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出版者:Addison Wesley

作者:Marvin L. Bittinger

出品人:

页数:1152

译者:

出版时间:2008-02-03

价格:USD 153.33

装帧:Hardcover

isbn号码:9780321501523

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

深度解析：代数与微积分之间的桥梁——《高等代数精要》 这是一部旨在系统梳理和深化基础代数知识，为学生顺利迈入微积分及更高阶数学领域奠定坚实基础的教材。 本书摒弃了对《Precalculus》（预备微积分）中常见主题的直接重复，转而聚焦于那些在微积分学习中至关重要的、需要更深层次理解和灵活运用的代数概念、函数理论的高级拓展，以及严谨的数学思维训练。 第一部分：函数理论的深入拓展与抽象化 本书不将重点放在三角函数或指数函数的简单绘图和求解上，而是深入探讨函数的结构、性质、变换的本质，以及更复杂的函数类。 第一章：函数空间的结构与性质 本章首先回顾了函数的定义，但立刻将其提升到更抽象的层次。我们探讨函数的域、值域的拓扑性质，以及在特定结构下（如群、环）定义的函数空间。 复合函数的深度分析： 不仅是计算 $f(g(x))$，而是深入分析复合运算下函数性质的保持与改变（如单射性、满射性、连续性）。讨论链式法则背后的函数结构分解。 反函数的严谨性： 探讨在更一般集合上的映射中，何时存在反函数，以及如何利用更抽象的结构（如双射）来证明反函数的唯一性和存在性。 函数的周期性、奇偶性与对称性： 建立在几何直觉之上的代数证明。例如，如何利用傅里叶级数的基本思想来分析周期函数的代数表示，尽管不涉及傅里叶分析的具体计算。 第二章：多项式与有理函数的结构分解 本章超越了简单的因式分解和零点求解，关注多项式在不同数域上的行为，以及有理函数作为函数族的重要性。 域的扩张与多项式的根： 深入探讨代数基本定理的意义，以及在扩张域（如复数域 $mathbb{C}$）上，多项式如何完全分解。讨论最小多项式和代数数的基本概念，为抽象代数打下基础。 有理函数的偏分式分解 (Partial Fraction Decomposition) 的代数基础： 侧重于证明分解过程的可行性与唯一性，而非仅作为积分的预备步骤。探讨当分母为不可约多项式时，分解的规范形式。 多项式函数的局部行为： 利用导数（仅作概念引入，不进行计算）的思路，定性地分析高阶导数对于多项式在特定点附近的泰勒展开式结构的影响，理解重根的本质。 第二部分：超越基础的代数结构与数系 本部分旨在巩固和扩展学生对数系的理解，并引入更具结构性的代数工具。 第三章：指数与对数函数的真正本质 本章彻底摆脱了“指数增长”的初级描述，聚焦于自然对数和指数函数作为微积分核心工具的必要性。 自然对数 $ln(x)$ 的定义与性质： 从积分的逆运算（面积定义）出发，严格推导其性质，而非依赖于指数函数的倒数定义。讨论其在定义域 $(0, infty)$ 上的唯一性。 e 的定义与极限的严谨推导： 详细分析 $lim_{n oinfty} (1 + 1/n)^n$ 的收敛性，以及该极限在复利计算、概率论中的深远意义。 对数函数的非实数域拓展： 简要引入复变函数中对数函数的概念，说明实数域上的对数函数是其在特定分支上的一个特例。 第四章：数列、级数与收敛性的初步探讨 本章是通往无穷级数分析的桥梁，强调序列和级数的“极限行为”而非简单求和。 序列收敛的 $epsilon-N$ 语言基础： 严格训练学生使用极限的 $epsilon-N$ 定义来证明基本序列（如 $1/n^p, r^n$）的收敛性或发散性。这是微积分中 $epsilon-delta$ 定义理解的绝佳铺垫。 级数的基本判别法（代数视角）： 重点讨论调和级数、几何级数收敛的代数原因。引入比较判别法和比值判别法，旨在训练学生对无穷和的“大小”进行量级判断，而非计算求和。 数列的递推关系： 求解线性齐次常系数递推关系（如斐波那契数列），使用特征方程法，展示离散系统中的代数解法与连续系统微分方程解法的相似性。 第三部分：解析几何与向量空间的萌芽 本部分将二维空间的几何直觉与代数表示法紧密结合，为线性代数和多变量微积分做准备。 第五章：二次曲线的代数统一表示 本章不再侧重于通过平移和旋转来简化方程，而是着眼于二次型的一般性。 圆锥曲线的统一判别式： 深入分析一般二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 中，判别式 $B^2 - 4AC$ 如何决定了曲线的类型（椭圆、抛物线、双曲线），强调这是一种纯粹的代数分类。 参数方程的优势与局限： 探讨如何用参数方程来描述复杂路径，以及这种描述在表示非函数关系时的强大作用。 极坐标系与代数转换： 详细分析从笛卡尔坐标到极坐标的转换机制，并展示某些复杂代数关系在极坐标下如何被简化（例如，如何用极坐标简洁地表示螺旋线或其他非标准图形的代数方程）。 第六章：二维向量代数的初步结构 本章引入向量作为代数对象，而非单纯的物理量，以构建更广阔的数学空间感。 向量的代数运算与线性组合： 严格定义向量的加法、标量乘法，并引入线性组合的概念。讨论线性相关与线性无关的代数判据（利用系数矩阵的行列式或求解线性方程组）。 点积的几何与代数意义： 证明点积（内积）的代数定义 $mathbf{u} cdot mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2$ 如何等价于 $|mathbf{u}||mathbf{v}|cos heta$，强调内积是连接代数运算和几何角度信息的桥梁。 二维空间的基与坐标变换： 探讨如何选择不同的基（例如，非正交基）来表示二维空间中的点，理解坐标变换的本质是改变了代数表示方式，但向量本身（几何对象）不变。 --- 总结： 《高等代数精要》致力于将学生从“如何计算”提升到“为什么能计算”的层次。本书的每一章节都旨在为微积分的极限、导数、积分概念提供更深厚的、无懈可击的代数基础和逻辑框架，确保学生在面对更复杂的数学结构时，拥有强大的分析工具和严谨的证明能力。

