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出版者:Cambridge University Press

作者:Niels Lauritzen

出品人:

页数:252

译者:

出版时间:2003-10-20

价格:USD 53.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521534109

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《几何拓扑前沿：从黎曼流形到量子场论》 导言：空间的深度与结构的优雅 本书旨在深入探讨现代数学物理中占据核心地位的几何拓扑学分支，聚焦于从经典的微分几何基础到前沿的代数拓扑与拓扑场论的广泛领域。我们不仅仅是对现有理论的梳理，更是一次对空间本质、曲率概念的几何诠释及其在描述物理实在中作用的探索之旅。本书的读者群体设定为具备扎实微积分和线性代数基础，并对抽象代数和初步拓扑学有所涉猎的研究生和高年级本科生。我们力求在严谨性与直观性之间寻求平衡，引导读者跨越纯数学的抽象藩篱，直抵物理学应用的前沿阵地。 第一部分：微分几何基础与黎曼几何的构建 本部分是全书的基石，重点在于建立描述光滑空间结构所需的数学工具。 第一章：流形与张量分析的复兴 我们从光滑流形的精确定义开始，详细阐述了坐标图、转移映射和光滑结构的重要性。重点讨论了切空间、向量场以及微分形式的概念，这些是后续所有几何构造的基础。张量分析部分将严格定义张量场，并引入协变导数和黎曼度量张量。特别地，我们将详细探讨黎曼曲率张量，它是衡量空间局部几何性质的核心量。布莱迪-切恩公式（The Brady-Chern Form）的引入，将为后续的特征类理论奠定代数基础。本章侧重于如何在局部坐标系下操作这些微分对象，并理解它们在坐标变换下的不变量性。 第二章：测地线、曲率与空间形态 在黎曼流形上，我们自然地引入了“最短路径”——测地线的概念。本章将推导测地线方程，并探讨测地线的存在性与唯一性定理。我们将深入分析截面曲率（Sectional Curvature）的概念，并考察具有恒定截面曲率的特殊流形，如欧几里得空间、球面和双曲空间（庞加莱圆盘模型）。此外，我们将剖析黎曼几何中的两个重要定理：高斯绝妙定理（Theorema Egregium），它揭示了第二基本形式与曲率之间的内在联系，以及辛奈尔-科达里兹定理（Synge-Coddard Theorem），该定理探讨了空间是否可定向性与测地线之间的关系。本章将通过具体的例子，如圆环面和克莱因瓶的局部几何描述，增强读者对曲率概念的直观理解。 第三章：连接、协变导数与爱因斯坦方程的几何起源 本章将聚焦于如何处理流形上向量场的“平行移动”。我们将从曲率零的条件出发，推导出协变导数的唯一性，从而定义列维-奇维塔连接（Levi-Civita Connection）。随后，我们将详细阐述里奇曲率（Ricci Curvature）和标量曲率（Scalar Curvature）。在物理应用方面，我们将花费大量篇幅讨论爱因斯坦-希尔伯特作用量及其变分原理，推导出描述时空几何的爱因斯坦场方程。我们将严格区分爱因斯坦方程中的黎曼几何部分和物质场的耦合机制。 第二部分：代数拓扑的框架与拓扑不变量 本部分从几何的连续性转向代数的稳定性，引入拓扑学工具来分类几何对象。 第四章：基本群与覆盖空间 我们从点集的拓扑基础出发，迅速过渡到代数拓扑的核心——基本群（Fundamental Group）。本章将详细讲解路径、同伦、以及基本群的构造过程。我们将计算圆周 ($S^1$)、环面 ($T^2$) 和二维球面 ($S^2$) 的基本群，并利用布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed Point Theorem）的拓扑论证来理解其重要性。覆盖空间理论将作为桥梁，展现如何利用基本群的性质来研究空间的局部结构，并引入万有覆盖空间的概念。 第五章：同调论：洞的代数计数 本章旨在系统介绍同调论（Homology Theory），这是理解高维流形“洞”的最佳工具。我们将从链复形、边界算子和洋葱代数（Algebra of Sheaves）的角度，严格定义辛联同调（Simplicial Homology）和奇异同调（Singular Homology）。重点计算一系列经典空间的同调群，如球面、环面以及实射影平面 ($mathbb{RP}^2$)。我们将讨论庞加莱对偶性（Poincaré Duality），该定理揭示了流形的上同调群与下同调群之间的深刻联系，为后续的几何分析提供代数上的对称性视角。 第六章：纤维丛与规范理论 纤维丛是连接几何对象与代数结构的关键结构。本章将定义纤维丛、截面以及主纤维丛。我们将深入研究向量丛，并引入赫尔曼-韦伊（Hermann-Weyl）的规范理论，讨论联络（Connection）在纤维丛上的推广，即规范联络。随后，我们将引入杨-米尔斯场（Yang-Mills Fields）的概念，并结合第五章的工具，讨论陈-西蒙斯（Chern-Simons）形式，展示其在三维流形上的拓扑不变量性。 第三部分：拓扑场论与现代几何物理应用 本部分将理论推向应用，探讨拓扑理论在量子物理描述中的作用。 第七章：狄拉克算子与指标定理 指标定理是微分几何与拓扑学结合的巅峰之作。本章将首先介绍狄拉克算子（Dirac Operator）在黎曼流形上的定义，以及它在旋量场理论中的作用。随后，我们将详细推导阿蒂亚-辛格指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem），阐释分析（通过狄拉克算子的指标）如何精确地等于拓扑不变量（如陈类）。本章将强调该定理在规范场论中奇点（如电荷量化）的出现机制中的关键地位。 第八章：规范场、拓扑荷与可积系统 本章将拓扑概念应用于量子场论。我们探讨杨-米尔斯理论中的拓扑荷（Topological Charge）的概念，例如庞加雷不变量（Instanton）及其与第二陈类之间的联系。我们将讨论规范理论中的霍普夫不变量（Hopf Invariant）在早期规范场理论中的应用。最后，我们将引入可积系统（Integrable Systems）的现代几何描述，例如KdV方程在曲率流（Ricci Flow）理论中的体现，展示经典动力学如何被嵌入到更高维的几何流形中。 结论：展望未来 本书的结论部分将总结几何拓扑在理解现代物理学，特别是弦理论和量子引力中的作用。我们将简要提及辛几何（Symplectic Geometry）在相空间理论中的地位，以及更高级的K-理论在描述拓扑绝缘体中的新兴角色。几何拓扑学的力量在于其跨越尺度和维度进行统一描述的能力，本书所构建的理论框架，旨在为读者提供探索这些前沿问题的坚实基础。

