Algebraic Theory of Numbers pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Pierre Samuel

出品人:

页数:112

译者:Silberger, Allan J.

出版时间:2008-5-19

价格:USD 10.95

装帧:

isbn号码:9780486466668

丛书系列:

图书标签:

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《代数数论的奠基者》 引言 本书将带领读者踏上一段深入探索代数数论核心概念的旅程。代数数论，作为数论与抽象代数交织的精妙领域，它研究的不再是普通的整数，而是那些“代数整数”，它们是整系数多项式的根。这个看似微小的概念转变，却打开了一个充满惊喜和深刻洞察的新世界。本书旨在为读者构建起一座坚实的知识桥梁，使其能够理解并掌握代数数论中的关键思想、方法及其在数学其他分支中的广泛应用。我们将从最基础的概念出发，逐步深入到更高级的定理和理论，力求语言清晰，逻辑严谨，使读者在掌握理论知识的同时，也能体会到代数数论的数学之美。 第一章：代数整数的引入 本章将为读者揭开代数数论的序幕，深入探讨“代数整数”这一核心概念。我们将首先回顾整数环 $mathbb{Z}$ 的基本性质，并在此基础上引入代数数的定义。代数数是指整系数多项式的根。而代数整数则是指以首项系数为 1 的整系数多项式的根。我们将通过具体的例子，如 $sqrt{2}$、$phi = frac{1+sqrt{5}}{2}$ 等，来加深对代数整数的直观理解。 接着，我们将证明代数整数构成一个环。这意味着代数整数的加法、减法和乘法运算的结果仍然是代数整数。这一性质至关重要，它使得我们可以将许多在整数环 $mathbb{Z}$ 中成功的代数工具推广到代数整数的领域。我们将详细证明这一环的结构，并探讨其基本性质。 此外，本章还会介绍一些重要的代数整数的例子，例如高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$ 和 $mathbb{Z}[omega]$（其中 $omega$ 是三次单位根）。这些例子不仅有助于理解抽象概念，也为后续章节的学习奠定了基础。我们将分析这些具体的代数整数环的结构，例如它们的单位元、可逆元等，并初步讨论它们的因数分解性质。 第二章：代数数域 在理解了代数整数的概念后，本章将进一步将视角拓展到“代数数域”。代数数域是指由一个代数数生成的、包含该代数数及其所有有理数组合的最小域。我们将介绍代数数域的定义，并讨论其基本性质，例如其维数，以及域扩张的次数。 我们将深入研究有限次域扩张 $K/F$ 的性质。对于一个有限次域扩张，我们将引入“迹” (trace) 和“范数” (norm) 两个重要的代数不变量。我们将定义这两个不变量，并证明它们在域扩张中的重要作用，例如通过它们可以判断域扩张是否为可分的。 本章的一个关键内容是介绍“判别式” (discriminant)。判别式是与域扩张相关的另一个重要不变量，它能够携带关于域扩张结构的信息。我们将给出判别式的定义，并通过具体例子展示其计算方法。我们将揭示判别式在判断域是否为正规扩张，以及在研究代数数域的结构时所扮演的重要角色。 第三章：代数整数环 本章将聚焦于代数数域 $K$ 的“代数整数环” $O_K$。代数整数环是 $K$ 中所有代数整数的集合，它同样构成一个环。我们将证明 $O_K$ 是一个代数整数环，并探讨其基本性质。 