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出版者:McGraw-Hill Higher Education

作者:Defranza

出品人:

页数:416

译者:

出版时间:2008-11-1

价格:GBP 110.99

装帧:Hardcover

isbn号码:9780073532356

丛书系列:

图书标签:

• textbook
• 线性代数
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《拓扑学基础与应用：从点集到流形》 作者： [虚构作者姓名，例如：艾米莉亚·文森特] 出版社： [虚构出版社名称，例如：普林斯顿大学数学专著系列] 页数： 约 650 页 (不含附录和索引) 定价： 85.00 美元 --- 内容简介 《拓扑学基础与应用：从点集到流形》是一部全面而深入的专著，旨在为高等数学、理论物理学以及现代几何学领域的学生和研究人员提供坚实的拓扑学理论框架，并展示其在当代科学中的广泛应用。本书的核心目标是搭建起直观的几何感与严谨的数学证明之间的桥梁，避免过度依赖繁复的分析工具，转而聚焦于拓扑学的本质——空间和连续形变的内在性质。 本书的组织结构遵循从最基本概念逐步构建至高级主题的清晰路径，共分为六个主要部分，辅以丰富的例题、习题和深入的讨论。 --- 第一部分：预备知识与度量空间 (The Groundwork: Metric Spaces and Topology) 本部分首先回顾必要的集合论和函数概念，随后迅速切入拓扑学的基础——度量空间。我们详细探讨了开集、闭集、邻域、极限点和完备性的概念。随后，本书引入了更抽象的拓扑空间的定义，强调了开集的公理化结构。 重点内容包括： 1. 拓扑的构造： 从基（Base）和子基（Subbase）生成拓扑结构。 2. 连续性与同胚： 以拓扑结构为基础重新定义连续函数，并严格区分同胚（Homeomorphism）与一般连续映射。同胚被确立为拓扑学研究的核心等价关系。 3. 紧致性与连通性： 这两个基本拓扑性质被赋予了极高的地位，通过 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）和路径连通性（Path Connectedness）的讨论，揭示了它们在函数空间和嵌入问题中的重要性。 本部分通过大量实例（如函数空间、特定子空间拓扑）来巩固抽象概念。 --- 第二部分：构造性拓扑学与分离公理 (Constructive Topology and Separation Axioms) 本部分致力于解决“我们能区分空间中的点吗？”这一核心问题，并探讨如何通过构造新的拓扑空间来处理更复杂的问题。 我们系统地研究了分离公理：$T_1, T_2$ (Hausdorff), $T_3$ (Regular), $T_4$ (Normal)。本书强调了这些公理的重要性，特别是 Hausdorff 性质是许多分析性构造（如收敛性、局部紧致性）得以成立的前提。 乘积空间与商空间的构建是本部分的重点。 乘积拓扑的引入为研究无限多个空间的组合结构奠定了基础（如 Tychonoff 定理的预备讨论）。 商拓扑（Quotient Topology）的处理尤为细致，它提供了一种“粘合”空间部件的强大工具，是理解流形构造和代数拓扑基础（如基本群的构造）的关键步骤。 --- 第三部分：同伦与基本群：代数方法的引入 (Homotopy and the Fundamental Group: An Algebraic Bridge) 这是本书从纯点集拓扑迈向代数拓扑的关键过渡。本部分引入了同伦论（Homotopy Theory）的核心概念。 1. 路径与路径同伦： 详细定义了路径、路径的乘法和路径同伦，并证明了同伦关系是一个等价关系。 2. 基本群 ($pi_1$): 以环路为基础，精确定义了基本群，并证明了它是一个群。本书通过计算经典空间的 $pi_1$（如圆 $S^1$、环面 $T^2$）来展示其区分拓扑空间的能力。 3. 覆盖空间理论： 本部分深入探讨了覆盖空间（Covering Spaces）与基本群之间的深刻联系。我们利用 Lifting Property（提升性质）来证明 Brower 不动点定理（在 $mathbb{R}^2$ 的特殊情况下）以及更一般形式的映射度（Degree of a map）的概念。 --- 第四部分：同调论的黎明：奇异同调 (The Dawn of Homology: Singular Homology) 相较于基本群只能捕捉“洞”的维度（一维），同调论提供了研究更高维“洞”的系统工具。本部分专注于奇异同调群 ($H_n(X)$)。 1. 链复形与边界算子： 严格定义了奇异单纯形、链群 $C_n(X)$ 和边界算子 $partial$。我们证明了 $partial circ partial = 0$，从而定义了圈群 $Z_n$ 和边界群 $B_n$。 2. 同调群的构造： 明确给出同调群 $H_n(X) = Z_n / B_n$，并解释了其几何意义——衡量 $n$ 维“洞”的存在性。 3. 马尔可夫-维托里斯序列与迈耶-维托里斯序列： 重点讨论了迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）这一强大的计算工具，并利用它来计算球面 $S^n$ 的同调群，这是拓扑学中一个里程碑式的计算。 --- 第五部分：流形：几何与拓扑的交汇点 (Manifolds: Where Geometry and Topology Converge) 本部分将抽象的拓扑学知识应用于最具几何直观性的结构——流形。 1. 流形的定义与实例： 详细阐述了 $n$ 维拓扑流形的定义，包括开局部坐标系和转移映射的概念。我们通过 $mathbb{R}^n$、球面 $S^n$、射影空间 $mathbb{RP}^n$ 和复射影空间 $mathbb{CP}^n$ 来展示不同类型的流形。 2. 可定向性与可微性： 讨论了流形的可定向性（Orientation）在同调计算中的作用，并简要介绍了微分结构（Differentiable Structure）的引入，为向微分几何的过渡做准备。 3. 嵌入与浸没： 讨论了 Whitney 嵌入定理（Whitney Embedding Theorem）的关键思想，以及相关的光滑性限制。 --- 第六部分：应用与进阶主题 (Applications and Advanced Topics) 最后一部分展示了拓扑学在更广阔领域的影响，并为读者指明了进一步研究的方向。 纤维丛 (Fiber Bundles)： 简要介绍纤维丛的基本概念，特别是向量丛和主丛，以及它们在规范场理论中的作用。 微分形式与德拉姆上同调 (De Rham Cohomology)： 在 $mathbb{R}^n$ 的光滑流形上，引入微分形式和德拉姆上同调。本书展示了德拉姆上同调群与奇异同调群之间的同构关系（Hodge理论的铺垫），强调了拓扑不变量在分析问题中的作用。 不动点理论的拓扑视角： 再次回归不动点问题，利用代数拓扑工具（如度数理论）来更深入地理解 Brouwer 和 Poincaré 不动点定理。 --- 目标读者与特点 本书的叙述风格严谨而不失洞察力，力求平衡理论的深度与几何的直觉。它摒弃了对庞大的代数结构（如谱序列）的早期引入，而是倾向于使用更具可操作性的方法（如直接的链式计算和群论）。 本书适合： 1. 具有微积分和实分析基础的研究生。 2. 希望深入理解现代几何、理论物理（如弦论的拓扑场论背景）或动力系统基础的数学家。 3. 熟悉代数（群、环）但初次接触代数拓扑的读者。 通过对度量空间、拓扑空间、同伦、基本群以及奇异同调的系统性介绍，《拓扑学基础与应用》旨在培养读者对空间结构本质的深刻理解，是迈向现代几何和拓扑学研究的理想入门与进阶读物。

