初中数学1//思维盲点点击

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isbn号码:9787533627140
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具体描述

《跨越藩篱:现代高等代数导论》 内容提要: 本书旨在为具有一定微积分基础的读者提供一个深入而系统的现代高等代数学习体验。不同于传统侧重于计算的教材,本书将代数结构作为核心,构建起群论、环论和域论的完整框架。我们致力于在清晰的定义和严谨的证明基础上,阐述代数对象内在的美感和深层次的联系。全书分为六大部分,涵盖了从基础概念到前沿应用的广泛内容,尤其强调了抽象思维在解决具体问题中的力量。 第一部分:基础与预备知识 本部分作为全书的基石,首先回顾了读者可能已经接触过的线性代数中的关键概念,如向量空间、线性变换和矩阵的联系。但我们的重点在于提升抽象层次,引入集合论的基本语言,如等价关系和划分,为后续定义群、环等代数结构做好铺垫。 1.1 集合的代数化语言: 深入探讨集合运算的性质,重点解析同构的概念,并将其初步引入到线性代数的实例中,为理解同构定理打下直观基础。 1.2 整数环与模运算: 详述 $mathbb{Z}$ 上的整除性、素数概念,并系统阐述模 $n$ 算术的代数结构,展示了最早出现的“环”的雏形。我们强调了最大公约数与裴蜀等式的联系,为后续的理想理论做铺垫。 1.3 映射的性质与构造: 详细分析单射、满射、双射的定义及其在构造代数同构时的关键作用,特别是商集(Quotient Set)的构造过程,这是构建商群和商环的先导。 第二部分:群论的精髓 群是抽象代数中最基本、应用最广泛的结构。本部分将群论置于核心地位,从最简单的例子出发,逐步深入到复杂的结构。 2.1 群的公理与基本性质: 严谨定义群的四个公理,并通过实例(如对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$)来检验这些性质。着重讨论单位元和逆元的唯一性,以及子群的判别。 2.2 子群、陪集与拉格朗日定理: 详细探讨子群的性质,引入陪集(Coset)的概念,并以此为工具,推导出著名的拉格朗日定理。拉格朗日定理的证明将结合计数原理,展现其简洁和强大。 2.3 正规子群与商群的构造: 这是抽象代数的核心飞跃。我们详尽解释正规子群的定义及其等价条件,并在此基础上构造出商群(Quotient Group)。商群的运算定义将进行细致的验证,确保读者理解商群的元素实际上是原群的陪集。 2.4 同态与同构定理: 系统介绍群同态的性质,特别是核(Kernel)的性质。核心内容是第一同构定理,我们将通过多角度的图示和例子(如指数映射在乘法群中的应用)来阐释这个定理,它是连接不同群结构的关键桥梁。 2.5 有限群的结构: 介绍循环群的结构及其分类,随后转向更一般的有限群。阐述Sylow 定理(若不进行完全严格的证明,则侧重于定理的应用和意义),展示如何利用 Sylow $p$-子群来分析有限群的结构,并举例说明它们在判断群是否为可解群中的作用。 第三部分:环论的扩展 环是带有乘法运算的群,它将代数的概念从加法扩展到了乘法。 3.1 环的定义与例子: 定义环的公理,并区分交换环与非交换环、单位环与无单位环。重点分析矩阵环 $M_n(R)$ 和多项式环 $R[x]$ 的结构。 