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出版者:Society for Industrial and Applied Mathematics

作者:J. M. Ortega

出品人:

页数:598

译者:

出版时间:1987-1-1

价格:GBP 84.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780898714616

丛书系列:Classics in Applied Mathematics

图书标签:

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深入解析非线性方程组的数值求解与优化 本书旨在为读者提供一个关于求解多变量非线性方程组的全面且深入的理论与实践指南。我们聚焦于如何系统地、高效地处理那些在工程、物理、经济等多个领域广泛存在的复杂数学模型。全书结构严谨，从基础概念的建立到前沿算法的精细剖析，力求使不同背景的读者都能扎实掌握求解非线性问题的核心技术。 第一部分：基础理论与预备知识 本部分首先回顾了函数空间、范数、收敛性等必要的数学分析工具，为后续的数值方法奠定坚实的理论基础。我们详细阐述了非线性方程组的定义、存在性与唯一性问题的基本分析框架。特别地，我们引入了光滑函数、利普希茨连续性以及雅可比矩阵的概念，并深入探讨了这些性质如何影响数值方法的稳定性和收敛速度。 一个关键的章节是关于局部与全局收敛性的区分。我们分析了为什么在实际应用中，找到一个初始点附近的“好解”至关重要，并引入了拓扑度理论（Brouwer Fixed Point Theorem 的扩展应用）来证明解的存在性，尽管这通常不直接用于算法设计，但它为理解问题的内在结构提供了深刻的见解。 第二部分：经典迭代方法与收敛性分析 本部分是全书的核心，系统地介绍了求解 $F(mathbf{x}) = mathbf{0}$ 的一系列经典迭代算法。 1. 序贯逼近法（Fixed-Point Iteration）： 作为最基础的方法，我们首先分析了其局限性，即对初始点的高度敏感性。我们给出了映射收敛的充分必要条件，并通过实例说明了如何通过函数变换（如松弛因子或特定形式的重构）来改善收敛性能。 2. 牛顿法及其变种： 牛顿法因其超线性收敛速度而成为基石。我们详细推导了多变量情况下的牛顿迭代公式，并着重分析了其主要瓶颈：精确求解线性系统 $J(mathbf{x}_k) Delta mathbf{x}_k = -F(mathbf{x}_k)$ 的计算成本和雅可比矩阵 $J$ 奇异或接近奇异时的不稳定性。 为应对这些挑战，我们引入了牛顿法的关键改进： 线搜索（Line Search）技术： 探讨了 Armijo 条件、曲率条件（Wolfe 条件）的精确含义及其在保证下降方向上的作用。我们比较了精确线搜索与近似线搜索的效率权衡。 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）： 重点介绍了 BFGS 和 DFP 公式。我们详细展示了如何通过秩一或秩二更新来近似雅可比矩阵的逆（或其本身），从而避免每次迭代都进行昂贵的矩阵求逆或分解。收敛性分析将集中在 $mathbf{H}_k$ 矩阵的正定性保持和超线性收敛的证明上。 信赖域法（Trust-Region Methods）： 这是一种截然不同的策略，它在当前点附近定义一个信任域，并在该区域内利用二次模型来寻找最优下降步。我们探讨了如何动态调整信任域的大小，以及如何处理模型解超出信任域边界的情况，特别是当雅可比矩阵近似不佳时。 第三部分：处理病态问题与大规模系统的策略 当问题规模增大或矩阵条件数极高时，传统的直接迭代法往往失效。本部分致力于解决这些“硬骨头”问题。 1. 欠定与超定系统： 我们区分了非线性最小二乘问题（$min ||F(mathbf{x})||_2^2$）与纯粹的方程求解问题。对于最小二乘，我们详细介绍了高斯-牛顿法和列文伯格-马夸特（Levenberg-Marquardt, L-M）算法。L-M 法作为牛顿法和最速下降法的有效结合，通过引入阻尼参数 $lambda$，实现了从梯度下降到牛顿法的平滑过渡，是解决病态最小二乘问题的黄金标准。 2. 预处理技术（Preconditioning）： 针对大规模稀疏系统，我们强调了预处理器的重要性。我们讨论了代数预处理方法，如不完全LU分解（ILU）和共轭梯度法（CG）的推广，以及它们如何改善线性系统求解器的性能，进而加速非线性迭代的收敛。 3. 稀疏性与并行化： 对于具有特定结构（如网格离散化得到的方程）的大型系统，我们探讨了如何利用矩阵的稀疏性结构来优化内存布局和计算流程，以及如何将迭代过程（如雅可比矩阵的计算和线性系统的求解）映射到多核或分布式计算环境中，以提高求解效率。 第四部分：全局收敛性与鲁棒性 高效率固然重要，但鲁棒性（即对不良初始猜测的容忍度）更为关键。 1. 全局化策略： 我们深入研究了如何将局部收敛的算法（如牛顿法）转化为具有全局收敛保证的方法。这主要通过罚函数（Penalty Functions）或增广拉格朗日法（Augmented Lagrangian Methods）实现。我们详细比较了精确罚函数和平方罚函数的优缺点，并展示了增广拉格朗日法如何在保持良好数值特性的同时，有效处理等式约束。 2. 避免奇异性： 讨论了如何使用方法来“平滑”雅可比矩阵，例如使用 Levenberg-Marquardt 中的阻尼项，或使用 Krylov 子空间方法时，选择合适的子空间投影，以确保每一步迭代都向解的方向移动，即使在接近奇异点时也是如此。 3. 域约束问题： 针对变量存在上下界限制的情况（如 $mathbf{a} le mathbf{x} le mathbf{b}$），我们介绍了处理约束问题的有效方法，如投影梯度法、或将约束转化为无约束问题的思想（如使用对数势能函数）。 全书通过大量的计算实例、伪代码以及对算法复杂度的严格分析，构建了一个从理论到实践的完整知识体系。它不仅是数值分析研究者的重要参考，也是需要利用数值方法解决实际工程问题的工程师和应用数学家的宝贵资源。