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我购买《Introduction to Linear Algebra》的初衷，是希望能够系统地学习这门被誉为“数学的语言”的学科。我期待这本书能够以一种严谨而又富有启发性的方式，引导我深入理解线性代数的核心概念。我希望书中对“矩阵”的讲解能够非常详尽，从其作为线性方程组系数矩阵的表示，到其作为线性变换的算子，再到其在数据分析中的应用。我期待作者能够详细阐述矩阵的各种运算，比如加法、减法、乘法、转置、求逆等，并辅以清晰的几何解释或实际应用案例。例如，矩阵乘法不应仅仅被视为数字的计算，而应被理解为一系列几何变换的复合。我还会非常关注书中关于“向量空间”和“子空间”的章节。我希望作者能够清晰地定义向量空间，强调其满足的线性运算性质，并提供多种多样的例子，包括但不限于多项式空间、函数空间等。我期待书中能够深入探讨“基底”和“维度”的概念，以及它们在描述向量空间的“自由度”方面的作用。我希望作者能够通过实例说明，如何找到一组基底，以及基底变换是如何影响向量的坐标表示的。此外，我希望书中能够详细介绍“线性方程组”的求解方法，比如高斯消元法、克拉默法则，并解释其背后的理论依据，特别是关于解的唯一性、无穷多解或无解的条件。