3.2 子环与理想: 类比子群,定义子环。更重要的是,引入理想(Ideal)的概念,强调理想作为“加法正规子群”在乘法上的特殊地位。详细讨论主理想(Principal Ideal)和生成元。 3.3 商环与同态: 仿照群的构造,定义商环(Quotient Ring)并通过环同态的核来构造。深入探讨环的同构定理,特别是第一同构定理在环论中的表述。 3.4 整环与域: 区分整环(Integral Domain)的特性——无零因子。接着,将概念提升到域(Field),讨论域的定义及其作为“只有非零元构成群”的代数结构。阐述 $mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$ 以及有限域 $mathbb{F}_p$ 的结构。 3.5 主理想整环与因子分解: 介绍更精细的环结构:主理想整环(PID)和欧几里得整环(Euclidean Domain)。重点探讨在这些环中,因子分解的唯一性问题,如 $mathbb{Z}[i]$ 中的高斯整数的唯一分解性质。 第四部分:多项式环与域的扩张 本部分将代数工具应用于构造新的域,为伽罗瓦理论做准备。 4.1 多项式环的性质: 深入分析多项式环 $F[x]$(其中 $F$ 是域)的性质,证明 $F[x]$ 是一个欧几里得整环,并因此保证了因式分解的唯一性。讨论多项式求根与因子的关系。 4.2 域的扩张: 定义域扩张 $E/F$,引入次数 $[E:F]$ 的概念。区分代数扩张与超越扩张,并通过 $F[x]$ 模理想构造出一个域扩张 $mathbb{F}_p(alpha)$ 的具体过程。 4.3 分裂域与最小多项式: 解释最小多项式的唯一性及其不可约性。构造给定多项式的分裂域(Splitting Field),并证明分裂域的存在性和唯一性(在同构意义上)。 第五部分:向量空间与模的联系 本部分重访向量空间,并将其推广到更一般的模(Module)概念,展示群、环与线性代数之间的深层联系。 5.1 向量空间的再审视: 将向量空间视为域 $F$ 上的模,从而统一视角。复习基、维数、线性变换的矩阵表示的代数基础。 5.2 模的引入: 将域 $R$ 替换为任意环 $R$,定义 $R$-模。讨论模与向量空间的区别(如自由模、挠模的概念),展示模的理论比向量空间复杂得多。 5.3 模的结构定理: 介绍有限生成阿贝尔群的结构定理(作为 $mathbb{Z}$-模结构定理的特例)。这个定理是连接初等因子分解与结构分类的桥梁,是群论与环论应用的重要交汇点。 第六部分:应用与展望 6.1 伽罗瓦理论的基石: 简要介绍伽罗瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$ 的定义及其性质,特别是伽罗瓦对应关系,展示如何利用群论来解决多项式方程的可解性问题(如五次方程不可解的代数解释)。 6.2 有限域的构造与应用: 详细构造阶为 $p^n$ 的有限域,并讨论它们在密码学(如椭圆曲线加密)和编码理论中的实际用途。 读者对象: 本书适合于数学系本科生(大二或大三)、以及希望系统掌握现代代数理论的理工科专业学生。对代数有浓厚兴趣的自学者,若具备扎实的微积分和基础线性代数知识,亦可将本书作为深入研究的参考读物。本书不要求读者预先接触过任何抽象代数教材,但要求对清晰的逻辑推理和抽象概念有较强的接受能力。

