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好的，这是为您构思的一份《实分析引论》之外的、详细的图书简介，内容聚焦于其他数学领域，力求自然流畅，不露痕迹。 --- 书名：代数几何中的簇与奇点 作者：[此处留空，或可使用虚构的作者名] 导言：穿梭于几何与代数的交汇点 本书旨在为具有扎实基础的数学研究生和研究人员提供一份深入且详尽的代数几何导论，重点聚焦于代数簇的结构、它们的奇点性质，以及相关模空间理论的初步探讨。代数几何作为连接代数、几何和分析学的核心领域，其理论框架的精妙之处在于能够用代数语言精确地描述几何对象的内在属性。本书将严格遵循“从具体到抽象”的路径，首先建立起对经典代数簇的基本直观理解，随后逐步引入现代代数几何中的关键工具，如概形理论的初步概念，尽管本书的核心内容仍侧重于经典的射影代数几何。 第一部分：环、理想与代数簇的建立 本书的开篇将从基础的交换代数工具入手，为后续的几何构造奠定坚实的代数基础。我们首先回顾诺特定理在代数几何中的重要性，阐述如何通过素理想的集合来定义拓扑结构——扎里斯基拓扑。 第一章：诺特定论与扎里斯基拓扑 详细讨论诺特环的性质，特别是它们如何保证代数集（仿射簇）的有限生成性。我们将严格定义仿射代数集 $V(I)$，并证明仿射空间 $mathbb{A}^n$ 上的开集与理想之间的对偶关系。重点在于理解扎里斯基拓扑的特性，例如其通常不如欧几里得拓扑“精细”，但对于代数几何至关重要。 第二章：坐标环与结构映射 在定义了几何对象 $V$ 之后，本书的核心任务是将其“反演”为代数对象。我们将详细分析坐标环 $k[V] = k[x_1, dots, x_n] / I(V)$ 的性质。通过研究坐标环的结构（如整环性、正则点集），我们可以反推出簇的几何性质。我们将阐述如何通过同构的坐标环来证明簇的同构性，这是经典代数几何中的一个重要范式。 第三章：射影空间与射影簇 为了克服仿射空间中“无穷远点”的缺失，本书随后将视角转向射影空间 $mathbb{P}^n$。我们将定义射影空间上的齐次坐标，并严格构建射影簇（Projective Varieties）。射影簇的代数描述需要使用齐次理想，这在处理交点理论和贝祖定理时具有不可替代的优势。我们将展示射影空间上的拓扑结构与仿射空间拓扑的关联（通过开仿射图的拼接）。 第二部分：簇的局部性质与奇点理论 几何对象的“平滑性”或“奇点”是理解其本质的关键。本部分将集中于如何利用微积分中的思想——但完全在代数框架下——来分析簇在特定点上的局部行为。 第四章：正规点与光滑性 我们将引入微分场的概念，并将其推广到代数几何的语境中，定义规范的切空间。对于一个代数集 $V$，一个点 $p in V$ 被称为光滑点（或正则点），当且仅当在该点的局部环是一个正则局部环。我们将详尽地证明光滑性与雅可比矩阵的秩之间的关系，即雅可比判别法，这是识别奇点的最直接工具。 第五章：奇点与局部环 本书的核心挑战在于分析奇点。我们将深入研究在奇点处的局部环的性质，特别是它们非正规性的体现。例如，我们将考察尖点（如曲线 $y^2=x^3$ 在原点）和交点（如平面上的两个相交曲线）的局部结构。我们将讨论克鲁尔维度和深度等代数不变量如何反映几何的维度和奇异性。 第六章：奇点的消除与正规化 既然奇点是代数簇固有的缺陷，一个自然的问题是：我们能否通过一个“好的”映射将奇点“拉平”？本章将介绍正规化映射（Normalization Map）的概念。对于一个不可约的代数簇 $V$，其正规化 $ ilde{V}$ 是一个光滑的簇，通过一个双有理正规映射 $f: ilde{V} o V$ 连接。我们将证明 $ ilde{V}$ 的坐标环是 $V$ 的积分闭包，这在分析函数域扩张和代数数论中有深刻的意义。 第三部分：维度、有理映射与模空间的前奏 在掌握了局部性质后，本书转向对簇的整体结构进行度量和分类，这为进入更高级的主题如模空间理论做准备。 第七章：维度的代数定义 维度在拓扑和代数中有着不同的定义方式。我们将严格定义代数簇的维度，并证明它等价于其坐标环的克鲁尔维度。我们将探讨代数簇的不可约分解，即任何代数簇都可以唯一地分解为其不可约闭子集的并集，而不可约性与环的素理想结构直接相关。 第八章：有理映射与双有理几何 在代数几何中，我们经常希望研究的是“几乎处处相等”的映射，即有理映射。这些映射在奇点处可能会失效，但它们定义了更广义的几何等价关系——双有理等价。我们将引入函数域 $ ext{Rat}(V)$ 的概念，并讨论如何通过比较函数域的构造来判定两个簇是否双有理等价。本章将以柯尼斯-阿廷的“降维”思想作为引子，为读者理解奇点消除提供更广阔的视野。 第九章：典范划分与模空间的展望 作为结语，我们将简要介绍代数簇的典范划分（Canonical Decomposition）的概念，特别是关于典范除数和典范环的研究。虽然对模空间的深入探讨需要更高级的概形理论工具，但本章将通过介绍如何对具有特定性质的簇进行“参数化”的初步想法，展示代数几何作为一门参数化几何对象的学科的巨大潜力。我们将讨论对光滑曲线族进行参数化的早期尝试，揭示几何分类问题的本质。 总结 本书的结构旨在平衡严谨的代数论证与清晰的几何直觉。通过对簇的结构、局部奇点以及全局双有理性质的深入剖析，读者将能够熟练运用现代代数几何的语言来处理和解决涉及多项式方程组的几何问题。本书假定读者已具备良好的环论和多变量微积分背景，但会从头开始构建代数几何的核心概念，确保了对该领域初学者的友好性和对研究人员的深度要求。