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《Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables》这本著作，单看书名就足以点燃我对数值分析领域的热情。在我过往的学术生涯中，求解非线性方程组一直是反复出现且极具挑战性的课题，而迭代方法因其普适性和高效性，更是我解决问题的首选。我非常好奇这本书会如何构架其内容，是按照方法的复杂程度，还是按照其应用场景来组织。我特别期待书中能够详细介绍诸如牛顿法及其变种（如阻尼牛顿法、信赖域方法）、拟牛顿法（如BFGS、DFP、Broyden方法）等经典而重要的迭代算法，并且能够对它们的数学原理、收敛性条件以及实际计算中的优缺点进行深入剖析。对我而言，理解这些算法的收敛速度，以及如何通过调整算法参数或采用预条件技术来提升效率，是至关重要的。从实践的角度，我希望能看到书中提供一些关于如何高效实现这些算法的建议，例如如何精确或近似地计算雅可比矩阵，如何处理大型稀疏矩阵的运算，以及如何进行数值稳定性分析。如果书中能够包含一些生动的案例研究，展示这些方法在科学研究或工程应用中的实际效果，那将是对理论知识最好的补充和升华。

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《Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables》这个书名，让我立刻想到了我在解决许多复杂的科学与工程问题时，经常需要面对的核心挑战——求解多变量非线性方程组。而迭代方法，无疑是应对这一挑战的最为关键的工具之一。我非常期待这本书能够提供一个清晰、有条理的框架，系统地介绍各种重要的迭代求解方法。我特别希望能深入了解牛顿法及其衍生的各类方法，如信赖域方法、阻尼牛顿法，以及拟牛顿法（例如BFGS、DFP）的工作原理和数学基础。我同样非常关注书中关于这些方法收敛性条件的详尽分析，以及如何评估和比较它们的性能。从实践的角度，我期待这本书能够提供一些关于如何选择最适合特定问题的算法的指导，以及在实际应用中可能遇到的常见问题及其解决方案。例如，如何处理方程组的规模、函数的平滑性、导数的可用性等因素的影响。如果书中能包含一些关于如何有效地实现这些算法，例如在计算效率和数值稳定性方面的优化策略，那将对我解决科研和工程实际问题大有裨益。

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当我看到《Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables》这个书名时，我立刻联想到我在研究生阶段无数个夜晚，在图书馆里翻阅各种文献，试图理解和掌握求解非线性方程组的各种迭代方法的场景。这本书的出现，仿佛是为我量身打造的“救星”。我非常期待它能够提供一个系统、全面的视角，深入讲解各种迭代算法的核心思想和数学原理。例如，我希望能深入理解牛顿法及其各种变种（如信赖域方法、阻尼牛顿法）的数学推导过程，以及它们在收敛速度和鲁棒性方面的不同表现。同时，我也非常希望书中能够详细介绍拟牛顿法，特别是BFGS、DFP等方法的构造和收敛性分析。从实际应用的角度，我更看重书中关于如何选择最适合特定问题的迭代方法，以及如何在实际计算中规避潜在的数值问题，如病态方程组、局部极值等。如果书中能提供关于如何优化算法实现，例如高效计算雅可比矩阵的近似、利用稀疏性、或者并行计算的策略，那将极大地提升这本书的实用价值，帮助我解决我目前在科研工作中遇到的实际计算难题。

