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出版者:中国建筑工业出版社

作者:钟万勰

出品人:

页数:540 页

译者:

出版时间:1991年01月

价格:13.15

装帧:平装

isbn号码:9787112007226

丛书系列:

图书标签:

• 数值计算
• 数值分析
• 科学计算
• 算法
• 高等数学
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• 教材

《精微数学的奥秘：从理论到实践的探寻》 在这信息爆炸的时代，数据如同奔腾的河流，蕴含着无尽的价值与洞察。然而，这些海量的数据并非总能以直观的面貌呈现，它们往往隐藏在复杂的函数、高阶的方程以及抽象的数学模型之中。如何才能有效地从这些“沉默”的数据中挖掘出有意义的信息？如何才能将那些看起来遥不可及的数学理论转化为解决实际问题的利器？《精微数学的奥秘：从理论到实践的探寻》正是为了回应这些挑战而生。 本书并非一本枯燥的数学定理汇编，而是一场深入探索数学世界内在逻辑，并将其与现实应用紧密相连的旅程。我们旨在为读者提供一套系统的工具箱，通过解析和掌握一系列核心的数学概念与计算方法，使读者能够自信地应对从科学研究到工程设计，再到金融分析等诸多领域的复杂问题。 第一部分：数学基石的重塑与拓展 在踏上精微计算的征程之前，稳固的数学根基至关重要。本书的第一部分将带领读者重新审视并深化对微积分、线性代数、概率论等基础数学分支的理解。但我们并非停留于理论的表面，而是着重于这些概念在计算层面的表现形式及其在数值算法中的作用。 微积分的计算视角： 我们将探讨如何使用有限差分法来近似导数和积分，理解泰勒展开在函数逼近中的力量，以及如何通过数值积分技术（如梯形法则、辛普森法则）来解决解析求解困难的定积分问题。这些方法是理解许多复杂模型行为的基础，例如物理系统的演化、经济模型的动态变化等。我们将深入分析不同数值积分方法的精度、稳定性和计算效率，并提供实际案例演示，说明如何在特定场景下选择最优的算法。 线性代数的数值重奏： 线性代数是处理多变量系统和高维数据的语言。本书将聚焦于矩阵运算在数值计算中的应用，包括高斯消元法、LU分解、QR分解等用于求解线性方程组的经典方法，以及奇异值分解（SVD）在降维、去噪和推荐系统等领域的强大作用。我们将详细阐述这些算法的原理，分析其数值稳定性和计算复杂度，并结合实际问题，例如图像处理中的特征提取、社交网络中的关联分析等，展示线性代数工具的威力。 概率与统计的计算思维： 在不确定性日益凸显的世界中，概率论和统计学提供了量化和理解不确定性的框架。本书将侧重于概率分布的数值模拟，蒙特卡洛方法的原理与应用，以及如何通过统计推断（如假设检验、置信区间估计）来从样本数据中得出关于总体的可靠结论。我们将探索随机数生成器的原理，以及如何利用蒙特卡洛模拟来估计复杂系统的行为，例如金融市场风险评估、复杂工程系统的可靠性分析等。 第二部分：精微计算的利器与算法 在奠定了坚实的理论基础后，本书将进入数值计算的核心地带，介绍一系列强大的算法，它们如同技艺精湛的工匠，能够精确地处理复杂的数学问题。 求解非线性方程组的智慧： 现实世界中的许多问题，如化学反应动力学、电路模拟、经济均衡分析等，都涉及到非线性方程组的求解。我们将深入剖析牛顿迭代法及其变种（如修正牛顿法），并介绍不动点迭代法等其他常用的求解策略。