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拿到这本书的那一刻，一种久违的学习热情就被点燃了。我并非数学专业科班出身，但在工作和学习中，常常会遇到一些需要精确数学工具的问题。实分析，对我来说，就像是一扇通往严谨推理和逻辑世界的大门。我希望这本书能够像一本优秀的入门指南，用通俗易懂的语言，把我从初学者引导到能够理解实分析的核心概念。我特别关注书中关于序列和数列的收敛性，以及函数在一点的连续性是如何被严格定义的。欧拉、柯西、魏尔斯特拉斯等数学巨匠们留下的思想火花，在这本书中是否得到了恰当的阐述？我期望看到书中能够详细解释ε-δ定义在理解极限和连续性中的关键作用，以及它如何排除模糊和不确定性。此外，我还想了解书中关于度量空间和拓扑空间的内容，它们是如何将实数轴上的概念推广到更一般的空间，从而为泛函分析等更高级的数学分支铺平道路？这本书的结构安排是否合理，能否让我逐步建立起对实分析的整体认识，而不是零散地获取知识点？我希望它能激发我对数学更深层次的探索欲。

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我一直对数学中那些看似简单却又极其重要的基础概念感到着迷。实分析，在我看来，就是这样一门学科，它为我们理解数字、函数、空间等最基本的研究对象提供了严谨的工具。我希望这本书能够清晰地阐释集合论在实分析中的基础性作用，比如序数、基数等概念是如何被引入并应用的。书中是否会深入探讨康托尔集以及其奇特的性质，比如其测度为零但基数与实数集相同？我希望能够通过具体的例子来理解这些反直觉的数学构造。此外，我还对书中关于实数集上的拓扑性质非常感兴趣，例如开集、闭集、紧集等概念，以及它们在函数性质研究中的重要性。这本书能否帮助我理解，为什么紧集在实分析中如此特殊，它能够带来哪些便利的结论？我希望它能让我领略到数学的深刻之处，以及那些隐藏在表面之下的精妙逻辑。

