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出版者:Chapman & Hall/CRC

作者:Pranab K. Sen

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1994-04-04

价格:USD 109.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780412042218

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Statistics
• 统计学
• 大样本方法
• 统计推断
• 概率论
• 数理统计
• 抽样调查
• 渐近理论
• 统计模型
• 假设检验
• 置信区间

统计学的宏大视野：理论、应用与前沿探索 本书旨在为读者提供一个全面而深入的统计学理论框架，重点关注在样本量足够大的前提下，如何构建、分析和应用统计模型。我们深知，在现实世界的数据分析中，获取海量数据已成为常态，而理解和掌握大样本方法，对于做出可靠的推断、评估模型性能以及探索复杂的数据结构至关重要。因此，本书将系统性地介绍一系列核心的大样本统计理论和技术，并辅以丰富的实例，展示其在各个领域的广泛应用。 第一部分：大样本理论基石 本部分将从最基础的概率论和统计学原理出发，为后续更高级的内容奠定坚实的理论基础。我们将从大数定律和中心极限定理这两个统计学中最具影响力的定理开始。 大数定律：我们将详细阐述独立同分布（i.i.d.）随机变量序列的各种形式的大数定律，包括弱大数定律（伯努利大数定律）和强大数定律。我们将解释这些定理如何保证样本均值在样本量趋于无穷时收敛于真实的期望值，从而为参数估计的相合性提供理论依据。我们将深入探讨定理的条件，以及在非独立同分布情况下大数定律的推广，例如依赖序列的依概率收敛和依分布收敛。 中心极限定理：作为大样本统计推断的另一块基石，中心极限定理将是本部分的重点。我们将从最经典的林德伯格-费勒（Lindeberg-Feller）中心极限定理开始，讲解其在i.i.d.变量下的结论，即标准化后的样本均值在样本量趋于无穷时趋于标准正态分布。我们将详细推导和证明这一重要定理，并讨论其应用，例如在构建置信区间和进行假设检验时的作用。此外，我们还将介绍中心极限定理在更一般情况下的推广，如李亚普诺夫（Lyapunov）中心极限定理，适用于非同分布的随机变量。理解中心极限定理是掌握点估计的渐近正态性以及进行统计推断的基础。 在掌握了这两个基本定理后，我们将转向参数估计的理论。 最大似然估计（MLE）：我们将深入探讨最大似然估计的原理、性质和应用。详细讲解如何构建似然函数，如何通过最大化似然函数或其对数来求解MLE。重点将放在MLE在大样本下的渐近性质，包括相合性（consistency）和渐近正态性（asymptotic normality）。我们将证明MLE是渐近最优的，即其渐近方差达到了Cramér-Rao下界。本书将通过大量实例，演示如何在不同分布模型（如正态分布、二项分布、泊松分布、指数分布等）下求解MLE，并讨论其在复杂模型中的计算挑战和数值求解方法。 矩估计（Method of Moments, MoM）：我们将对比MLE，介绍矩估计作为一种简单直观的参数估计方法。讲解如何通过令样本矩等于总体矩来求解参数。我们将分析矩估计的性质，并与MLE进行比较，分析其在不同情况下的优劣。 渐近性质：本部分将贯穿参数估计的讨论，系统性地介绍渐近性质的概念，包括相合性、渐近无偏性、渐近有效性（渐近最小方差）以及渐近正态性。我们将详细证明这些性质对于MLE等估计量在大样本下的成立，并解释这些性质对于统计推断的意义。 第二部分：大样本统计推断 在扎实的理论基础上，本部分将聚焦于如何利用大样本方法进行实际的统计推断。 置信区间：我们将重点讲解基于中心极限定理和MLE的渐近置信区间的构建方法。详细推导如何利用样本均值、样本方差以及MLE的渐近正态性来构造不同置信水平的置信区间。我们将讨论不同类型置信区间的构造，如 Wald 区间、似然比区间等，并分析它们在覆盖率和区间宽度方面的性质。同时，我们将讨论如何处理未知方差的情况，例如使用t分布（尽管本书侧重于大样本，但了解t分布在大样本下的极限行为也很重要）或利用Bootstrap方法构建置信区间。 