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读后感

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说实话,我曾经对“抽象代数”的概念感到非常头疼,总觉得那些字母和符号就像是某种神秘的编码,难以理解它们的意义和用途。这本《初中数学1//思维盲点点击》以一种非常接地气的方式,将抽象的代数概念变得生动起来。它并没有直接跳到复杂的方程和不等式,而是从“数”与“式”的联系开始,用各种生活化的例子,比如计算家庭开支、规划旅行路线,来引入代数式和方程的应用。我特别喜欢它在讲解“一元一次方程”的解法时,采用了“移项法”和“合并同类项法”,并且用“天平平衡”的原理来形象地比喻方程两边同时进行相同的操作,仍然保持平衡。这种直观的讲解方式,让我能够轻松地理解方程的本质,而不是机械地记忆解题步骤。此外,书中还提到了很多“黄金法则”,比如“先乘除后加减”、“有括号先算括号里的”,这些看似简单的规则,在实际解题中却是避免错误的关键。它还鼓励读者尝试“验算”,并且提供了多种验算的方法,让我能够及时发现并纠正自己的错误。总的来说,这本书就像一个经验丰富的数学伙伴,它陪伴我一步步攻克了代数学习中的难关,让我对数学产生了浓厚的兴趣。

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我一直以来都认为,数学的精髓在于它的逻辑性和严谨性,而初中数学正是打下这种基础的关键时期。这本《初中数学1//思维盲点点击》恰恰抓住了这一点,它没有回避初中数学中最容易让学生产生困惑和错误的地方,反而将它们一一挑明,并且深入剖析。我印象最深刻的是它在讲解“函数”概念时,没有直接给出一堆定义,而是通过描述“输入-加工-输出”的过程,以及举例说明了现实生活中哪些现象可以看作是函数,比如“温度与时间的关系”、“人数与消耗品数量的关系”,让我从感性的认识开始,逐渐理解函数的核心内涵。它还特别强调了“图像法”在分析函数性质中的重要性,比如如何通过函数的图像来判断单调性、奇偶性、周期性等。我以前总是死记硬背那些性质,而通过这本书的讲解,我才真正理解了它们是如何从图像中体现出来的。另外,书中还提供了一些“反思练习”,要求我们在做错题目后,不仅仅是订正答案,还要写下自己的错误思路,并且分析错误原因,这种“追根溯源”的学习方式,让我受益匪浅。它帮助我培养了一种“不怕犯错,但要从错误中学习”的态度,这对我来说比单纯记住一个公式更加宝贵。

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初一那会儿,数学简直是我的噩梦,尤其是那些看似简单却总让人出错的题目。拿到这本《初中数学1//思维盲点点击》时,我其实没抱太大希望,以为又是那种枯燥乏味的习题集。然而,翻开第一页,我就被它的风格吸引住了。它没有直接抛出大段的理论,而是从一个个常见的“陷阱”开始,像是在和我玩一场捉迷藏的游戏。我总觉得自己已经把概念弄懂了,可一做题就栽跟头,这本书就像是我的“侦探”,把那些我意识不到的细微之处都一一揭露出来。比如,在讲到分数运算时,我总是习惯性地先约分,但书中却用一个生动的例子,展示了在某些情况下,先通分可能更不容易出错,并且详细分析了两种方法的优劣和适用场景。这种“原来是这样!”的恍然大悟,贯穿了整本书的阅读过程。它不是简单地告诉你“这样做是错的”,而是深入浅出地剖析了“为什么错”,并且提供了更优的解题思路。我最喜欢的一章是关于几何图形的,我以前学几何全凭死记硬背,那些定理公式就像天书。但这本书通过画图、比较,让我直观地理解了相似三角形的判定条件,甚至还举例说明了在实际测量中如何利用相似三角形解决问题,比如测量无法直接到达的高度。这种将抽象概念具象化、生活化的处理方式,极大地激发了我学习数学的兴趣。而且,书中的排版也很清晰,重点内容用不同颜色标注,重要的公式旁边还有“易错点提示”,真的非常贴心。我感觉这本书不像是老师在讲课,更像是身边一个经验丰富的学长在和我交流,分享他的学习心得和踩坑经验。

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对我而言,初中数学的学习过程就像是在走一条布满荆棘的道路,稍不留神就会被绊倒。这本《初中数学1//思维盲点点击》就像是我随身携带的一张“藏宝图”,它不仅告诉我哪里有“宝藏”(知识点),更重要的是,它指出了哪里有“陷阱”(易错点),并且提供了绕过这些陷阱的“秘籍”。我记得以前在学习概率时,对于“排列”和“组合”的概念总是分不清,不知道什么时候用哪种。这本书就用非常清晰的图示和生活化的例子,比如从一群人中选出代表和给一群人排座位,来区分排列和组合的区别,并且详细讲解了它们各自的计算公式和应用场景。它还强调了“建模”思想在解决实际问题中的作用,比如在涉及实际测量或统计分析的问题时,我们如何将现实世界的问题抽象成数学模型,再运用数学知识来解决。这种将数学与生活紧密联系起来的处理方式,让我觉得数学不再是冷冰冰的符号和数字,而是解决问题的有力工具。而且,书中还穿插了一些“思维训练小游戏”,鼓励读者在轻松的氛围中锻炼自己的逻辑思维能力。我感觉这本书不只是教会我数学知识,更是教会了我如何去思考,如何去解决问题,这对我未来的学习非常有帮助。