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这本书的标题《Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables》直击我的研究重点。在我的学术生涯中，我投入了大量精力研究非线性方程组的求解问题，而迭代方法一直是我的主要攻克方向。我非常希望这本书能成为一本集大成之作，系统地梳理和阐述各种重要的迭代算法。我迫切希望能够深入理解诸如牛顿法及其各种变种（如信赖域方法、阻尼牛顿法）、拟牛顿法（如BFGS、DFP）、以及可能涉及的一些全局优化方法在求解非线性方程组中的应用。我尤其看重书中关于这些算法的收敛性分析，包括局部和全局收敛的条件，以及它们之间的收敛速度比较。从实际操作的角度，我希望能从书中获得关于如何根据具体问题的特性（如规模、稀疏性、导数的计算复杂度等）来选择最有效的算法的指导，以及如何在数值计算中提高算法的鲁棒性和效率。如果书中能提供一些关于如何利用并行计算来加速迭代过程的探讨，那将对我解决大规模科学计算问题具有极大的价值。我对这本书寄予厚望，希望能它能为我带来新的启发和强大的工具。

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《Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables》这个标题，毫不夸张地说，触及了我专业领域的核心。在我的研究工作中，几乎无时无刻不在与非线性方程组打交道，而迭代求解方法是我最常依赖的工具集。我非常渴望这本书能为我提供一个全面而深入的视角，去理解这些方法的精髓。我期待它能详细阐述不同迭代方法的数学原理，例如，从最基本的不动点迭代，到更为强大的牛顿法及其各种改进，如量子牛顿法、阻尼牛顿法、信赖域方法等。同时，我也非常关注书中对于这些方法收敛性的严格分析，包括局部收敛、全局收敛的条件，以及各种收敛速度的比较。我尤其看重书中关于如何构建高效、鲁棒的算法实现方面的指导，这包括如何有效地近似计算雅可比矩阵（如有限差分法、Broyden类方法），如何处理矩阵求逆或分解的计算瓶颈，以及如何在数值计算中保证稳定性。如果书中能提供一些关于处理大型稀疏方程组的专门技术，或者关于并行计算在加速迭代求解中的应用，那将对我解决实际工程问题具有极大的价值。我对这本书充满了期待，希望能它能为我提供新的思路和强大的工具。

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作为一名长期在数值计算领域摸爬滚打的研究人员，《Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables》这个书名，如同灯塔般指引着我。我一直致力于深入理解和掌握求解多变量非线性方程组的各类迭代方法。我非常期待这本书能系统地梳理从经典到前沿的迭代算法，例如，从牛顿法的基本原理出发，深入探讨其收敛性，然后逐步介绍如拟牛顿法（BFGS、DFP、Broyden系列）、信赖域方法、共轭梯度法在非线性方程组求解中的应用。我希望书中不仅能涵盖这些方法的理论框架，还能提供关于如何选择合适方法、如何分析和改进其性能的实用建议。例如，关于如何处理目标函数可能不光滑或导数难以获取的情况，以及如何通过预条件技术来加速收敛或改善病态方程组的求解效果。书中关于收敛性分析的部分，我期待能有严谨的数学推导和清晰的解释，让我能够理解不同方法的优势和局限性。此外，若书中能包含一些关于如何进行算法的数值稳定性分析，以及如何在实际编程中优化算法效率的技巧，例如利用稀疏矩阵技术或并行计算，那将极大地提升这本书的实用价值，帮助我更有效地解决我所面临的实际计算挑战。