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我怀着一种相当矛盾的心情开始翻阅《Introduction to Linear Algebra》。一方面，我对线性代数这门学科的抽象性和应用潜力都充满了敬畏，另一方面，我也深知许多教材在初学者看来可能如同天书般晦涩难懂。这本书的开篇，我期待它能以一种非常“友善”的方式展开。或许可以从一些非常具象的例子入手，比如二维或三维空间中的点和向量，以及它们之间的加法和标量乘法。我希望作者能够用图像化的方式来辅助说明，比如通过矢量的箭头来展示其方向和大小，通过几何变换来直观理解矩阵的意义。例如，当谈到矩阵乘法时，如果能将它与一系列的几何变换（如旋转、缩放、剪切）联系起来，哪怕只是简单地描述，都会比直接给出公式来得更加生动有趣。同时，我希望书中能够强调线性代数的基本原理，比如叠加原理和线性无关的概念。这些概念是理解后续内容的基石，如果能从一开始就建立起清晰的认识，将事半功倍。我还会留意书中对“空间”的定义，如何从简单的向量集合扩展到抽象的向量空间，以及在这个空间中，基底、维度这些概念是如何被引入和定义的。我希望作者能够用一些生动的类比来解释这些抽象的概念，比如将向量空间比作一个可以进行各种“线性操作”的“画布”，而基底则是构成这块画布的最基本“颜色”或“单位”。如果书中还能在适当的地方穿插一些历史发展的小故事，介绍一些伟大数学家在这一领域的重要贡献，那无疑会增加阅读的趣味性，让我觉得这门学科的生命力。

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坦白说，我拿起《Introduction to Linear Algebra》时，内心是抱着一种“试试看”的心态。我之前对线性代数的了解非常有限，仅仅是模糊地知道它在数据科学、机器学习等领域有着举足轻重的地位。我希望这本书能够让我摆脱这种“雾里看花”的状态，真正理解它的核心思想。我特别关注书中对“矩阵”的讲解。我希望它不仅仅停留在数字的排列组合，而是能够清晰地阐述矩阵作为线性变换的表示、作为线性方程组的简洁表达方式，以及它在数据分析中的重要性。我期待书中能够详细地解释矩阵的各种运算，比如加法、减法、乘法、转置、逆矩阵等，并且在解释每种运算时，都附带其几何意义或者实际应用场景。例如，矩阵乘法不应该仅仅被看作是两个数字表的计算，而应该被理解为一种复合变换，将一个几何对象或一组数据转换到另一个状态。我还希望书中能够深入探讨“行列式”的概念，它不仅仅是一个计算的值，更是判断矩阵是否可逆、判断向量组是否线性相关的重要判据。我希望作者能够通过图示或者具体的例子来解释行列式的几何意义，比如在二维空间中，行列式的绝对值代表了由两个基向量张成的平行四边形的面积。同时，我也会仔细研究关于“特征值”和“特征向量”的部分，我知道这是理解线性系统稳定性和行为的关键。我希望书中能够用通俗易懂的方式来解释它们，比如将它们比作某种“不变方向”或者“尺度因子”，即使经过线性变换，这些方向上的向量也只是被拉伸或压缩，而不会改变其方向。

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我拿起《Introduction to Linear Algebra》这本书，带着一种希望能够深入理解数学的根本逻辑的心情。我期待它能够像一座桥梁，将我从初等的代数概念引向更高级的数学世界。我特别关注书中对“矩阵”的讲解。我希望它能够超越简单的数字运算，深入探讨矩阵的本质——作为线性变换的表示，以及它在解决实际问题中的重要性。我期待作者能够详细阐述矩阵的各种运算，比如加法、减法、乘法、转置、求逆等，并用直观的几何解释来辅佐理解。例如，矩阵乘法不应仅仅是枯燥的计算，而应被理解为几何变换的复合。我还会仔细研究关于“向量空间”的概念。我希望作者能够从更抽象的代数角度出发，清晰地定义向量空间，并强调其满足的公理。我期待书中能够通过各种例子来阐释向量空间的普遍性，例如，除了我们熟悉的几何向量，多项式、函数甚至矩阵本身都可以构成向量空间。我希望书中能够深入探讨“基底”和“维度”的概念，以及它们如何描述向量空间的“大小”和“自由度”。我期待作者能够用通俗易懂的语言解释，为什么不同的基底可以拥有相同的维度，以及基底变换是如何改变向量的坐标表示的。此外，我希望书中能够详细介绍“线性方程组”的解法，并解释其背后的理论，例如，矩阵的秩如何决定方程组解的存在性和唯一性。