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我一直认为，实分析是连接初等数学和高等数学的桥梁。很多看似简单的数学对象，在深入探究其本质时，都离不开实分析的严谨论证。我希望这本书能为我提供一个坚实的理论基础，让我能够更加自信地面对那些需要严谨数学证明的问题。我对书中关于测度和可测集的介绍非常感兴趣，这部分内容对于理解概率论和统计学中的一些概念至关重要。勒贝格测度是如何在直观上对长度、面积、体积进行推广的？它与传统的黎曼测度有什么本质的区别？书中是否会详细介绍一些构造勒贝格可测集的具体方法，以及如何处理那些“非常规”的集合？我更希望它能解释为什么勒贝格积分在处理不连续函数或者“病态”函数时表现得如此优越，以及它在现代数学和物理学中有哪些实际的应用场景。这本书能否帮助我理解，那些在微积分中被认为“可求导”的函数，在实分析的视角下，其行为可能远比我们想象的要复杂和丰富？我希望通过阅读，能够培养出一种审慎而严谨的数学思维方式。

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这本书对我而言，不仅仅是一本教材，更像是一次思维的旅行。我渴望在这趟旅程中，能够深入理解实数系的完备性，以及它在数学分析中的核心地位。书中是否会详细介绍戴德金分割的构造过程，以及它如何严谨地定义实数？我希望看到书中能够通过图示或直观的解释，来帮助我理解这些抽象的数学概念。此外，我对于书中关于函数序列和函数项级数的收敛性非常感兴趣。一致收敛和逐点收敛的区别是什么？它们在理论分析中各自扮演怎样的角色？我希望这本书能够提供一些具体的例子，来对比这两种收敛方式的差异，并阐述一致收敛在保留函数性质（如连续性、可积性、可微性）上的优势。我希望它能让我看到，实分析是如何将微积分中的一些“直觉”转化为严谨的数学结论，从而为更广泛的数学研究奠定基础。

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这本书，对我而言，是一扇通往数学深处的大门。我一直对数学中的“无穷”概念感到着迷，而实分析，正是处理无穷概念的利器。我希望这本书能够深入探讨序列和级数的收敛性，不仅仅是给出判别方法，更重要的是阐述它们背后的数学思想。书中是否会涉及一些著名的级数，比如泰勒级数，以及它在函数展开和近似计算中的应用？我希望看到书中能够通过具体的例子，来展示如何构建和分析这些级数。此外，我对于书中关于测度和积分理论的介绍非常期待。勒贝格测度是如何对“大小”进行更一般化的定义的？它与我们熟悉的长度、面积、体积有何联系？我希望这本书能够帮助我理解，为什么勒贝格积分在处理更复杂的函数和更广阔的空间时，能够表现出如此强大的生命力。我希望它能让我看到，数学的魅力在于不断地拓展边界，并在看似无序的世界中发现秩序。

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我一直在寻找一本能让我领略数学之美，并建立起扎实数学功底的书籍。实分析，在我看来，就是这样一门学科，它既有严谨的逻辑，又有深刻的洞察力。我希望这本书能够清晰地介绍实数集的基本性质，比如上确界和下确界原理，以及它如何保证实数集的“无空隙”性。书中是否会涉及一些集合论的基本概念，比如映射、函数、逆映射等，以及它们在实分析中的应用？我特别期待书中关于康托尔集和不可数集的内容，这些内容往往挑战人们的直觉，但也揭示了数学的深刻之处。此外，我对于书中关于多变量函数的分析也非常感兴趣。多元函数的偏导数、梯度、方向导数等概念是如何在实分析的框架下得到精确定义的？我希望看到书中能够提供一些几何上的解释，来帮助我理解这些概念的物理意义。我希望它能让我体会到，数学不仅仅是冰冷的符号，更是对世界规律的深刻理解和表达。