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初次接触《Concrete Abstract Algebra》，我立刻被其独特的书名所吸引。在我看来，抽象代数是数学中最具力量和优雅的领域之一，它揭示了数学结构中最本质的规律。然而，这些抽象的概念往往也最具挑战性，容易让人在理解过程中感到迷茫。因此，书名中的“Concrete”二字，对我而言，无疑是一道明亮的曙光，它预示着这本书将能够为抽象代数提供一个具体、可感的视角。我非常期待书中能够提供大量精心挑选的例子，这些例子不仅能够清晰地阐述抽象的概念，更能够展示这些概念是如何在实际问题中得到应用的。例如，我渴望通过书中关于群的论述，理解对称性在几何和物理中的体现；在环论的部分，我期待能够看到多项式环、整数环等实例，并了解它们在数论和代数几何中的应用。这本书给我一种严谨而不失活力的感觉，仿佛它是一本能够带领我穿越抽象的迷雾，抵达清晰的数学理解的旅程中的忠实伙伴。我期待它能让我不仅仅停留在符号的表面，而是能够深入其核心，体会到数学结构的真正魅力。

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这本《Concrete Abstract Algebra》在我手中沉甸甸的，封面设计简洁有力，仅仅一个名字就足够引人遐想。我一直对数学的抽象之美抱有浓厚的兴趣，尤其是那些看似虚无缥缈却能构建起严谨逻辑体系的概念，总能让我着迷。这本书的标题恰好点中了我的痒点——“Concrete”，它暗示着这本书并非只停留在纯粹的理论层面，而是试图将抽象代数与具体的、可操作的例子相结合，让读者能够更容易地理解那些深邃的数学思想。我非常期待它能像一个睿智的向导，带领我在抽象代数的广阔天地中，不仅看到宏伟的建筑，更能触摸到构成它的每一块砖石。尤其是在学习过程中，当遇到那些令人望而却步的定义和定理时，我总希望能有一本能给予我清晰的指引，让我能够循序渐进地理解其背后的逻辑和意义。这本书给我的第一印象，便是它承诺的这种“具体性”，这对于我这样一位渴望深入理解却又容易在概念的海洋中迷失方向的读者来说，无疑是极大的吸引力。我预感，通过这本书，我将能更深刻地领会到群论、环论、域论等核心概念的精髓，并能将其与一些实际问题联系起来，从而真正做到“学以致用”，让抽象的数学知识在我的头脑中生根发芽，开出理解的花朵。

