An Introduction to the Theory of Distributions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Krieger Pub Co

作者:Jose Barros-Neto

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1981-10-01

价格:USD 29.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780898741285

丛书系列:

图书标签:

• 泛函分析
• 分布理论
• 偏微分方程
• 数学分析
• 高等数学
• 理论物理
• 应用数学
• 概率论
• 数值分析
• 数学

《空间中的几何与代数：线性空间的变换与度量》 本书并非一本介绍抽象数学理论的著作，而是聚焦于物理世界中那些可以用几何和代数语言来描述的现象。我们将深入探索空间中的基本结构，特别是线性空间的性质，以及在这个框架下，如何通过各种变换来理解和操纵几何对象。同时，我们也会探讨度量如何在代数运算中扮演至关重要的角色，使得数值上的计算能够反映出真实的物理距离和角度。 第一部分：线性空间的基石 在一切深入的探讨之前，我们首先需要建立一个清晰的概念框架，理解什么是线性空间。本书将从最直观的向量概念出发，例如物理学中的位移、速度、力等，引申到更一般的数学定义。我们将学习如何识别一个集合是否构成一个线性空间，其核心在于两个基本运算：向量的加法和标量乘法，以及它们所遵循的八条公理。这些公理看似抽象，却是构建后续所有理论的基石，它们保证了运算的良好性质，使得我们可以对向量进行有意义的操作。 我们将详细分析线性空间的维度，理解一个空间需要多少个独立的“方向”才能完全描述。从我们熟悉的二维平面到三维空间，再到更高维度的抽象空间，我们将看到维度的概念如何影响我们对事物的理解。例如，在二维空间中，两条直线要么平行，要么相交于一点；而在三维空间中，它们还可以是异面直线。这种维度的差异会带来丰富的几何现象。 独立性是线性空间中另一个至关重要的概念。我们将学习如何判断一组向量是否线性无关，以及线性无关的向量组如何构成一个空间的“基”。基的选取将极大地影响我们描述空间和对象的方式，但空间的内在性质不会因此改变。本书将通过大量的几何例子，从二维平面的坐标系选择，到三维空间中不同正交基的应用，来阐释基的概念及其重要性。 第二部分：线性变换的艺术 一旦我们理解了线性空间及其基本构成，我们就可以开始探索在线性空间中发生的“动作”——线性变换。线性变换是一类特殊的函数，它能够将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间（或自身）中的向量，并且保持向量加法和标量乘法的结构。本书将把线性变换的理解与我们熟悉的几何操作紧密联系起来。 我们将通过矩阵来具体描述和分析线性变换。每一个线性变换都可以用一个矩阵来表示，而矩阵的乘法则对应着变换的复合。我们将学习如何通过矩阵来表示旋转、伸缩、剪切、投影等常见的几何变换。例如，如何在二维平面上表示一个旋转操作，以及这个旋转是如何通过特定矩阵的乘法来实现的。 本书将深入探讨线性变换的几个核心概念。我们将分析线性变换的核（零空间）和像（值域），理解它们如何刻画变换的“收缩”和“展延”性质。核空间包含了所有被变换到零向量的向量，而像空间则描述了变换后所有可能的输出。这两个空间共同揭示了变换的本质。 特征值和特征向量是理解线性变换的关键。我们将看到，特征向量是在变换过程中方向保持不变，只发生伸缩的特殊向量，而特征值则表示了这种伸缩的比例。通过求解特征值和特征向量，我们可以将复杂的线性变换分解为一系列简单的伸缩操作，从而大大简化对变换的分析。我们将通过实例展示，特征值和特征向量如何在物理学（如简谐振动的模式分析）、工程学（如稳定性分析）等领域发挥核心作用。 第三部分：度量在代数中的体现 仅仅描述空间中的点和变换是不够的，我们还需要能够衡量距离、角度、长度等几何概念，并将这些概念融入代数运算之中。这就是度量所扮演的角色。本书将探讨几种重要的度量方式，以及它们如何与线性代数相结合。 欧几里得范数，也就是我们熟悉的向量长度，将是第一个被深入研究的度量。我们将学习如何计算向量的长度，以及如何利用向量长度来定义两点之间的距离。我们将看到，向量长度的计算与向量的内积密切相关。 内积是定义度量的重要工具。我们将学习不同类型的内积（如点积、加权内积），以及它们如何赋予向量空间以距离和角度的概念。内积不仅仅是计算，它还隐藏着深刻的几何意义。例如，两个向量的内积与它们夹角的余弦成正比，这使得我们可以通过代数运算来直接求出角度。 正交性是度量在几何中最重要的体现之一。我们将理解正交向量的概念，即它们之间的夹角为90度，它们的内积为零。我们将学习如何找到空间的标准正交基，以及使用标准正交基如何简化许多计算，例如向量在基上的投影。正交变换（如旋转）保持向量的长度和向量之间的夹角不变，它们在几何学和物理学中具有特殊的地位。 本书还将探讨一些更抽象但同样重要的度量概念，例如与度量相关的二次型。二次型是将向量映射到标量的函数，它们通常与度量和能量等概念相关。通过对二次型的分析，我们可以了解对称矩阵的性质，例如其特征值的符号，这在判断物理系统的稳定性和能量性质时非常有用。 结论 《空间中的几何与代数：线性空间的变换与度量》旨在通过清晰的逻辑和丰富的实例，为读者提供一个对线性空间、线性变换以及度量在代数中的应用深刻的理解。本书并非要构建一套纯粹的形式化理论体系，而是希望读者能够将这些数学工具与我们所处的三维世界以及更广泛的科学研究领域联系起来。理解这些概念，将为读者在物理学、工程学、计算机科学、数据科学等众多领域的研究和实践打下坚实的基础。我们将看到，代数工具并非是冰冷的符号运算，而是揭示和理解几何世界奥秘的强大钥匙。

