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出版者:Thomson Brooks/Cole

作者:Earl Swokowski

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1995-08-09

价格:USD 109.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534949204

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 多元函数
• 数学分析
• 高等数学
• Calculus
• 多变量微积分
• 数学
• 理工科
• 工程数学
• 分析学

《多变量微积分》 本书旨在为读者提供一个深入理解多变量微积分核心概念的坚实基础。我们将从向量代数开始，这是理解多维空间中几何关系和运动的基础。读者将学习向量的加法、减法、标量乘法，以及点积和叉积的几何和代数意义。这些工具将为后续的分析奠定坚实的基础。 接着，我们将进入函数与极限的领域。多变量函数与单变量函数有着本质的区别，我们将详细探讨它们的定义域、值域、曲面表示法，以及在多维空间中理解极限和连续性的方法。我们将使用直观的几何解释和严谨的代数证明来阐述这些概念，帮助读者建立起对函数行为的深刻洞察。 导数是微积分的核心，在多变量微积分中，我们将引入偏导数和方向导数。偏导数允许我们观察函数在某个特定方向上的变化率，而方向导数则将这一概念推广到任意方向。我们将探讨梯度，这是指示函数增长最快方向的重要向量，并学习使用链式法则来处理复合函数。切平面和法向量的概念也将被深入讲解，它们在近似函数和分析局部性质方面至关重要。 积分是微积分的另一个重要支柱。本书将全面介绍重积分，包括二重积分和三重积分。我们将学习如何在不同坐标系（直角坐标系、极坐标系、柱坐标系和球坐标系）下计算重积分，并理解它们在计算面积、体积、质量等几何量和物理量中的应用。积分的顺序和变量替换将是重点讲解的内容，以帮助读者掌握求解复杂积分的技巧。 此外，我们还将探讨曲线积分和曲面积分。曲线积分允许我们沿着曲线对函数进行积分，这在计算功、质量分布等方面有重要应用。曲面积分则是在曲面上进行积分，用于计算流量、表面积等。我们将介绍线积分的两种形式：标量场和向量场的线积分。 为了更好地理解这些概念，我们将引入一些重要的定理。格林公式将二维平面上的线积分与闭合曲线所围区域的二重积分联系起来，为理解向量场的性质提供了强大的工具。散度定理（高斯公式）则将三维空间中的曲面积分与区域的体积积分联系起来，揭示了向量场在空间中的“源”和“汇”的行为。斯托克斯公式则将曲面上的线积分与曲面本身的环量联系起来，是理解向量场旋度的关键。 本书还包含对一些重要应用领域的探讨。我们将展示如何利用多变量微积分来解决优化问题，包括寻找函数的局部最大值和最小值，以及使用拉格朗日乘数法解决约束优化问题。流体力学、电磁学等领域的经典问题也将作为案例分析，展示多变量微积分在实际科学研究中的强大威力。 贯穿全书的，是对数学严谨性的追求。我们将提供清晰的定义、详尽的证明和丰富的例题，帮助读者不仅理解“如何做”，更能理解“为什么这样做”。本书力求通过直观的几何解释和严谨的数学推导相结合的方式，让多变量微积分的学习过程既富有挑战性，又充满乐趣。读者通过学习本书，将能够独立分析和解决涉及多变量函数的各种数学和物理问题，为进一步学习更高级的数学和科学知识打下坚实的基础。

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我第一次接触这本教材是在一个研讨会上，当时的主讲人极力推荐其对拓扑学基础的严谨阐述。事实证明，它的理论基础构建是极其扎实且富有逻辑性的。作者似乎非常清楚学习者在跨越多元微积分这个门槛时会遇到的思维障碍，因此在引入如高维空间、多重积分和向量场理论时，都采用了循序渐进、步步为营的讲解方式。特别是对于斯托克斯定理（Stokes' Theorem）的讲解，作者没有仅仅停留在公式的罗列上，而是结合了大量的几何直觉和物理意义的类比，使得这个常常被认为是“黑魔法”的定理变得可感、可触。对于那些习惯于从物理应用反推数学原理的学生来说，这种深度和广度的平衡，简直是教科书级别的典范。它不像有些教材那样，将复杂的概念包裹在过于抽象的语言之下，而是努力去“对话”读者，试图消除知识的隔阂。

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从教学法的角度来看，这本书展现出一种对教学历史的深刻反思。作者在某些关键概念的引入上，采取了类似“历史发展”的叙事方式，先展示了旧有理论的局限性，然后自然而然地引出新理论的必要性和优势。这种叙事结构，极大地增强了学习的内在驱动力——我们为什么要学习这个？它解决了什么问题？这一点在讨论梯度、散度和旋度在三维空间中的应用时尤为明显。它不仅教授了如何计算这些场量，更深入地探讨了它们在流体力学和电磁学中的直观物理意义，使得原本抽象的微分算子鲜活了起来。对于希望未来从事理论研究或者工程应用的读者而言，这种对“为什么”的深度挖掘，比单纯的“怎么做”要宝贵得多，因为它奠定了深厚的学术素养。

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这本书的装帧设计非常吸引人，封面采用了一种深邃的蓝色调，配以简洁的白色字体，散发出一种古典而又不失现代感的专业气息。拿到手里就能感受到它厚重的分量，这无疑预示着内容的深度和广度。内页的纸张质量也十分上乘，触感光滑细腻，印刷清晰，即便是长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。整体看来，这本书的物理形态本身就是一种对知识的尊重和致敬，让人在翻阅之前就充满了期待。作者在排版上也下足了功夫，图文并茂的布局使得复杂的数学概念不至于显得过于枯燥，每一个定理和推导过程都得到了充分的留白和清晰的展示。这对于需要反复研读和对照参考的学习者来说，无疑是一个巨大的加分项。我特别欣赏它在章节开篇部分对本章核心思想的概括，这种设计极大地帮助读者快速建立起对新知识模块的整体认知框架，避免了陷入细节而迷失方向。

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坦白说，这本书的篇幅令人望而生畏，内容密度极高，初次接触时确实需要极大的毅力和时间投入。它并非一本可以轻松浏览的“速成”读物，而是需要沉下心来，配合笔记本和草稿纸反复推敲的严肃学术工具书。我发现，如果跳过任何一个中间的推导步骤，后续的理解就会变得异常吃力，这恰恰证明了其逻辑链条的严密性。它要求读者对实数分析的基础有扎实的了解，否则在某些关于收敛性和连续性的论证部分可能会感到吃力。但正是这种毫不妥协的严谨性，保证了学习者最终构建起来的知识体系是坚不可摧的。对于希望为研究生阶段学习打下坚实基础的人来说，这本书提供了一个几乎无可替代的、高质量的平台，但需要有足够的学习热情和时间投入作为支撑。

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这本书的习题设计是其最让我称道的部分，它完美地平衡了基础巩固与思维挑战。初期的练习题设计得非常贴合课堂讲解的每一个知识点，旨在帮助读者将新学的工具炉火纯青地运用起来，确保基础的运算能力得到充分的训练。然而，随着章节的深入，题目的难度曲线爬升得恰到好处，开始出现那些需要真正“动脑筋”的证明题和应用题。这些难题往往要求读者综合运用前几章甚至更早期章节的知识点进行跨域思考，极大地提升了解决复杂问题的能力。我尤其喜欢那些被标记为“挑战性”的题目，它们不仅仅是计算量的堆砌，而是对理论理解深度的终极考验。完成这些题目后，那种豁然开朗的感觉，远胜于仅仅记住了一个公式。这本书的价值，很大程度上体现在它迫使你离开舒适区，真正去掌握数学的精髓。

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