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《Concrete Abstract Algebra》这本书的到来，无疑为我的数学学习注入了一股新的活力。我一直以来都对数学的结构性思维模式有着强烈的追求，而抽象代数恰恰是这种思维的极致体现。在众多数学分支中，抽象代数以其对数学对象本质特征的深刻洞察而著称，但同时，它也常常因为其高度的抽象性而让许多初学者望而却步。这本书的书名——“Concrete Abstract Algebra”，恰如其分地捕捉到了我内心深处对学习的渴望：我渴望理解那些抽象的数学概念，但更希望能够通过具体的例子和直观的解释来加深理解。我期待这本书能够提供丰富的、贴近实际的应用场景，比如如何用群论来分析化学分子的对称性，或者如何利用环和域的性质来设计高效的加密算法。我希望书中不仅仅是定理和证明的堆砌，更重要的是能够引导我去思考这些概念背后的数学思想，以及它们是如何在现实世界中发挥作用的。这本书的封面设计给我留下了一种稳重而又不失活力的印象，仿佛预示着它将带领我穿越抽象的迷雾，抵达知识的彼岸，并能让我在那里看到清晰的风景。

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《Concrete Abstract Algebra》这本书，光是听名字就让我感到一种莫名的亲切感，仿佛它将是我在浩瀚的数学海洋中寻找彼岸的一艘坚实的船。一直以来，我都被抽象代数的概念所吸引，但同时也对如何真正“理解”这些概念感到困惑。许多教材在介绍抽象代数时，往往过于侧重理论的严谨性，而忽略了对直观理解的培养。这本书的标题，正是抓住了我学习上的一个痛点——“Concrete”。它暗示着作者试图将抽象的理论与具体的例子相结合，从而帮助读者更好地掌握抽象代数的精髓。我期待书中能够提供丰富的、多样化的例子，来阐释群、环、域等核心概念。例如，我希望能够通过书中关于置换群的讨论，直观地理解群的结构；在环论的部分，我期待能够看到多项式环、矩阵环等具体实例，并了解它们在代数运算中的应用。这本书给我一种稳重而又充满智慧的印象，我坚信它能够为我打开理解抽象代数的大门，并让我真正体会到数学的魅力所在。

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拿到《Concrete Abstract Algebra》这本书，我立刻被它那充满哲学意味的书名所吸引。抽象代数，这个听起来就带着几分神秘和深邃的领域，总是让我既向往又有些畏惧。我理解，抽象代数的核心在于挖掘数学结构中最本质、最普适的规律，但我也深知，过于抽象的概念往往难以消化，容易让人在理论的汪洋中迷失方向。因此，“Concrete”这个词在我眼中，便如同灯塔的光芒，指引着我前往理解的港湾。我期待这本书能够提供大量生动、翔实的实例，让我能够将抽象的群、环、域等概念与具体的数学对象联系起来。例如，我希望能够通过书中详细的例子，理解置换群是如何刻画对称性的，多项式环是如何构建域的，以及域的理论是如何在数域扩张中发挥作用的。我更期待，这本书能够教会我如何运用这些抽象的工具去解决实际问题，哪怕只是一个简单的数论问题，或者是一个基础的编码理论的概念，只要能体现抽象代数的“用武之地”，都会让我受益匪浅。我感觉这本书的厚度恰到好处，既包含了足够的信息量，又不会显得过于庞杂，这让我对它能够成为我学习路上的得力助手充满了信心。

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《Concrete Abstract Algebra》这本著作，从书名就传递出一种求真务实的学习理念。我一直对数学的抽象美学有着深厚的兴趣，尤其喜欢那些能够将看似抽象的概念与具体事物联系起来的数学理论。抽象代数，作为现代数学的重要分支，为我们提供了理解数学结构和模式的强大工具。然而，在学习过程中，我常常发现，要真正领会抽象代数的精髓，离不开具体的例子和直观的解释。这本书的标题，正是抓住了这一学习的关键点，它承诺将抽象代数与“Concrete”的实践相结合，这让我对它充满了期待。我希望这本书能够提供丰富的、多样化的实例，来阐释群、环、域等核心概念，并展示它们在不同领域的应用。例如，我期待书中能够详细介绍置换群是如何描述数学对象的对称性的，多项式环又是如何构建更复杂的代数结构的。这本书给我一种既严谨又充满智慧的感觉，仿佛它是一本能够引领我深入探索抽象代数世界，并从中获得深刻理解的宝贵财富。

