数学嫌いな人のための数学―数学原論 pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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isbn号码:9784492222058

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数学
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具体描述

本書は、日本人が苦手とする論理と数学について、学問が確立した歴史的背景や意義を交えながら論じた知的読み物である。アリストテレスの形式論理学やガウスの大定理、背理法、帰納法、必要十分条件、対偶、ケインズの一般理論についての知識を得られるが、その過程で数式はほとんど出てこない。最初の数十ページを読んだだけなら、歴史の本と間違ってしまうほどだ。『痛快！憲法学』で披露した小室節はここでも健在のようである。

まずChapter1では、数学が登場した歴史的背景について述べられる。古代イスラエルの宗教と論理学の関係、古代ギリシャの3大難問、大航海時代の新航路発見の意義などを読み進めていくうちに、数学の意義や考え方について学ぶことができる。Chapter2では、東西の論理の違いについて、興味深い話が紹介されている。「なぜ、日韓関係はよくならないのか」の部分を読めば、国際理解に関しても論理が重要な意味を持つことがわかる。

Chapter3 は、数学の論理によって育まれた資本主義の考え方が述べられる。資本主義の考え方に、いかに数学が根づいているかを実感できる部分だ。Chapter4 は、本書の肝というべき部分で、背理法、帰納法、必要十分条件、対偶などの証明の技術について述べられている。統計調査の注意点や困ったときの発想法なども述べられている。

最後のChapter5では、まとめとしてマクロ経済学の理論が登場する。ケインズと古典派の経済理論、リカードの大発見などを数学的視点からわかりやすく説明しており、マクロ経済の教科書が理解できなかった人にも理解しやすい。

300ページ以上におよぶ本であるが、著者の軽快な語り口と興味深いトピックのおかげで、さらりと読むことができる。数学嫌いを直し、論理的思考を身につけるために、ぜひ読んでおきたい1冊だ。（土井英司）

《几何学的奥秘：从欧几里得到黎曼的探索之旅》一、导言：空间的思索与人类的疆域自古以来，人类对于“空间”的理解便与生存、建筑和信仰紧密相连。我们仰望星空，规划田地，建造神庙，每一步都隐含着对几何原理的朴素应用。然而，真正将这种直觉提升为严谨的科学体系，则要归功于古希腊的先贤们。本书《几何学的奥秘：从欧几里得到黎曼的探索之旅》，旨在带领读者穿越时空的长廊，深入剖析几何学这门学科从其萌芽、鼎盛到革命性演变的全过程。我们关注的焦点，并非仅仅是那些教科书上冷冰冰的定理与证明，而是驱动这些发现背后的思想转变、哲学争论以及技术突破。二、欧氏几何的辉煌：绝对真理的构建当我们谈论几何学时，第一个绕不开的名字便是欧几里得。他的《几何原本》不仅是数学史上的里程碑，更是西方理性精神的基石。《几何学的奥秘》首先将详细阐述欧氏几何的逻辑结构。我们将深入探讨欧几里得是如何凭借五个公设（特别是那条臭名昭著的第五公设）和大量不证自明的公理，构建起一个无懈可击的演绎体系。本章将剖析“点”、“线”、“面”这些基本概念的定义如何奠定了古典物理学和工程学的基础。我们会细致地考察如“三角形内角和等于一百八十度”等结论的推导过程，并探讨为何在两千多年的时间里，这一体系被视为描述我们所感知世界的唯一、绝对的真理。我们会着重分析欧氏几何的内在美学——它的完备性、一致性和清晰性——这些品质使得它成为所有科学理性思辨的典范。三、挑战与质疑：第五公设的沉重阴影然而，一个看似坚固的体系内部，往往孕育着自我颠覆的种子。欧氏几何的基石——第五公设（平行公设）——始终是怀疑的焦点。本部分将聚焦于历史上众多数学家试图证明或反驳这条公设的漫长尝试。我们将追溯普罗克洛斯、萨凯里、约翰·博尔亚伊和罗巴切夫斯基等人的努力。这些尝试并非徒劳，它们如同在紧绷的弦上不断施加压力，最终导致了弦的断裂，开启了全新的几何学时代。我们将详细剖析非欧几何诞生的思想脉络，特别是罗巴切夫斯基所构建的双曲几何（负曲率）模型。理解这些早期尝试的艰辛与突破，是理解现代科学范式转移的关键。四、革命的曙光：非欧几何的诞生与空间概念的重塑非欧几何的出现，标志着人类对“空间”的理解从独一无二的“绝对空间”转向了“相对空间”的可能性。本章将深入介绍黎曼几何，这是对非欧几何的集大成和升华。我们将探讨黎曼如何从高斯的工作中汲取灵感，引入“弯曲空间”和“度量张量”的概念。对于非专业读者，我们将用直观且严谨的方式解释“测地线”（最短路径在弯曲空间中的体现）的概念，并阐释球面几何（正曲率）与双曲几何（负曲率）的几何特性差异。黎曼几何不再仅仅是一种数学构造，它提供了一种描述复杂形变和拓扑结构的强大工具。五、几何与物理的联姻：从牛顿力学到爱因斯坦的宇宙几何学的抽象思辨，最终找到了其最宏伟的应用舞台——物理学。本章将详述黎曼几何如何成为爱因斯坦广义相对论的数学语言。我们将解释时空不再是牛顿体系中僵硬的背景，而是可以被物质和能量所“弯曲”的动态实体。通过介绍爱因斯坦场方程的几何内涵，读者将理解质量如何告诉时空如何弯曲，而时空的弯曲则告诉物质如何运动。我们将探讨引力透镜效应、黑洞边缘的几何结构等前沿物理现象，展示几何学如何从纯粹的逻辑游戏，转变为理解宇宙形态的终极钥匙。六、拓扑学的兴起：不变量的追寻与变形的艺术随着十九世纪末二十世纪初的深入发展，数学家开始关注那些在连续形变（拉伸、扭曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质。这就是拓扑学，又被称为“橡皮泥几何学”。本章将介绍拓扑学的基本概念，如连通性、亏格（洞的数量）以及欧拉示性数。我们将通过著名的“七桥问题”和“莫比乌斯带”来揭示拓扑思维的独特视角——它关注的是对象的内在结构而非精确的度量。拓扑学为现代数据分析、网络理论乃至生物形态研究提供了不可或缺的分析框架。七、现代几何学的版图与展望在二十世纪中叶以后，几何学继续沿着分化的路径高速发展。本章将概述现代几何学的若干重要分支： 1. 微分几何的深化：结合分析学，研究光滑流形上的结构，这是现代规范场理论的基石。 2. 代数几何的复兴：利用抽象代数（特别是交换环论）来研究代数方程的几何解集，深刻影响了数论。 3. 辛几何与李群：在经典力学和量子场论中，用于描述对称性和相空间的几何结构。本书的收官部分将总结几何学如何从对“平面与直线”的朴素研究，演化成为一个涵盖高维流形、拓扑不变量和深刻物理洞见的庞大知识体系。它证明了人类理性探索疆域的无限可能性，以及逻辑推理在揭示自然界深层结构中的核心作用。阅读本书，您将获得的不仅是知识的积累，更是一次思想上对“空间”这一基本范畴的彻底洗礼。