本书将详细分析这些算法的收敛性条件、局部最优性问题以及如何处理高维非线性方程组的挑战，并提供具体案例，演示如何运用这些方法来解决实际工程和科学难题。 逼近函数，超越限制： 在许多情况下，我们遇到的函数可能非常复杂，甚至无法找到其解析表达式。插值与逼近技术为我们提供了解决方案。本书将详细介绍多项式插值（如拉格朗日插值、牛顿插值）和样条插值，以及最佳逼近理论（如最小二乘逼近）。我们将讨论不同插值方法的优缺点，如龙格现象等，并指导读者如何根据问题的特性选择合适的插值或逼近方法，以达到所需的精度和计算效率。 微分方程的数值演进： 微分方程是描述动态系统演化的基本语言，从物理学中的运动定律到生物学中的种群增长模型，无处不在。然而，许多微分方程无法获得解析解。本书将聚焦于常微分方程（ODE）的数值解法，重点介绍欧拉法、改进欧拉法（如朗格-库塔法）等经典算法。我们将深入探讨这些方法的精度、稳定性和适用范围，并提供实例，展示如何利用数值方法模拟行星轨道、预测天气模式、分析电路响应等。 最优化：寻找最佳路径： 在资源有限、目标需要最大化或最小化的场景下，最优化方法显得尤为重要。本书将介绍无约束优化问题（如梯度下降法、牛顿法）和约束优化问题（如拉格朗日乘子法、序列二次规划法）的求解策略。我们将深入分析各种优化算法的收敛速度、内存需求以及在求解工程设计、投资组合优化、机器学习模型训练等问题中的实际应用。 第三部分：理论与实践的桥梁：算法的实现与评估 掌握算法本身只是第一步，将其有效地转化为可执行的代码，并对其进行科学的评估，才是实现其价值的关键。 算法的实现艺术： 本部分将指导读者如何将抽象的数学算法转化为具体的编程实现。我们将强调代码的清晰性、模块化以及对数值稳定性的关注。尽管本书不直接提供特定编程语言的代码，但我们将深入讨论实现过程中需要注意的关键点，例如浮点运算的精度问题、循环与递归的效率选择、以及如何组织代码以提高可读性和可维护性。 数值稳定性与精度： 在数值计算中，误差是不可避免的。本书将系统地分析误差的来源（截断误差、舍入误差），并深入探讨数值稳定性这一核心概念。我们将介绍如何通过算法选择、病态问题的处理以及数值稳定性分析技术来减小误差的累积效应，确保计算结果的可靠性。 性能评估与选择： 面对多种可行的数值算法，如何做出明智的选择？本书将教授读者如何从时间复杂度、空间复杂度、精度要求和实际应用场景等多个维度来评估算法的性能。我们将提供一套评估框架，帮助读者在不同的问题中选择最高效、最准确的解决方案。 现代计算工具的视角： 尽管本书侧重于算法的原理，但我们也会适时地提及现代科学计算中常用的一些工具和库（如NumPy, SciPy, MATLAB等），介绍它们如何封装了这些精微的计算方法，并为研究人员和工程师提供了便捷的开发环境。我们旨在让读者理解这些工具背后的原理，从而能够更灵活、更深入地使用它们。 谁适合阅读本书？ 《精微数学的奥秘：从理论到实践的探寻》适合所有对数学、科学、工程、金融、数据科学等领域有浓厚兴趣，并希望掌握解决复杂问题的强大工具的读者。无论您是初学者，希望建立扎实的数值计算基础；还是有一定基础的研究者或工程师，希望深入理解并优化您的计算方法；抑或是希望将数学理论应用于实际项目中的学习者，本书都将是您宝贵的指引。 我们相信，通过对本书内容的深入学习和实践，您将能够打开一扇通往更广阔计算世界的大门，以更加精准、高效和深刻的方式理解和改造我们周围的世界。