我们将引入“理想” (ideals) 的概念，并研究 $O_K$ 中的理想。理想是环论中的核心概念，它在代数数论中扮演着至关重要的角色。我们将定义左理想、右理想和双边理想，并侧重于研究 $O_K$ 中的理想。 本章的一个核心定理是“理想唯一分解定理”，它表明在许多情况下，代数整数环中的非零理想可以唯一地分解为素理想的乘积。我们将详细阐述这一定理的含义，并通过例子来展示其应用。这一定理是代数数论中最深刻和最有用的结果之一，它为研究代数数域的性质提供了强大的工具。 第四章：戴德金整环 本章将深入探讨“戴德金整环” (Dedekind domain)。戴德金整环是一类特殊的整环，其代数整数环 $O_K$ 通常就属于这一类。戴德金整环的性质使得理想唯一分解定理得以成立。我们将给出戴德金整环的严格定义，并证明其等价条件，例如其每个非零素理想都是极大理想，以及其所有非零理想都可逆。 我们将着重研究戴德金整环中的理想理论，包括理想的乘法、除法以及理想的逆。我们将证明，在戴德金整环中，每个非零理想都存在一个唯一的逆。这一性质是理想唯一分解定理得以成立的关键。 通过对戴德金整环的深入研究，读者将能够更深刻地理解代数整数环的结构，以及理想在其中所扮演的关键角色。本章将为理解更高级的代数数论理论打下坚实的基础。 第五章：类数 本章将引入代数数论中一个非常重要的概念——“类数” (class number)。类数刻画了代数整数环的“理想类群”的大小，它衡量了代数整数环在多少程度上偏离了主理想整环的性质。我们将定义理想类群，并证明类数是有限的。 我们将详细阐述类数的计算方法，并介绍一些具有特殊类数的代数数域。我们将探讨类数与代数数域其他性质之间的联系，例如与域的结构的关联。 类数的研究是代数数论中的一个活跃领域，它与许多重要的数学问题息息相关。本章将为读者提供理解和研究类数问题的基本框架。 第六章：二次域 本章将聚焦于一类特殊的代数数域——“二次域”。二次域是指形如 $K = mathbb{Q}(sqrt{d})$ 的域，其中 $d$ 是一个无平方因子的整数。我们将详细分析二次域的代数整数环，并计算其判别式和类数。 我们将研究二次域的单位群，并介绍“狄利克雷单位定理” (Dirichlet's Unit Theorem) 在二次域中的应用。该定理描述了代数整数环中的单位群的结构，它对于理解域的算术性质至关重要。 本章还将探讨二次域与数论中的一些著名问题之间的联系，例如平方剩余、二次互反律等。通过对二次域的深入分析，读者将能够看到代数数论的理论如何应用于解决具体的数论难题。 第七章：三次域与高次域（选讲） 本章将对三次域以及更高次的代数数域进行初步的探讨，作为对前面章节内容的拓展。我们将介绍三次域和高次域的代数整数环的构造方法，以及计算其判别式和类数的挑战。 本章将介绍一些研究高次域的方法和工具，例如“代数数域上的函数域”的概念，以及“ Zeta 函数”和“ L 函数”在代数数论中的初步应用。这些工具为研究更复杂的代数数域提供了强有力的武器。 本章将带有一定的选讲性质，旨在为有兴趣的读者提供进一步探索代数数论更广阔领域的方向和启示，展示代数数论理论的普适性和深刻性。 结论 通过本书的学习，读者将对代数数论的理论框架有一个清晰的认识，并掌握其核心概念和基本方法。代数数论不仅是数学领域中一个优美且深刻的分支，它还与数论、代数几何、代数拓扑等多个数学分支有着千丝万缕的联系。本书所介绍的知识将为读者进一步深入研究代数数论的更高级课题，以及理解这些课题在现代数学中的重要地位打下坚实的基础。代数数论的探索之旅充满了智慧的火花，希望本书能成为您在这段旅程中的忠实向导。