假设检验：本部分将系统介绍大样本假设检验的方法。 Wald检验：我们将详细阐述基于点估计的Wald检验，讲解如何利用点估计的渐近正态性来构建检验统计量，并给出其在大样本下的渐近分布（通常是标准正态分布或卡方分布）。我们将演示如何应用Wald检验来检验单个参数、多个参数的线性组合，以及检验模型拟合优度。 似然比检验（Likelihood Ratio Test, LRT）：我们将深入讲解似然比检验的原理。重点在于其在大样本下的Wilks定理，该定理表明在零假设为真时，似然比的对数的两倍渐近服从自由度为参数个数差的卡方分布。我们将详细推导和证明Wilks定理，并演示LRT在模型嵌套和参数显著性检验中的强大应用。 分数似然比检验（Score Test）/拉奥检验（Rao Test）：我们将介绍分数似然比检验，它也具有良好的渐近性质，并在某些情况下比似然比检验更易于计算。我们将讲解如何利用得分向量的性质来构建检验统计量，并阐述其与Wald检验和LRT的关系。 模型选择与拟合优度：在复杂数据分析中，选择合适的统计模型并评估其拟合优度至关重要。 信息准则：我们将介绍常用的信息准则，如赤池信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC），用于在不同模型之间进行选择。我们将解释这些准则的原理，以及它们在大样本下的行为，如何通过惩罚模型复杂度来避免过拟合。 卡方拟合优度检验：我们将详细讲解卡方拟合优度检验在离散数据分析中的应用，包括如何检验观测频数与期望频数之间是否存在显著差异。我们将讨论其在大样本下的理论基础和适用条件。 第三部分：高级主题与现代应用 本部分将进一步拓展大样本方法的应用范围，介绍一些更高级的主题和现代统计学中常见的问题。 Bootstrap方法：尽管Bootstrap方法在小样本下也很有用，但它在大样本背景下同样发挥着重要作用，尤其是在参数分布未知或理论推导困难的情况下。我们将介绍Bootstrap的原理，包括非参数Bootstrap和参数Bootstrap。我们将展示如何利用Bootstrap来估计点估计的方差、构建置信区间，以及进行假设检验。我们将重点讨论Bootstrap在大样本下的收敛性和渐近性质，以及它在许多现代统计软件中的广泛应用。 稳健统计学：在实际数据中，异常值和非正态性是常见的问题。我们将介绍稳健统计学的基本思想，即构建对异常值和模型偏离不敏感的统计方法。我们将介绍一些常见的稳健估计量（如Huber估计量、Tukey估计量）和稳健检验方法，并探讨它们在大样本下的性质。 广义线性模型（GLMs）：我们将介绍广义线性模型，它将线性模型的框架推广到响应变量服从指数族分布的情况，包括二项分布、泊松分布等。我们将重点讲解GLMs的参数估计（通常使用拟牛顿法或IRLS算法），以及其在大样本下的推断方法，如使用指数似然比检验和WALD检验来检验模型系数的显著性。 非参数统计中的大样本理论：除了参数模型，我们还将触及非参数统计领域。例如，我们将讨论核密度估计（KDE）的渐近性质，以及K近邻（K-NN）算法在大样本下的分类和回归性能。 机器学习中的统计学视角：本部分将以现代机器学习领域的视角，回顾和应用本书所介绍的大样本统计方法。我们将探讨例如线性回归、逻辑回归等模型在机器学习中的统计学基础，以及如何利用大样本理论来理解模型的泛化能力、过拟合和正则化等概念。我们将简要介绍偏差-方差权衡（bias-variance tradeoff），并说明在大样本下，如何通过正则化等技术来控制模型的复杂度，以获得更好的泛化性能。 本书的特点： 严谨的理论推导：我们力求在提供直观理解的同时，进行严谨的数学推导，帮助读者深入理解大样本方法的理论精髓。 丰富的实例分析：本书将穿插大量来自生物统计、经济学、社会科学、工程技术等领域的实际案例，展示大样本方法在解决现实问题中的强大能力。 清晰的结构安排：本书的章节安排循序渐进，从基础理论到高级应用，逐步引导读者掌握大样本统计学的知识体系。 强调数学工具：在介绍核心概念时，我们将清晰地阐述所需的数学工具，并适时回顾相关的概率论和微积分知识。 通过阅读本书，读者将能够建立起一套扎实的大样本统计学理论体系，掌握运用这些理论解决实际统计问题的能力，并为进一步深入研究统计学和相关交叉学科打下坚实的基础。无论您是统计学专业的学生、研究人员，还是希望提升数据分析能力的从业者，本书都将是您不可或缺的参考。