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拿起《Concrete Abstract Algebra》这本书，我首先被它简洁而充满力量的书名所吸引。在我的认知里，数学的抽象性是其魅力的核心，但同时，也常常是初学者面临的挑战。要将那些高深的抽象概念转化为自己可以理解和掌握的知识，往往需要一位优秀的向导，而这本书的标题，正是向我承诺了这样的向导。我期待这本书能够提供大量的、精心设计的具体例子，来帮助我理解抽象代数中的核心概念，如群、环、域等。我希望通过这些例子，我能够直观地感受到群的性质，例如对称群在几何中的应用；或者在环论的部分，能够通过多项式环的运算，理解代数结构的复杂性。我更希望这本书不仅仅是停留在理论层面，而是能够引导我去思考这些抽象概念是如何在实际问题中发挥作用的，哪怕是简单的数论问题，抑或是基础的编码理论。这本书给我的第一印象是，它是一本能够切实地帮助我打下坚实抽象代数基础的优秀读物，它的“Concrete”之处，正是它最吸引我的地方。

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当我第一次看到《Concrete Abstract Algebra》这本书的书名时，我就知道我找到了一本我一直在寻找的数学读物。抽象代数，这个概念本身就带有一种深邃的魅力，它能够揭示数学世界背后最本质的规律。然而，我常常在学习过程中感到，那些抽象的定义和定理，如果没有具体的例子作为支撑，就很难真正地内化和理解。这本书的标题，恰好点出了它与众不同的地方——“Concrete”，它承诺了这本书将不仅仅是纯粹的理论堆砌，而是会与具体的数学实例紧密结合，帮助读者建立起对抽象概念的直观认识。我非常期待书中能够提供大量引人入胜的例子，来解释群、环、域等核心概念。例如，我希望能通过书中关于对称群的讨论，理解群的生成元和关系，以及它们在晶体学或化学中的应用。在环论部分，我期待看到关于整数环、多项式环等具体实例，并了解它们在数论和代数几何中的重要性。这本书给我一种扎实而又富有启发的印象，它让我对深入学习抽象代数充满了信心，并相信它将成为我数学学习道路上的一位得力助手。

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当我翻开《Concrete Abstract Algebra》的扉页，一种扑面而来的严谨与优雅让我瞬间沉浸其中。书页泛着淡淡的纸香，油墨的触感也十分细腻，这本身就为我的阅读体验奠定了良好的基础。从目录的编排可以看出，作者在内容的组织上颇费心思，循序渐进，从基础概念的引入，到复杂定理的证明，再到各种应用的探讨，环环相扣，逻辑清晰。我特别关注的是书中对“具体”部分的阐述，我希望它不仅仅是罗列一些例子，而是能够深入地剖析这些例子是如何印证抽象的代数结构，以及这些结构在实际问题中扮演的角色。例如，在介绍群论时，我期待它能不仅仅给出置换群的定义，还能详细讲解如何通过对称性来构建一个群，或者在讲到环论时，能够清晰地阐述多项式环在密码学或编码理论中的应用。我坚信，数学的魅力在于其普遍性和应用性，而一本好的教科书，应该能够在这两者之间架起一座坚实的桥梁。这本书的标题“Concrete Abstract Algebra”正是对我这种期待的最好回应，它预示着我将会在本书中找到理解抽象代数的最直接、最实在的路径，让学习的过程不再是枯燥的符号游戏，而是充满探索与发现的智力冒险。

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《Concrete Abstract Algebra》这本著作，在我拿起它的那一刻，便散发出一种沉甸甸的知识分量，以及一种令人期待的阅读体验。我一直认为，真正的数学教育，不仅仅在于传授知识本身，更在于培养学习者理解和运用知识的能力，而抽象代数，作为现代数学的基石之一，更是需要一种既严谨又具象化的学习路径。这本书的标题，巧妙地将“Concrete”与“Abstract Algebra”并置，预示着它将是一本能够将抽象理论与具体实践相结合的优秀教材。我非常期待书中能够提供大量的、多角度的例子，来阐释群、环、域等核心概念。例如，我希望能够通过书中关于置换群的讨论，直观地理解群的结构以及置换的性质；在环论的部分，我期待能够看到多项式环、矩阵环等具体例子，并了解它们在代数运算中的应用。更重要的是，我希望这本书能够引导我思考如何将这些抽象的数学工具应用于解决实际问题，比如在密码学、编码理论、甚至是计算机科学等领域。这本书给我一种扎实可靠的感觉，仿佛它是一本能够引领我深入探索抽象代数世界，并能将这些深刻的数学思想转化为实际理解的可靠指南。

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