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我这个人,一向不擅长记忆那些抽象的数学概念,总是感觉抓不住重点,容易在解题过程中“跑偏”。这本《初中数学1//思维盲点点击》恰恰解决了我的这个痛点。它不是一味地灌输知识,而是像一个经验丰富的“向导”,带着我穿越数学的“雷区”。书中对于每一个知识点,都会先指出最容易出错的地方,然后通过对比、举例,将正确的方法和错误的思路呈现在我面前,让我一目了然。我尤其对它在讲解“黄金分割”这一知识点时的处理方式印象深刻。我之前对这个概念只是一知半解,觉得它很神秘,但书中通过实际生活中的例子,比如建筑设计、艺术创作,让我看到了黄金分割的实际应用,并且详细讲解了如何利用比例来计算,以及在求线段等分点时的常见误区。它还提到了一些“反直觉”的结论,比如在某些情况下,看似复杂的几何图形,通过简单的相似关系就能轻松解决,这颠覆了我对数学的刻板印象,让我觉得数学原来也可以如此有趣和富有创造力。书中的一些“小贴士”和“警示语”也做得非常到位,它们像是在我解题过程中不断提醒我注意的“路标”,有效地避免了我走向“死胡同”。总的来说,这本书让我从一个被动接受知识的学生,变成了一个主动探索、思考的学习者,我不再害怕那些看起来很难的题目,而是开始享受解决问题的过程。

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说实话,我曾经对“二次函数”的图像和性质感到非常困惑,总觉得那个抛物线忽上忽下,难以捉摸。这本《初中数学1//思维盲点点击》用一种非常巧妙的方式,将二次函数变得通俗易懂。它并没有直接给出各种复杂的公式,而是从“描点法”入手,引导我一步步地画出二次函数的图像,让我直观地感受到抛物线的形状。然后,它通过对比不同系数(a、b、c)对图像形状和位置的影响,让我深刻地理解了它们的作用。我特别喜欢它在讲解“顶点坐标”和“对称轴”时,用了一个“最值”的概念来解释顶点的重要性,并且通过“配方法”来推导顶点坐标公式,让我明白了公式的由来,而不是死记硬背。它还强调了“数形结合”的思想,比如如何利用二次函数的图像来求解一元二次方程的根,或者判断不等式的解集。这种将代数和几何融会贯通的处理方式,让我对二次函数的理解上升了一个新的高度。而且,书中还穿插了一些“自我检测题”,让我能够及时检验自己的学习成果,并且针对性地进行巩固。我感觉这本书不仅仅是在教授知识,更是在培养一种学习方法和思维习惯,让我对未来的数学学习充满了信心。

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我是一个对数学公式和定理一直感到有点“敬而远之”的学生,总觉得它们太过于抽象,难以理解和运用。这本《初中数学1//思维盲点点击》的出现,可以说是在我学习的道路上点亮了一盏灯。它没有像其他教材那样,上来就抛出大量的公式和定理,而是从学生在实际解题过程中最容易遇到的“坑”开始。我记得我在学习等差数列和等比数列的求和公式时,总是混淆不清,容易把两者的递推关系和求和公式弄混。这本书就专门辟了一个章节,详细分析了两种数列的生成机制,以及它们求和公式的推导过程,并且用大量的对比例题,让我深刻地理解了它们的区别和联系。它还强调了“代入法”和“逆向思维”在解题中的重要性,比如在处理代数方程时,它会教我如何巧妙地通过代入特殊值来验证答案的正确性,或者如何从已知条件出发,一步步反推出要求的结论。我特别喜欢它在讲解“不等式性质”时,用了一个“天平”的形象比喻,让我直观地理解了不等式两边同时加上或减去同一个数,或者同乘以或除以一个正数时,不等号的方向不变;而同乘以或除以一个负数时,不等号的方向需要改变。这种生动形象的讲解方式,让原本枯燥的数学知识变得易于理解和记忆。