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这是一本能让你重新审视“已知”的书。我一直对数学中的“极限”概念感到好奇，微积分中的极限是如何被如此严谨地定义的？这本书是否能深入剖析ε-δ定义的精髓，并解释它为何是理解连续性、可导性等概念的基石？我希望看到书中能够提供不同类型的极限例子，并展示如何运用ε-δ定义进行严格证明。此外，我对于书中关于反例的介绍非常感兴趣。数学的进步往往离不开对边界情况的探索，书中是否会呈现一些著名的反例，比如处处连续但处处不可导的函数，或者不可约积分但可勒贝格积分的函数？我希望通过这些反例，来加深我对实分析中概念的理解，并培养一种批判性思维。这本书能否帮助我理解，数学的严谨性体现在对每一个细节的考究，以及对可能出现的“例外”情况的充分考虑？我希望它能让我看到，严谨的数学推理是如何构建起一个稳定而可靠的理论体系。

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这是一本能够触及数学灵魂的书籍。我一直在寻找一本能够帮助我深刻理解数学“为什么”的书，而不是仅仅停留在“是什么”。实分析，对我来说，就是这样一门关于“为什么”的学科。我期望这本书能够带领我深入探索函数的连续性和可微性，不仅仅是定义，更是它们背后的深刻含义。书中是否会涉及一些关于函数的性质，比如单调性、有界性、奇偶性等，以及这些性质如何影响函数的行为？我希望看到书中对中值定理的详细阐述，理解它在证明函数性质和不等式中的重要作用。此外，我还想了解书中关于级数收敛的各种判别法，例如比值判别法、根值判别法、交错级数判别法等，以及它们各自的适用范围和局限性。这本书能否帮助我理解，为什么一些简单的函数，经过无限次的累加或运算后，会产生如此丰富和复杂的行为？我希望通过阅读，能够真正感受到数学逻辑的力量，以及它如何构建出我们认识世界的基础。

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这本书的封面设计就给我一种沉静而有力量的感觉，深蓝色与金色的搭配，恰到好处地勾勒出数学的严谨与深邃。我一直对实数理论的底层逻辑充满好奇，尤其是在接触到一些高等数学分支后，越发觉得基础的重要性。我希望能在这本书中找到那些被我们习以为常，但实际却蕴含着精妙构造的基石。比如，集合论是如何在实数系统中奠定基础的？拓扑学的概念，如开集、闭集、邻域，在实数空间中具体是如何体现的？我特别想了解勒贝格积分是如何克服黎曼积分的局限性的，它在定义可积函数集合上有什么样的突破，以及它为何能在更广泛的数学领域中得到应用。这本书是否能像一位耐心温厚的老师，循序渐进地引导我理解这些抽象的概念，并提供清晰的例子和证明，让我不仅知其然，更知其所以然？我期待它能帮我构建起一个坚实而完整的实数理论框架，为我日后深入学习其他数学领域打下坚实的基础。我希望它能解答我心中关于实数完备性、康托尔集、以及实数稠密性等问题的困惑，让我能够更深入地理解数学的本质。

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说实话，我之前对实分析的了解大多停留在一些零散的片段，比如微积分中的极限和导数，但总觉得缺乏系统性。这本书的出现，就像给我指明了一个清晰的方向。我特别期待书中关于实数集性质的深入讨论，比如上确界和下确界原理，以及它如何保证实数集的完备性。为什么我们需要完备性？它在数学证明中扮演着怎样的关键角色？我希望书中能够通过一些生动的例子，来阐释这些抽象概念。例如，戴德金分割如何定义实数，它与我们通常理解的实数概念有何异同？我更希望了解书中关于序列收敛的各种判别方法，以及它们在解决实际问题中的应用。这本书是否能够帮助我理解，为什么一些看似“平凡”的数学问题，在实分析的框架下，需要如此严谨的论证才能得到确切的答案？我希望它能让我体会到数学的严谨与优美，以及实分析在构建整个数学大厦中的核心地位。

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