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我一直在寻找一本能够真正让我理解数学“为什么”的书，而不是仅仅记住公式和解题步骤。这本《Precalculus》给了我答案。它以一种非常自然和直观的方式，将抽象的数学概念与我们身边的世界联系起来。例如，在讲解概率论的基本概念时，它并没有局限于枯燥的概率计算，而是通过掷骰子、抽扑克牌等生动的例子，让我理解概率的意义和应用。我尤其喜欢书中关于统计学的部分，它不仅介绍了基本的数据分析方法，还讨论了数据可视化和统计推断，让我看到了统计学在信息时代的重要性。作者在编写这本书时，显然深入考虑了不同学生的学习习惯和认知特点。它提供了多种学习资源，例如在线视频讲解和交互式练习，这使得学习过程更加生动有趣。我经常会在遇到困难时，回头去观看相关的视频，这比单纯阅读课本更能帮助我理解那些抽象的概念。而且，这本书的篇幅适中，内容安排合理，不会让人感到信息过载。它鼓励读者主动参与到学习过程中，而不是被动接受知识。在我看来，这本《Precalculus》不仅仅是一本教科书，更是一个引导我成为独立思考者的学习伙伴。

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这本《Precalculus》在我手中，它就像一把通往更深邃数学世界的钥匙，让我对那些抽象的概念不再感到畏惧，而是充满了探索的渴望。我是一名对科学和工程领域充满热情的学生，一直以来，微积分一直是我的梦想，而这本书，就是我实现梦想的必经之路。它没有像许多同类书籍那样，上来就用繁琐的定义和公式轰炸读者，而是以一种循序渐进、由浅入深的教学方式，将看似复杂的函数、三角学、指数与对数等概念一一剖析。例如，在讲解三角函数时，它并没有停留在简单的图像和单位圆上，而是深入探讨了其在物理学中的应用，比如振动、波的传播，让我看到了数学的实际价值，也激发了我学习的动力。作者在解释每个定理或公式时，都会提供清晰的推导过程，并且配以大量生动形象的图示，这对于我这种视觉型学习者来说，简直是福音。我尤其喜欢书中那些“思考一下”和“挑战题”部分，它们不仅仅是检验我学习成果的工具，更是引导我进行独立思考和解决问题能力的训练场。很多时候，我会被一道题卡住，但通过仔细研读书中的提示和例题，最终能够恍然大悟，这种成就感是无与伦比的。而且，这本书的排版设计也十分人性化，纸张的触感、字体的选择，都让人在长时间阅读时感到舒适。它不仅仅是一本教材，更像是一位耐心而博学的导师，在我学习的道路上给予我指引和支持。