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这本书的章节划分逻辑性极强，完全体现了现代数学研究的组织方式。它不是按照历史发展顺序来讲述的，而是依据理论的内在联系来编排的。开头部分对基础概念的界定非常严格，尤其是在处理理想、范数和理想类群这些核心元素时，定义是如此精确，以至于后续所有推导都建立在一个坚不可摧的逻辑基础上。我发现，很多其他教材在处理局部化（localization）的概念时往往一带而过，但在这里，作者用了相当大的篇幅来剖析为什么我们需要从 $mathbb{Z}$ 转向 $mathbb{Z}_p$，以及这种转换对伽罗瓦理论的后续影响，讲解得细致入微，让我对 p-adic 世界的理解提升了一个层次。此外，书中穿插的注释和“附注”部分非常宝贵，它们通常会指向更高级的文献或者提供一个完全不同的视角来看待同一个问题，这为我后续的研究指明了方向。总而言之，它更像是一部工具书和参考手册的结合体，而不是一本轻松的入门读物。

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坦白说，这本书的习题设计是其最考验读者的部分。它们并非那种可以轻易通过套用公式就能解决的练习题，而是真正的“思考题”。很多题目需要读者自己去挖掘材料中未明确指出的联系，或者需要将不同章节的概念进行创造性的融合。我记得有道关于单位群结构的习题，初看起来只是一个简单的计算，但实际上需要读者综合运用狄利克雷单位定理以及域上的伽罗瓦群作用，逻辑链条非常长。完成这些习题的过程是痛苦但极其有益的，它强迫你真正掌握了理论的每一个角落，而不是仅仅停留在符号操作的层面。也正因为如此，这本书的阅读进度相对缓慢，我常常需要花上一整天的时间来彻底攻克一个看似不起眼的练习。对于那些希望通过习题来检验自己掌握程度的严肃学习者来说，这无疑是巨大的财富，但对于只想快速浏览一遍概念的读者，可能会感到压力山大，甚至有些望而却步。

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我最近在深入研究代数几何的一些基础概念，希望能找到一本能将数论中的代数工具梳理得清晰透彻的参考书。阅读这本书的体会，就好像跟随一位经验极其丰富的导师进行一对一的私人辅导。作者的叙述方式极其内敛而精准，他从不使用冗余的形容词或华丽的辞藻，每一个句子似乎都经过了最严格的逻辑筛选，直击核心。比如，在讨论环论在数论中的应用时，他会先给出必要的背景知识，然后以一种近乎建筑学的结构，层层递进地搭建起复杂的理论框架。我尤其欣赏他对“动机”的强调——他总是在介绍一个新概念之前，先阐明为什么我们需要这个概念，它解决了数论中的哪个具体难题。这种“为何如此”的引导，远比单纯罗列定理有效得多。当然，这本书的门槛确实不低，对于刚接触初等数论的读者来说，直接上手可能会感到吃力，它更适合那些已经对抽象代数有一定基础，并希望将这些工具系统地应用于数论前沿问题的读者。

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这本书的装帧设计相当经典，米白色的封面上印着深沉的墨绿色字体，给人一种沉稳、厚重的感觉，很有老派学术著作的风范。内页的纸张质地摸上去很舒服，不是那种廉价的亮面纸，而是略带哑光的触感，即便是长时间阅读也不会觉得眼睛疲劳。装订得也很扎实，线装的工艺保证了书本可以平摊在桌面上，这一点对于需要频繁查阅公式和定理的读者来说简直是福音。我记得上次翻阅到关于域扩张理论的部分时，那些复杂的符号排列得井井有条，间距适中，虽然内容本身已经足够烧脑，但至少排版上让人感到一丝舒适。印刷质量无可挑剔，油墨的覆盖度和清晰度都达到了很高的水准，没有任何模糊的边缘或者油墨渗出的痕迹。整体来看，出版社在实体书的制作上是下了真功夫的，它不仅仅是一本知识的载体，更像是一件值得收藏的艺术品，放在书架上，单是它的存在感就足以让人感受到数学的庄严与深邃。我非常欣赏这种对细节的坚持，毕竟在面对抽象的数学概念时，一个清晰、舒适的阅读体验能极大地降低读者的挫败感。

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与市面上那些侧重于解析数论的教材相比，这本书的视角明显更加“代数化”和“结构化”。它几乎完全摒弃了复分析和实分析的工具，而是坚持使用代数语言来阐述数论的深层结构，这与现代代数几何的哲学思想是高度一致的。阅读它，让人深刻体会到，数论的本质并非关于素数如何分布的“计数问题”，而是关于数域结构如何相互作用的“代数几何问题”。作者非常巧妙地将黎曼-洛赫定理（在代数曲线上的推广）的某种“先声”以初等代数的方式展现出来，尽管没有直接涉及代数曲线，但那种对上同调和维度的直觉已经被巧妙地植入到了对理想类群的讨论之中。这种高屋建瓴的视角，让我重新审视了费马大定理背后的代数根源。这本书对数论基础的“代数纯化”工作做得非常彻底，对于希望未来从事代数数论或朗兰兹纲领研究的人来说，这本书提供的思维训练是无可替代的。

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学长推荐的，尝尝鲜。 今天上课一个女生给了这书上关于class number的估计的报告，小张说这个作者是他导师的导师的导师。。。Besides，这个女生她爹是我本科学校毕业的还算有名的数学家。这个community真小。。。

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