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我对《Introduction to Linear Algebra》的阅读，很大程度上源于对数学严谨性和普适性的追求。我希望这本书能够提供一个坚实的理论基础，让我能够理解线性代数是如何贯穿于各个科学领域的。我期待书中对“向量空间”的定义能够清晰而全面，强调其作为代数结构的本质，以及它所满足的一系列公理。我希望作者能够通过生动的例子来阐释这些抽象的概念，例如，将向量空间比作一个可以进行“线性组合”和“标量乘法”的“游戏场”，而向量则是这个场上的“棋子”。我还会重点关注关于“线性变换”的讲解。我希望书中能够清晰地阐述，线性变换是如何将一个向量空间映射到另一个向量空间，以及矩阵是如何作为线性变换的一种简洁表示。我期待作者能够提供各种线性变换的几何解释，比如旋转、缩放、投影、剪切等，并用矩阵形式来表示它们。我还会仔细研究关于“行列式”的性质和计算。我希望作者能够深入解释行列式的几何意义，例如，它如何表示由一组向量张成的平行多面体的体积（或面积），以及它在判断矩阵可逆性和求解线性方程组中的作用。此外，我希望书中能够提供关于“向量范数”和“矩阵范数”的介绍，因为它们在衡量向量和矩阵的“大小”以及在分析算法的收敛性方面非常重要。

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我购买《Introduction to Linear Algebra》是希望它能为我打开一扇通往数据科学世界的大门，我了解到线性代数是许多算法的基石。因此，我尤其关注书中关于“矩阵”的讲解。我希望它能够超越教科书式的定义，深入剖析矩阵的本质及其在实际问题中的应用。我期待作者能够详细讲解矩阵的各种运算，并强调它们在解决实际问题中的作用。例如，矩阵乘法不应仅仅是一个计算过程，而应被理解为一种复合变换，能够将数据从一个空间映射到另一个空间。我希望书中能提供关于如何使用矩阵来表示线性系统，以及如何通过矩阵运算来求解这些系统（例如，使用高斯消元法、LU分解）的详细步骤和原理。我还会特别关注关于“向量空间”和“子空间”的章节。我希望作者能够清晰地解释，什么是向量空间，什么是子空间，以及它们之间的关系。我期待书中能够展示，如何通过基底来描述一个向量空间，以及子空间在数据降维、特征提取等方面的重要作用。我还会仔细研究关于“特征值”和“特征向量”的部分。我知道它们在主成分分析（PCA）等降维技术中扮演着核心角色。我希望作者能够用直观的方式解释特征值和特征向量的含义，例如，将它们比作在进行线性变换时，保持方向不变的向量以及相应的伸缩因子。

评分☆☆☆☆☆

我选择《Introduction to Linear Algebra》这本书，是希望它能以一种易于理解的方式，为我构建起对这门学科的完整认知。我尤其关注书中对“线性变换”的讲解。我希望它不仅仅停留在抽象的定义，而是能够通过生动的图示和具体的例子，帮助我直观地理解线性变换的几何意义。例如，我期待书中能够展示如何通过矩阵来表示旋转、缩放、剪切、投影等常见的线性变换，以及这些变换是如何作用于二维或三维空间中的向量和图形的。我还会仔细研究关于“行列式”的部分。我希望作者能够深入解释行列式的几何含义，例如，在二维空间中，它代表了由两个基向量构成的平行四边形的面积；在三维空间中，它代表了由三个基向量构成的平行六面体的体积。我希望书中能够清晰地说明，行列式的符号和绝对值分别代表了什么，以及它如何与线性变换的面积/体积缩放因子相关联。我还会特别关注关于“特征值”和“特征向量”的介绍。我知道这是理解线性系统行为的关键。我希望作者能够用一种易于理解的方式来解释它们，例如，将它们比作在进行线性变换时，保持其方向不变的特殊向量，以及描述了这种变换对这些向量的伸缩程度。如果书中能够提供一些关于如何计算特征值和特征向量的算法，并给出一些实际应用，那将是非常有价值的。