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作为一名偏向于应用数学背景的学生，我发现这本书在涉及离散化误差和截断误差的分析时，展现出极高的严谨性。例如，在对常微分方程（ODE）的单步法进行收敛性分析时，作者没有止步于皮亚诺的局部存在性定理，而是引入了严格的龙格-库塔方法的截断误差分析，并且明确指出了不同阶数方法的全局误差是如何累积的，这对于我们选择合适的求解步长至关重要。更令我欣赏的是，书中对离散傅里叶变换（DFT）的讲解，它不仅提供了快速算法的蝶形运算图解，更深入地探讨了周期延拓误差（aliasing error）的来源，并讨论了如何通过窗口函数（如汉宁窗、海明窗）来平滑边界效应。这种对“数值近似的内在缺陷”的坦诚揭示和系统性解决方案的讲解，让我对数字世界的计算结果有了更审慎的态度。

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这本书的阅读体验，最独特的一点是它在案例选择上的独到眼光。它没有过多地纠缠于过于抽象的数学构造，而是将重点放在了那些在工程和科学前沿经常遇到的实际问题模型上。比如，在讲解偏微分方程（PDE）的数值解法时，它没有仅仅停留在拉普拉斯方程的有限差分，而是直接引入了稳态热传导问题，并详细解释了雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代在处理这类稀疏矩阵系统时的收敛速度差异，并直观地对比了它们的计算开销。这种紧密联系实际物理背景的教学方法，使得枯燥的迭代过程变得“有意义”起来，读者能清晰地看到每一步运算背后代表的物理量如何演变。这种注重“物理意义”的数值计算教学，极大地激发了我对这门学科的兴趣，因为它不再是孤立的数学技巧，而是解决真实世界复杂问题的利器。

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我最近在研究有限元分析中涉及的迭代求解器性能优化，原本以为手头上的几本经典教材已经足够，但翻阅了这本《数值计算方法》后，发现它提供了几个我先前未曾深入探讨过的角度。它对大系统的预处理技术，如代数多重网格（AMG）的介绍，远比我预期的要详尽和直观。作者不仅仅是罗列公式，更穿插了大量的应用背景和实际算例的局限性分析，这对于我将理论转化为工程实践至关重要。比如，书中对于病态矩阵（ill-conditioned matrices）的处理策略，它不仅给出了标准的正则化方法，还细致地讨论了在有限精度浮点运算环境下，不同方法（如SVD截断与Tikhonov正则化）的数值稳定性差异，并且给出了实际的误差界限分析，这一点在很多当代教材中常常被一笔带过。这种对“工程实现细节”的关注，使得这本书的价值远远超越了纯粹的理论参考书的范畴，更像是一位经验丰富的导师在耳边细心指导。

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这本书的结构安排非常有意思，它巧妙地平衡了理论的深度和广度。我特别喜欢它在讲解最小二乘法那一章的处理方式。通常教材会先讲正规方程组，然后直接跳到QR分解或SVD方法。但此书却用了相当的篇幅，非常细致地剖析了为什么直接求解正规方程组在数值上是灾难性的——它通过对比条件数的变化，形象地展示了误差的放大会如何吞噬掉有效精度。这种“先展示问题，再提供最优解”的叙事结构，极大地增强了读者理解新技术必要性的动机。此外，对于非线性方程组的求解，牛顿法的讨论不仅限于局部二次收敛的证明，还扩展到了信赖域方法（Trust-Region Methods）的理论基础，甚至提到了拟牛顿法中BFGS公式的推导逻辑，这对于从事优化算法开发的人员来说，提供了坚实的理论基石，避免了仅仅停留在“调用库函数”的肤浅层面。

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这本《数值计算方法》（平装）的印刷质量实在令人赞叹。纸张的触感温润而厚实，不是那种一翻就透光的廉价纸张，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到明显的疲劳。油墨的印刷清晰度极高，无论是复杂的矩阵运算符号，还是密集的公式推导，每一个数字和希腊字母都界限分明，没有丝毫的模糊或洇墨现象。尤其值得称赞的是其排版设计，页边距的留白恰到好处，既保证了内容的可读性，又使得整本书拿在手中非常有分量感和专业感。作者在章节的逻辑划分上，也体现了对读者学习路径的深刻理解，知识点的推进如同搭积木一般，层层递进，使得即便是初次接触这类高等数学工具的读者，也能感受到一种清晰的指引。装订方面，平装版的折痕处理得当，打开时书脊不会出现难以抚平的死褶，这对于经常需要将书本摊平在桌面上对照代码或演算草稿的学习者来说，无疑是一个极大的便利。总之，从物理接触的层面来说，这本书的制作工艺完全配得上其内容所代表的学术严谨性。

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知识面很广

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