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当我拿到这本《Precalculus》时，我被它清晰的结构和引人入胜的内容所吸引。它并没有将数学知识进行简单的堆砌，而是有逻辑地组织起来，让读者能够循序渐进地掌握每一个概念。我尤其喜欢书中关于函数图像的部分，它不仅展示了各种函数的图像，还详细讲解了如何通过函数的性质来预测和理解图像的变化，这让我对函数有了更直观的认识。作者在讲解指数和对数函数时，巧妙地结合了金融学中的复利计算和科学中的衰减模型，让我看到了数学在不同领域的应用。此外，书中还包含了一些关于向量和矩阵的初步介绍，这为我今后学习线性代数打下了良好的基础。这本书的语言风格也很吸引人，既有学术的严谨，又不失幽默和启发性，读起来不会感到枯燥乏味。作者在解释每个定理或公式时，都会提供清晰的推导过程，并且配以大量生动形象的图示，这对于我这种视觉型学习者来说，简直是福音。这本《Precalculus》是我学习数学的宝贵财富。

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这本《Precalculus》给我的最大感受是，它不仅仅是在教授数学知识，更是在培养一种解决问题的能力。它鼓励读者积极思考，主动探索，而不是被动地接受信息。我特别喜欢书中关于数列和级数的部分，它不仅介绍了等差数列、等比数列等基本概念，还深入探讨了泰勒级数和傅立叶级数等更高级的概念，并解释了它们在工程和科学研究中的重要应用。这让我看到了数学的无限可能。这本书的习题设计也十分多元化，从基础的计算题到复杂的证明题，再到需要创新思维的应用题，几乎涵盖了所有类型的题目。我经常会在完成习题时，花费大量的时间去思考不同的解题方法，这极大地锻炼了我的数学思维能力。而且，这本书的排版设计也十分人性化，每个章节的标题都很清晰，方便我查找信息。纸张的质量也很好，即使是经常翻阅，也不会出现损耗。这本《Precalculus》是我学习数学道路上的一位良师益友。

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要说我对这本《Precalculus》最深刻的印象，那一定是对数学严谨性和创造性之间关系的绝妙平衡。它在讲解函数的可导性时，并没有回避那些看似“怪异”的函数，而是通过深入的分析，展现了数学理论的完备性和深刻性。我特别喜欢书中关于极限和连续性的章节，它用非常直观的语言和图示，解释了这些微积分中最核心的概念，让我对函数行为的连续性变化有了全新的认识。作者在讲解数学证明时，也注重培养读者的逻辑思维能力，引导读者学会如何构建严谨的证明过程，这对于我今后在高等数学领域的学习至关重要。这本书的习题设计也极具挑战性，很多题目需要结合多个章节的知识才能解决，这锻炼了我综合运用数学知识的能力。每一次完成一道难题，都会给我带来巨大的满足感。而且，这本书的索引和目录设计也非常清晰，方便我快速查找所需的知识点。我经常会反复查阅书中的某些章节，每次都能从中获得新的启发。这本书的纸质感和装订质量也很好，即使经常使用，也能保持良好的状态。

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我一直在寻找一本能够帮助我理解数学“为什么”的书，而不是仅仅记住公式和解题步骤。这本《Precalculus》给了我答案。它以一种非常自然和直观的方式，将抽象的数学概念与我们身边的世界联系起来。例如，在讲解概率论的基本概念时，它并没有局限于枯燥的概率计算，而是通过掷骰子、抽扑克牌等生动的例子，让我理解概率的意义和应用。我尤其喜欢书中关于统计学的部分，它不仅介绍了基本的数据分析方法，还讨论了数据可视化和统计推断，让我看到了统计学在信息时代的重要性。作者在编写这本书时，显然深入考虑了不同学生的学习习惯和认知特点。它提供了多种学习资源，例如在线视频讲解和交互式练习，这使得学习过程更加生动有趣。我经常会在遇到困难时，回头去观看相关的视频，这比单纯阅读课本更能帮助我理解那些抽象的概念。而且，这本书的篇幅适中，内容安排合理，不会让人感到信息过载。它鼓励读者主动参与到学习过程中，而不是被动接受知识。在我看来，这本《Precalculus》不仅仅是一本教科书，更是一个引导我成为独立思考者的学习伙伴。