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这本书，我对它的初次印象，就像是在图书馆昏黄灯光下，偶然翻开一本尘封已久的古籍。封面设计简洁，正如书名《Introduction to Linear Algebra》所预示的那样，它承诺着一场通往线性代数世界的严谨而又迷人的旅程。我是一名对数学充满好奇心的学生，一直以来，线性代数这个概念在我脑海中总是笼罩着一层神秘的面纱，它似乎是现代科学和工程的基石，但具体如何运作，又显得那么难以捉摸。当我拿起这本书时，我期待的是一种循序渐进的引导，能够从最基本的概念入手，逐步揭示向量空间、矩阵运算、线性变换等核心思想的内在联系。我希望作者能够用清晰易懂的语言，避免过多的专业术语堆砌，或者至少能够为这些术语提供详尽的解释和直观的比喻。我尤其关注的是书中是否提供了足够的例子，这些例子最好能涵盖不同学科的应用场景，比如计算机图形学中的变换，经济学中的模型，或者是物理学中的系统描述。这不仅仅是为了巩固理论知识，更是为了让我能够真切地感受到线性代数在现实世界中的强大力量和广泛价值。我还希望书中的习题能够难度适中，既能检验我对概念的理解，又能激发我进一步思考和探索的兴趣。如果习题集能够提供详细的解答或者解题思路，那将是锦上添花，能够帮助我克服学习过程中的瓶颈，找到突破口。总而言之，我期待这本《Introduction to Linear Algebra》能够成为我理解和掌握线性代数这一重要数学分支的得力助手，引领我跨越最初的门槛，迈向更广阔的数学天地。

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我对于《Introduction to Linear Algebra》的期望，很大程度上是希望它能解决我过去学习过程中遇到的困惑。我曾经尝试阅读过一些关于线性代数的资料，但常常在理解“向量空间”这个概念时卡壳。我希望这本书能够提供一个更清晰、更具启发性的视角。例如，它是否能从更抽象的代数结构出发，逐步引入向量空间的定义，并强调其满足的公理？我希望书中能够详细解释“基底”和“维度”的概念，以及它们与坐标系之间的关系。我期待作者能够通过例子来说明，即使在高维空间中，我们仍然可以找到一组基底来表示其中的任何向量，而维度则反映了这个空间的“自由度”。我也会特别关注书中关于“线性变换”的讲解。我希望它能清晰地阐述，线性变换是如何作用于向量空间的，以及矩阵是如何充当线性变换的“代言人”的。我期待书中能够展示各种常见的线性变换，比如旋转、缩放、投影等，并用矩阵来表示它们。我还会仔细研究关于“齐次坐标”和“非齐次坐标”的讨论，我知道这在计算机图形学等领域非常重要。如果书中能够提供一些关于如何用矩阵来表示复杂变换（如平移）的技巧，那将是非常有价值的。此外，我希望书中能够深入探讨“秩”的概念，以及它如何反映矩阵所代表的线性变换的“有效性”或“维度”。

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拿到《Introduction to Linear Algebra》这本书，我首先关注的是它的结构和教学方法。我非常看重教材的逻辑清晰度和知识点的循序渐进性。我希望它能够从最基本的概念——比如向量的定义、向量的运算（加法、数乘）——开始，一步一步地构建起整个线性代数体系。我期待作者能够用丰富的图示和形象的比喻来解释这些概念，让它们不再是枯燥的符号组合。例如，在介绍向量空间时，我希望能看到一些二维或三维空间的几何表示，直观地展示向量的加法法则（平行四边形法则）和数乘效果。我还会仔细阅读关于“线性组合”、“张成空间”以及“线性无关”的章节。我希望作者能够通过具体的例子来阐释这些概念，例如，如何用一组向量来“张成”一个特定的空间，以及在什么条件下，一组向量是相互独立的，不能通过其他向量的线性组合来表示。我还期待书中能够详细介绍“基底”和“维度”的概念，并解释它们在描述向量空间时的重要性。我希望作者能够清楚地说明，为什么选择不同的基底会得到不同的坐标表示，但向量空间本身的维度是不变的。最后，我希望书中能够通过一些实际应用场景来印证这些理论，比如在求解线性方程组时，理解线性无关和张成空间的概念是如何帮助我们分析解的结构（唯一解、无穷多解、无解）。

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章节顺序比较乱，不宜学习

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章节顺序比较乱，不宜学习