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坦白说,我曾经对初中数学的很多概念感到十分困惑,总觉得那些公式和定理像是凭空出现的一样,缺乏内在的联系和逻辑。这本《初中数学1//思维盲点点击》彻底改变了我的看法。它没有回避那些让大多数初中生头疼的问题,反而以一种“直面惨淡现实”的姿态,将它们一一剖析。我特别喜欢它关于“化整为零”和“以简驭繁”的策略,在讲到复杂的方程组时,它并没有直接给出万能解法,而是通过一个一个小的拆解步骤,引导我思考如何将复杂问题分解成若干个简单问题,再逐个击破。例如,在处理带有分数和绝对值的方程时,我常常因为不知道从何下手而感到沮丧。这本书就分门别类地讲解了不同类型的绝对值问题,以及如何通过分类讨论来化繁为简。它还用了很多形象的比喻,比如把方程组想象成一个“数学迷宫”,我们要做的就是找到一条最安全的路径,而不是盲目地乱闯。我记得它在讲解关于函数图像与方程解的关系时,用了一个非常巧妙的图示,将函数图像的交点直接与方程的解一一对应,让我瞬间就明白了它们之间的内在联系,这比死记硬背公式要有效得多。而且,这本书非常注重培养学生的“反思”能力,它鼓励我们在做完题目后,不仅仅是检查答案是否正确,更重要的是要去思考“为什么会做错”、“下次如何避免”,这种学习习惯的养成,对于提升数学能力至关重要。

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我一直对数学抱有一种又爱又恨的情感,尤其是进入初中后,题目变得越来越复杂,逻辑也越来越严谨,稍不留神就会在某个环节出错,导致满盘皆输。这本《初中数学1//思维盲点点击》的出现,对我来说简直是及时雨。它不像传统的教材那样,上来就堆砌理论,而是非常有针对性地,从学生在解题过程中最容易忽略、最容易出错的地方入手。我记得以前在做整式乘除法的时候,总是记不住符号的变化,或者在分配律的应用上栽跟头。这本书就专门用了一整节来讲解“符号陷阱”和“分配律的‘魔鬼’细节”,通过列举大量由符号错误或分配律理解偏差导致的错题,让我深刻地认识到了这些看似微小的疏漏是如何一步步将我引向错误的答案。它甚至还分析了不同类型的错题,比如“概念混淆型”、“运算失误型”、“逻辑跳跃型”,并且针对每种类型都提供了详细的纠正方法和思路。我印象特别深刻的是关于一元二次方程根的判别式的应用,我常常把判别式大于零、等于零、小于零所代表的根的个数和根的性质搞混。这本书就用了一个表格,清晰地对比了这三种情况,并且举了大量的例题,反复巩固,直到我真正掌握为止。它不只是告诉我“怎么做”,更重要的是告诉我“为什么这么做”以及“这样做的好处是什么”。通过这种方式,我不仅学会了如何避免犯错,更重要的是,我开始理解了数学题背后的逻辑,培养了严谨的数学思维。这本书的语言也通俗易懂,没有太多华丽的辞藻,更多的是用最直接、最接地气的方式来讲解知识点,读起来毫无压力。

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我总觉得,数学不仅仅是枯燥的数字和符号,更重要的是它所蕴含的逻辑思维和解决问题的能力。这本《初中数学1//思维盲点点击》恰恰体现了这一点,它没有局限于传统的教学模式,而是从学生在解题过程中最容易出现的“思维误区”入手,一一击破。我记得我在学习“平行线与截线”的性质时,总是分不清同位角、内错角、同旁内角的定义和判定条件。这本书就用非常清晰的图示,并且通过“画龙点睛”的方式,在每个角的位置旁边标注了它们的名称,并且用不同的颜色区分开来,让我一下子就记住了它们。它还强调了“逆向思考”的重要性,比如在已知角的关系求证平行线时,需要用到内错角相等、同位角相等、同旁内角互补这三个判定定理,而反过来,如果已知平行线,则可以推导出它们之间的关系。这种“正向”与“逆向”的结合,让我对几何图形的性质有了更深刻的理解。此外,书中还提供了一些“思维拓展题”,鼓励读者去探索不同解题思路,培养举一反三的能力。我感觉这本书不只是教会我数学知识,更重要的是,它为我打开了一扇新的学习之门,让我看到了数学的魅力所在。

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