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我是一个偏向应用统计的从业者，过去在处理高维数据或复杂模型时，经常感到理论支撑不足。这本书的第三部分，专门探讨了半参数模型和非参数方法的渐近性质，这对我来说简直是及时雨。作者在这里的论述非常深入，特别是对于核密度估计（KDE）的带宽选择准则，他详细对比了LSCV方法和交叉验证方法的优劣，并且给出了不同平滑核函数的收敛速度差异。让我印象深刻的是，他引入了局部似然估计（Local Likelihood Estimation）的概念，并严谨地证明了其一致性和渐近正态性。这部分内容远超一般统计学导论的范畴，它直击现代计量经济学和生物统计学中很多前沿问题的核心。阅读过程中，我不得不频繁地停下来，查阅一些关于泛函分析和测度论的基础知识，但这并非因为作者的叙述不清，而是因为他所涉及的数学工具本身的复杂性。可以说，这本书为那些想在非经典统计框架下进行严谨推断的人，提供了一个坚实的理论基石。

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从结构上看，这本书的逻辑递进是极其严密的，它仿佛构建了一个宏大的知识迷宫，但每一步都有清晰的指引牌。它不仅仅关注于如何证明“当$n o infty$时如何”，更重要的在于探讨“在什么条件下才能保证这种渐近有效性”。作者花了大量篇幅来讨论模型设定误差（Misspecification）对大样本估计量的影响。他引入了M估计理论的框架，通过偏离函数（Influence Function）来衡量估计量对数据扰动的敏感度，并给出了在不同程度的设定错误下，估计量的渐近分布是如何变化的。这种深入到“鲁棒性”层面的讨论，极大地提升了这本书的学术价值。它不再停留在理想化的独立同分布假设下，而是勇敢地迈入了现实世界中模型不完美的情况，这对于从事金融风险建模或复杂的社会科学研究的人士来说，其参考价值是无可替代的。

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这本书最让我感到惊喜的是，它在叙述中巧妙地融入了统计学思想史的脉络。在讲解极大似然估计（MLE）的渐近性质时，作者穿插介绍了费舍尔（Fisher）早期的工作和他对信息量和有效性概念的开创性贡献，接着过渡到后来的Wald和Cramér的严谨化工作。这种对历史背景的梳理，让读者不只是机械地学习数学定理，更能体会到这些统计工具是如何在历史长河中被不断修正和完善的。了解了这些奠基人的思想，你在面对新的统计问题时，思维会更加开阔，不再局限于固定的模式。这种对科学发展历程的尊重和呈现，使得整本书读起来不仅是知识的灌输，更像是一次对现代统计学思想源头的追溯之旅，让人在学习严谨方法论的同时，也感受到了统计学作为一门科学的魅力所在。

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这本书的封面设计，那种深邃的蓝色调配上简洁的白色衬线字体，初看之下就给人一种严谨、专业的印象。我本以为这会是一本晦涩难懂的教科书，但在翻开第一章后，我发现作者在处理基础概念时，采用了非常循序渐进的方式。比如在介绍大样本推断的核心思想时，他并没有急于抛出复杂的数学公式，而是先通过一个非常贴近实际的案例——对一个大型城市居民收入分布的估计——来阐述为什么“大样本”在统计学中如此重要。这种“先讲故事，再讲原理”的叙事结构，极大地降低了初学者的入门门槛。作者对中心极限定理的阐述尤其精彩，他不仅给出了严格的证明，还配上了大量的模拟图表来直观展示样本量增加时，抽样分布如何趋向正态。更值得称赞的是，他非常细致地讨论了现实世界中“大样本”的界定，指出在某些情况下，即使样本量很大，如果数据存在严重的异方差或自相关，传统的渐近性质依然需要谨慎对待。这种对理论与实践之间微妙关系的把握，使得整本书的讲解既有高度的理论深度，又不失工程实践的可操作性。

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这本书的排版和细节处理，体现了出版者对读者的尊重。页边距适中，使得在进行批注和勾画时有足够的空间。更重要的是，书中大量公式的排版极为清晰，那些希腊字母和复杂上下标的混排，从来没有出现过模糊不清的情况，这对于需要对照公式反复推导的读者来说，是极大的福音。另外，每章末尾精心设计的习题集，质量非常高。它们不仅仅是简单的计算题，而是真正设计来检验读者对概念理解深度的思考题。例如，有一道题要求读者分析一个特定假设检验在样本量趋于无穷时，其功效函数（Power Function）的极限行为，这迫使我必须将之前学到的收敛速度和功效理论结合起来分析。我很少看到有统计学书籍能将习题设计得如此具有启发性，它们真正起到了巩固知识、拓展思维的作用，而非仅仅是枯燥的练习。

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这个书真的很坑了，自己造的矩阵求导导致跟所有其他书都是反的。。

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