体验上都做得非常出色，这对于长时间的学习来说，无疑是一个巨大的加分项。它不仅仅是一本教科书，更像是一个精心制作的学习工具，让我愿意花更多时间去探索其中的奥秘。

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这本书的学习曲线设计得非常巧妙，循序渐进，让我这个数学基础相对薄弱的学生也能逐步跟上。刚开始接触一些概念时，作者会用非常浅显易懂的语言进行解释，并且会引用生活中的例子来类比，这让我能够快速建立起对新知识的初步认知。比如，在讲解概率论的期望值时，作者就用了一个掷骰子的游戏来类比，分析了不同结果出现的可能性以及对应的收益，这种贴近实际的例子，瞬间就把抽象的数学公式变得生动有趣了。更值得称赞的是，每一节内容的后面都会有一些“热身练习”，这些题目难度适中，主要用来巩固刚刚学到的知识点，确保学生在进入下一部分内容之前，已经基本掌握了基础。这些热身练习的答案也提供了详尽的解题思路，我经常会仔细研究那些自己做错的题目，通过对比作者的解法，找出自己理解上的偏差。等到完成一个大的章节后，又会有一些综合性的习题，这些题目会结合本章的多个知识点，对理解的深度和广度都有更高的要求。我发现，通过完成这些习题，我不仅巩固了知识，更重要的是培养了运用数学知识解决实际问题的能力。作者并没有一味地强调公式和推导，而是更注重概念的理解和方法的运用，这一点让我觉得这本书非常实用。

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这本书的习题设计非常具有梯度，从易到难，层层递进，能够有效地帮助我巩固和提升数学能力。每一章的习题部分，都会包含多种类型的题目，有的是概念理解题，考察对基本概念的掌握程度；有的是计算题，锻炼我的计算熟练度；还有的是应用题，要求我运用所学知识解决实际问题。更让我惊喜的是，在一些比较核心的章节，作者还会提供一些“挑战性”的题目，这些题目难度较大，需要综合运用多个知识点，并且可能需要一些创造性的思考才能解决。我非常喜欢这些挑战性题目，它们能够激发我的求知欲，也让我能够检验自己的极限。通过攻克这些难题，我不仅提升了数学技能，也增强了解决复杂问题的信心。而且，书后提供了大部分习题的详细答案和解题思路，这对于我独立学习和自我纠错非常重要。我经常会先自己尝试解答，然后对照答案，对比解题思路，找出自己的不足之处。

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我非常欣赏这本书在解决实际应用问题方面的侧重点。它不仅仅是一本理论书籍，更是一本能够教会你如何将数学知识应用到实际场景中的工具书。在每一章的结尾，作者都会精心设计一些案例分析，这些案例通常来源于工程、经济、计算机科学等多个领域，而且都与本章所学的知识点紧密相关。例如，在学习微积分的积分应用时，书中就有一个关于计算不规则形状物体体积的案例，它详细展示了如何运用定积分来解决这个问题，并且还分析了该方法在实际工程测量中的意义。这些案例分析让我深刻地体会到数学的实用价值，也激发了我学习数学的内在动力。我喜欢这种“学以致用”的学习方式，它能够让我看到数学的生命力，不仅仅是纸面上的公式，更是解决现实世界问题的强大工具。通过这些案例，我还能了解到不同学科之间是如何运用数学进行交叉研究的，这拓展了我的知识视野。

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这本书的编辑和校对质量我必须给予高度评价。在阅读过程中，我几乎没有发现任何印刷错误或者排版上的疏漏。页码清晰，章节标题醒目，目录索引准确无误，这极大地提高了我在书中查找信息和定位知识点的效率。而且，书中对公式的符号和格式也进行了统一规范，这对于我理解和记忆复杂的数学公式非常有帮助。我曾经在其他书籍中遇到过因为编辑校对不严谨而导致的理解障碍，但在这本书中，我完全没有这种困扰。每一个图表都清晰可见，标注准确，与正文内容完美契合，没有出现图文不符的情况。这种细致入微的编辑工作，让我能够专注于内容的学习，而无需担心被无关的错误干扰。一本高质量的书籍，不仅仅在于其内容的深度和广度，还在于其呈现方式的严谨和专业，而这本书无疑在这方面做到了极致，让我觉得物超所值。

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这本书的配套资源是我非常满意的一点。除了书本本身，配套的在线平台提供了大量的额外学习材料，包括视频讲解、交互式练习题以及模拟测试。这些资源极大地丰富了我的学习体验。我特别喜欢视频讲解，很多概念在书本上看起来比较抽象，但通过老师生动形象的讲解，尤其是配合着动态的图示，就能够理解得更透彻。有时候，我看书遇到了瓶颈，就会去平台上看相关的视频，往往能获得新的启发。在线练习题的设计也非常人性化，系统会根据我的答题情况，智能推荐相似难度的题目，让我能够在薄弱环节进行针对性练习。而且，这些练习题的反馈非常及时，我可以立刻知道自己做对了还是做错了，以及错误的原因。模拟测试则非常接近真实的考试环境，帮助我熟悉考试流程，并评估自己的学习进度。这些配套资源让我感觉不仅仅是在学习一本书，而是在一个完整的学习生态系统中进行学习，极大地提高了学习效率和效果。

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这本书在概念的引入和解释上，有着非常独特的视角，能够引发读者深入思考。作者并不满足于仅仅给出定义和公式，而是会引导读者去探究“为什么”。比如，在讲解集合论的时候，作者会先提出一些关于“分类”的实际问题，然后引导读者思考如何才能精确地定义和操作这些“分类”，从而引出集合的概念。这种“从问题出发”的学习方式，让我能够主动地去思考，而不是被动地接受知识。书中的讨论题和思考题也做得非常棒，这些题目往往没有标准答案，而是鼓励读者进行开放性的讨论和推理，这对于培养我的批判性思维和解决问题的能力非常有帮助。我经常会花很多时间去思考这些问题，并且尝试用自己理解的方式去解答。有时候，我也会和其他同学一起讨论这些题目，通过交流不同的观点，能够学到很多书本上没有直接提及的知识。这种互动式的学习方式，让我觉得学习数学不再是孤立的个人行为，而是充满探索和交流的乐趣。

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