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这本书的排版和插图（如果存在的话，这里假设性地描述为对抽象概念的辅助说明）采用了非常传统的学术风格，简洁、克制，几乎所有的视觉焦点都集中在数学表达式本身。这种风格使得阅读过程充满了挑战，因为它几乎不提供任何“视觉拐杖”。你必须完全依靠自身的抽象思维能力来构建那些复杂的空间结构和变换过程。我个人认为，这种极简主义的呈现方式，反而凸显了数学语言本身的强大和纯粹性。作者似乎在向读者传达一个信息：真正深刻的理论不需要花哨的装饰。但是，对于那些习惯了图示化学习或需要更直观辅助来理解高维概念的读者来说，这无疑是一个不小的障碍。我常常需要反复阅读一个段落，并在草稿纸上画出自己的示意图，才能勉强将书本上的符号语言转化为具象化的理解。总而言之，这是一部需要读者拿出十二分专注力去“解码”的文本。

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阅读这本书的体验，非常像在攀登一座知识上的高峰。沿途的风景固然壮丽，但攀登的过程却充满了艰辛和考验。作者在某些关键性的证明步骤上，采取了“略去显然”的写法，这对于顶尖的数学家或许是礼貌的省略，但对于我们这些需要扎实每一步的读者来说，无疑是令人沮丧的“黑箱”。我时常需要停下来，花费数小时去重新构建那些被“显然化”的桥梁。但正是这种挑战，带来了巨大的成就感。每一次成功地跟上了作者的思路，克服了一个看似无法逾越的证明难点，都极大地增强了我对数学严密性的信心。这本书如同一个严格的导师，它不喂给你答案，而是要求你自己去发现和证明。它塑造的不是知识的广度，而是思维的深度和韧性，是真正的硬核学术训练。

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读完这本书的部分章节后，我最大的感受是它在构建理论体系上的宏大与自洽。作者似乎立志于为整个领域建立一个无懈可击的框架，他对各种数学对象的分类和相互关系的梳理达到了令人叹为观止的程度。不同于市面上一些侧重于“工具箱”式的应用介绍，本书更像是对整个理论大厦进行了一次彻底的“结构审查”。它深入剖析了为什么某些定义是必要的，为什么某些定理的证明必须依赖于特定的拓扑性质。特别是关于 Schwartz 空间及其相关算子的处理，展现了作者深厚的功力，那些看似繁复的边界条件和收敛性讨论，在作者的笔下被梳理得井井有条，脉络清晰。这种由内而外的构建方式，虽然在初期阅读时需要极大的耐心来跟上作者的思绪，但一旦领悟其精髓，便能对整个理论产生一种“豁然开朗”的理解，仿佛推开了一扇通往更高维思考空间的大门。它强迫你不仅要“知道”公式是什么，更要“理解”它“为什么是这样”。

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相较于那些以“现代应用”为导向的教材，本书更像是一部奠基性的经典。它着重于理论的“本源”和“纯粹性”，而不是最新最潮的应用案例。如果你希望了解如何利用这些工具去解决某个具体的工程问题或粒子物理模型，你可能需要从这本书中提炼出基础知识，然后转向其他更侧重应用的文献。这本书的价值在于其对基础理论的“普适性”阐述，它讨论的范畴远超单一的应用领域，试图建立一个可以广泛适用的数学框架。这种高屋建瓴的视角，使得书中的很多论述具有跨学科的深远意义。然而，这种深度也意味着广度上的取舍——作者并未过多地花费笔墨去介绍那些“枝节”或特定领域的特例。因此，它更适合作为深入研究和理论建构阶段的案头工具书，而非初次接触该领域的入门读物。

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这本厚重的著作，甫一翻开，便有一种扑面而来的学术气息，仿佛置身于一座知识的迷宫。作者的叙述风格极其严谨，每一个定义、每一个定理的推导都如同精密的数学建筑，层层递进，逻辑链条密不透风。初学者可能会被其中大量符号和抽象概念所震慑，需要投入相当的精力去消化吸收。尤其是在处理泛函分析与拓扑空间的基础部分时，作者毫不留情地展现了其理论的深度和广度，没有丝毫的妥协或简化，这对于那些渴望真正掌握理论内核的读者来说，无疑是一份宝藏。然而，对于仅仅想了解其应用或概念梗概的人而言，阅读过程可能会略显吃力，甚至有些枯燥。我特别欣赏其中穿插的一些历史背景介绍，它们如同夜空中的点点星光，为冰冷的数学公式增添了一丝人性的温度，让我得以窥见这些深刻理论是如何在历史的长河中被逐步构建和完善的。这本书显然不是为速成而设计的，它要求的是一种慢下来、沉浸式的阅读体验，是那种需要备上充足咖啡和安静角落，与纸张进行长时间“搏斗”的典范之作。

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