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这本书的标题《Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables》立刻吸引了我，我一直对数值分析领域，特别是求解多变量非线性方程组的迭代方法有着浓厚的兴趣。在我多年的学术研究和工程实践中，经常会遇到需要精确求解这类方程组的场合，无论是物理建模、工程仿真还是优化问题，都离不开对这些方法的深入理解和有效运用。这本书的出现，就像是为我量身打造的一份宝贵资料。我尤其期待它能够系统地梳理不同迭代方法的原理、优缺点、收敛性分析以及在实际问题中的适用性。我希望书中能包含一些经典的算法，比如牛顿法及其改进型，也期待它能介绍一些更现代、更高效的算法，例如拟牛顿法、信赖域方法、或者一些基于张量或矩阵分解的方法。更重要的是，我希望这本书能够提供丰富的理论推导和严谨的数学证明，让我能够从根本上理解这些方法的内在机制，而不仅仅是停留在应用层面。同时，对于实际操作而言，能够看到书中包含清晰的算法伪代码，甚至是不同编程语言的实现示例，将会极大地提升这本书的实用价值，让我能够快速地将学到的知识应用到我的实际工作中，解决我面临的实际问题。我对这本书的期望非常高，希望能它能够成为我在这一领域的必备参考书。

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这本书的题目《Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables》一出现，就立刻勾起了我内心深处对数值方法的热情。在我的学习和研究过程中，我曾多次遇到需要求解复杂非线性方程组的挑战，无论是理论推导还是实际应用，都离不开对迭代求解方法的深入理解。我特别希望这本书能够提供一个清晰的框架，将各种迭代方法进行系统性的梳理和归类。我期待书中能够详细介绍包括Newton-Raphson方法及其各种变种，如信赖域方法、阻尼Newton法等，以及拟牛顿法（如Broyden系列、DFP、BFGS）的工作原理和优劣分析。我希望书中不仅能讲解这些方法的理论基础，还能深入探讨它们的收敛性，包括对初始猜测的依赖性、收敛速度以及如何处理局部极值或鞍点的问题。从实际操作的角度来看，我非常希望书中能够包含一些关于如何有效地实现这些算法的指导，例如如何计算雅可比矩阵（或其近似），如何处理数值稳定性问题，以及如何选择合适的步长。如果书中能提供一些实际问题的案例研究，比如在物理学、工程学、生物学或经济学领域中的应用，并将这些方法与具体问题相结合进行讲解，那将对我极具启发性。我对这本书寄予厚望，希望能它能成为我解决实际计算问题的得力助手。

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《Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables》这个标题，精准地命中了我的学术兴趣点。在我的研究方向中，非线性方程组的求解是绕不开的关键环节，而迭代方法因其灵活性和在处理大规模、高维度问题时的优势，更是我日常工作中的重要工具。我非常期待这本书能够深入剖析各种迭代算法的数学基础，包括但不限于线性化技术、不动点迭代、牛顿类方法、拟牛顿法（如BFGS、DFP），以及一些更先进的全局优化算法在求解非线性方程组中的应用。我尤为关注书中关于这些算法的收敛性分析，特别是对不同类型的收敛（如线性收敛、超线性收敛、二次收敛）的细致讨论，以及如何通过调整算法参数或采用预条件技术来改善收敛性能。此外，我非常希望这本书能够提供一些关于如何评估和比较不同迭代方法的性能的准则，以及在实际应用中如何根据问题的特性（如函数的平滑性、导数的计算难度、方程组的大小等）来选择最有效的方法。书中能够包含一些关于如何构建高效的算法实现，例如利用稀疏矩阵技术、并行计算等，将会是锦上添花。我对这本书能为我打开新的研究思路，提供更强大的计算工具充满期待。

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读到《Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables》这个书名，我的脑海中立刻浮现出许多在研究生阶段曾经让我头疼的数学问题，以及那些在工程实践中反复出现的计算难题。求解多变量非线性方程组，看似是一个基础的数学问题，但其背后蕴含的复杂性和挑战性，往往超出初学者的想象。我曾几何时，为了找到一个精确的解，不得不花费大量的时间去查阅各种期刊文献，尝试不同的数值方法，并且经常因为收敛性问题或者计算效率问题而一筹莫展。因此，一本能够系统、深入地讲解这一主题的书籍，对我来说具有极大的吸引力。我非常好奇这本书会如何组织内容，是按照方法的历史发展顺序来介绍，还是按照其数学性质或者应用场景来分类。我特别希望这本书能够提供一些关于如何选择最适合特定问题的迭代方法的指导，以及在实际应用中可能遇到的陷阱和规避策略。例如，如何处理病态方程组，如何提高收敛速度，以及如何设计鲁棒性强的算法。书中关于收敛性条件的详尽分析，包括局部收敛、全局收敛以及收敛阶的讨论，对我来说是至关重要的，这将帮助我更好地理解算法的性能和局限性。我期待这本书能够提供一些深入的案例分析，展示这些方法在诸如化学反应动力学、流体力学、或者经济建模等领域的实际应用，从而为我提供更直观的理解和启发。

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