Weak Convergence of Measures pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Society for Industrial Mathematics

作者:Patrick Billingsley

出品人:

页数:37

译者:

出版时间:1987-01-01

价格:USD 31.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780898711769

丛书系列:

图书标签:

• 概率Prob
• 概率论
• 测度论
• 泛函分析
• 弱收敛
• 数学分析
• 实分析
• 拓扑学
• 随机过程
• 偏微分方程
• 优化理论

好的，以下是一份关于《测度论中的拓扑与概率》的图书简介，内容将完全聚焦于该书的主题，并详细阐述其核心内容，同时确保不提及或影射您提到的书名。 --- 图书简介：测度论中的拓扑与概率 书名：《测度论中的拓扑与概率》 作者：[此处可填写虚构的权威作者名] 出版社：[此处可填写专业学术出版社名] 导言：现代数学的基石与桥梁 本书旨在为高等数学、概率论、泛函分析以及数学物理等领域的专业人士和高级学生提供一部全面而深入的参考著作。在现代数学的宏伟蓝图中，测度论无疑是连接抽象结构与具体分析计算的至关重要的桥梁。本书聚焦于测度论的理论深度，特别强调拓扑结构在构建和理解概率空间中的核心作用，并深入探讨了由这些结构自然衍生出的各类收敛性概念。 本书的独特之处在于其对拓扑测度空间的系统性构建，以及对随机过程理论基础的扎实奠基。我们摒弃了传统教材中将测度论视为概率论预备知识的简单处理方式，而是将其提升到独立、丰富的数学分支的高度来审视。读者将发现，拓扑的完备性、紧致性、可分性等性质如何直接决定了测度的存在性、唯一性以及其在函数空间上的行为。 全书结构严谨，逻辑递进，从最基本的集合论基础出发，逐步攀升至抽象测度空间的复杂结构，最终落脚于实际应用中的关键工具——函数空间的拓扑结构。 第一部分：拓扑基础与可测性结构 (Foundations of Topology and Measurability) 本书的首要目标是建立一个稳固的拓扑与测度交汇的基础框架。我们首先回顾并深化了度量空间、拓扑空间的基本概念，特别是Borel $sigma$-代数在任何拓扑空间上如何自然生成。 核心内容包括： 1. 拓扑空间上的Borel集与$sigma$-代数： 详细阐述了开集、闭集、$G_delta$集和 $F_sigma$集如何定义可测结构。讨论了这些代数结构在一般拓扑空间上的性质，以及与波雷尔测度（Borel Measure）的关系。 2. 拓扑完备性与测度延拓： 重点分析了完备空间（如Banach空间）上，通过诸如Carathéodory延拓定理的拓扑视角推导。这里强调了Hausdorff紧致性在确保特定测度（如紧致性测度）存在性中的关键角色。 3. 函数空间的拓扑： 引入了连续函数空间 $C(X)$ 和可微函数空间，探讨了其上常用的拓扑结构（如紧致开收敛拓扑、均匀收敛拓扑）。这些结构是后续讨论概率测度空间中随机变量函数空间的关键背景。 第二部分：积分、函数空间与算子理论 (Integration, Function Spaces, and Operator Theory) 在明确了测度空间和函数的可测性之后，本书转向积分理论的精深探讨，并将其置于泛函分析的框架下考察。 核心内容包括： 1. Lebesgue积分的理论深度： 不仅复述了积分的定义，更深入分析了积分在不同拓扑下函数的极限行为。特别关注了$L^p$ 空间的定义、完备性（作为Banach空间）以及其内在的拓扑结构。 2. Riesz表示定理的拓扑视角： 这是连接积分理论与泛函分析的核心。我们将详细讨论如何利用函数空间的拓扑性质（如分离性、紧致性）来精确描述 $L^p$ 空间上线性泛函的结构，这对于理解随机变量的期望和协方差至关重要。 3. Radon-Nikodym定理的解析形式： 在给定测度下，如何表示一个由其他测度导出的绝对连续的密度函数。本书通过拓扑诱导的函数空间性质，揭示了Radon-Nikodym导数的唯一性和存在性的深层原因。 第三部分：收敛性理论的精细化 (Refinements in Convergence Theory) 本书的最后一部分是本书名称所暗示的核心主题的深入展开，即在具有复杂拓扑结构的测度空间上，如何定义和研究各种形式的收敛性。这超越了经典的逐点收敛或依概率收敛。 核心内容包括： 1. 拓扑收敛与概率收敛的关联： 详细比较了拓扑学中的紧致收敛、弱收敛与概率论中的几乎必然收敛、依概率收敛。特别研究了在何种拓扑结构下，函数序列的收敛可以被“提升”为对应概率变量的收敛。 2. 函数空间的弱拓扑 (Weak Topologies)： 这是本书的理论高峰之一。我们引入了函数空间上的弱拓扑（如 $sigma$-弱拓扑、点态弱拓扑）。这些拓扑允许我们在不要求函数本身收敛的情况下，研究其积分（或期望）的收敛性。 3. 概率测度的拓扑收敛 (Topological Convergence of Probability Measures)： 重点探讨了Prohorov拓扑和弱收敛（$W$-收敛）在概率空间之间的应用。我们将阐述Prohorov度量如何成为衡量概率测度之间“距离”的内在拓扑度量，它精确地捕捉了依概率收敛的结构。本书将详细证明，在一个紧致完备的度量空间上，Prohorov拓扑赋予了概率测度集一个紧致结构，这为随机过程的极限理论（如函数空间的极限定理）奠定了坚实的分析基础。 4. 随机变量序列的极限存在性： 结合测度论、拓扑学和随机过程的知识，我们分析了如何在不假设强大收敛性的前提下，保证随机变量序列存在一个极限过程，这依赖于对函数空间拓扑的深刻理解。 总结与展望 《测度论中的拓扑与概率》旨在为读者提供一个统一的视角，将拓扑学的抽象美感与测度论的实用威力相结合。本书的深度和广度，尤其是在函数空间拓扑和测度空间之间的相互作用方面，使其成为研究现代概率论、随机分析和应用数学的不可或缺的参考书。它不仅教授“如何计算”，更揭示了“为何如此”的深层数学结构。 --- 适用读者： 数学、物理、金融工程、统计学领域的研究生及高级本科生、科研人员。 先决条件： 扎实的实分析基础（Riemann积分、级数、基本集合论）。

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