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翻开这本《Precalculus》，我立刻被它独特的视角所吸引。它没有将数学视为一堆孤立的规则和公式，而是强调了不同数学分支之间的联系和内在逻辑。我之前在学习代数时，总觉得那些多项式和方程的应用场景很模糊，但这本书通过对函数概念的深入阐述，将它们巧妙地联系起来，让我理解了函数是如何描述现实世界中各种变化关系的。比如，在讲解指数函数时，书中就列举了人口增长、放射性衰变等真实案例，让我直观地感受到指数函数的强大解释力。更让我印象深刻的是，它在介绍复数时，并没有止步于代数运算，而是引入了复平面和欧拉公式，展现了复数在几何和分析中的优雅之处，这对我来说是一个全新的视角。这本书的习题设计也非常巧妙，从基础练习到综合应用，难度循序渐进，并且很多习题都带有开放性，鼓励读者去探索不同的解题思路。我记得有一道关于数列的题目，我尝试了多种方法，最终发现了一种更简洁的证明方式，这让我对数学的探索精神有了更深的体会。作者的语言风格也很吸引人，既有学术的严谨，又不失幽默和启发性，读起来不会感到枯燥乏味。这本书让我对“预备微积分”这个概念有了全新的认识，它不再仅仅是为微积分做准备，而是在构建一个坚实的数学基础，培养一种数学思维方式。

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作为一名对理论物理有着浓厚兴趣的学生，我一直寻找一本能够帮助我建立扎实数学基础的教材。这本《Precalculus》可以说完全满足了我的需求，甚至超出了我的预期。它在介绍线性代数的一些初步概念时，就与向量、矩阵以及它们在几何变换中的作用紧密结合，这对我理解物理学中的坐标变换、张量等概念大有裨益。书中对解析几何的讲解尤其出色，它将代数方程与几何图形的美妙结合展现得淋漓尽致，让我看到了代数描述几何的美感。我特别喜欢书中关于圆锥曲线的部分，它不仅详细介绍了椭圆、抛物线和双曲线的性质，还展示了它们在天文学（如行星轨道）和工程学（如光学反射镜）中的实际应用。这种理论与实践的结合，极大地增强了我学习数学的积极性。此外，这本书对逻辑推理和证明的强调，也对我帮助很大。在理解数学定理时，它不仅给出了结论，还深入浅出地讲解了证明过程，引导我思考“为什么”以及“如何证明”，培养了我严谨的数学思维。即使是那些我一开始觉得难以理解的概念，在作者的循循善诱下，也变得豁然开朗。这本书的书页质量和印刷清晰度也都非常出色，长时间翻阅也不会感到疲劳。

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我曾经对三角学感到十分头疼，觉得那些正弦、余弦、正切的公式和图像都非常难以记忆和理解。然而，这本《Precalculus》彻底改变了我的看法。它以一种非常巧妙的方式，将三角函数与几何图形，特别是单位圆，紧密地联系起来，让我看到了这些函数背后深刻的几何意义。我非常喜欢书中关于三角恒等式的推导过程，作者通过一系列清晰的几何证明，让我理解了这些恒等式是如何产生的，而不是死记硬背。更重要的是，它还展示了三角函数在实际生活中的广泛应用，例如在测量、导航、信号处理等方面，这让我深刻体会到数学的实用价值。这本书的语言风格也非常流畅和易懂，即使是对于初学者来说，也不会感到晦涩难懂。作者在解释每个概念时，都会提供充足的例题，并且对例题的解析非常详细，让我能够一步步地理解解题思路。此外，书中还穿插了一些数学史的小故事，让我对数学的发展有了更深的了解。这本《Precalculus》不仅仅是一本教材，更像是一扇窗口，让我看到了数学的魅力和生命力。

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这本《Precalculus》在讲解函数概念时，给我留下了极为深刻的印象。它不仅仅停留在代数方程和图像的描述上，更是将函数视为描述现实世界中变量之间关系的核心工具。我特别欣赏书中对于函数复合、反函数等概念的深入剖析，这些概念在解决实际问题中起着至关重要的作用。例如，书中通过一系列的工程应用案例，如光学透镜的焦距计算、电路中的信号变换等，生动地展示了函数在解决复杂工程问题中的强大力量。作者在解释极坐标系时，也别具匠心，它将极坐标与笛卡尔坐标进行了巧妙的对比，并展示了极坐标在描述旋转对称图形和某些物理现象时的优势，这让我对数学工具的多样性有了更深的认识。这本书的习题设计也非常出色，很多题目都鼓励读者进行创造性的思考，并探索不同的解题路径。我经常会在完成习题后，与同学一起讨论，分享各自的解题思路，这种交流也极大地促进了我对数学的理解。总而言之，这本《Precalculus》不仅是一本高质量的教材，更是一本能够点燃我学习热情的火种。

评分☆☆☆☆☆

college now at csi first time taking a college course in a college i have to say math isnt really my strength any more, after missing out the original math curriculum for so long and been placed in the new algebra, geometry, and trig s--- (well, it benefits almost everyone except people in my grade - who had attended catholic schools or private schools) oh, life, now i have to sacrifice one month of my summer (right before my critical senior year) and catch up with everyone else (well, not everyone, but most of the others)

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