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出版者:上海科学技术出版社

作者:朱弘毅

出品人:

页数:207 页

译者:

出版时间:2002年01月

价格:7.3

装帧:平装

isbn号码:9787532363490

丛书系列:

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• 积分

现代微积分与数学分析导论 作者： [此处可填写真实作者姓名或虚构的权威作者名] 出版社： [此处可填写真实出版社或信誉良好的学术出版社] 装帧： 精装/平装 (请根据实际情况选择) 页数： 约850页 (此为预估，具体请参照实际情况) 定价： 128.00元 (此为示例价格) --- 内容简介： 《现代微积分与数学分析导论》是一部全面、深入且结构严谨的数学专著，旨在为理工科、经济学及理论科学专业的学生和研究人员提供坚实的微积分基础，并自然过渡到更高级的数学分析领域。本书的撰写遵循“从直觉到严谨”的教学理念，力求在保持数学概念的清晰性和直观性的同时，严格论证支撑整个微积分体系的逻辑基础。 全书共分为五大部分，涵盖了从一元函数微积分到多元微积分、级数理论以及初步的度量空间概念。不同于传统的、侧重于公式推导的教材，本书将重点放在概念的理解、定理的证明以及数学思想的培养上。 第一部分：基础与极限——严谨性的基石 (约150页) 本部分着重于构建分析学所必需的严密性框架。 1. 实数系统与序关系： 本书首先从集合论的基本概念出发，详细阐述了实数的构造（如通过有理数的完备性构造），重点讨论了上确界原理（或称确界原理），这是后续所有极限和连续性理论的逻辑起点。同时，对区间、邻域以及$epsilon-delta$语言进行详尽的介绍和大量的练习，确保读者能够熟练运用这种严格的数学表达方式。 2. 序列的极限： 深入分析数列的收敛与发散。不仅讲解了柯西准则、单调收敛定理，更引入了聚点定理（Bolzano-Weierstrass Theorem）的严谨证明，这为理解函数的紧凑性概念埋下伏笔。对发散序列的处理也细致入微，例如无穷大和振荡序列的判别法。 3. 函数的极限与连续性： 将极限的概念从数列推广到函数。详细区分了函数在某点左极限、右极限以及双侧极限的意义。连续性的定义采用$epsilon-delta$语言，并系统推导了连续函数的性质，如介值定理（Intermediate Value Theorem）和最值定理（Extreme Value Theorem）的严格证明。特别讨论了一致连续性的概念及其重要性，并将其与开/闭区间的性质联系起来。 第二部分：微分学——变化率的精确描述 (约220页) 本部分将微分的概念应用于单变量函数，并强调其几何意义和物理背景。 1. 导数的定义与基本运算： 导数的定义（极限的定义）是本章的核心。详细讲解了求导的四则运算法则、链式法则。更重要的是，本章引入了费马定理（Fermat's Theorem）和罗尔定理（Rolle's Theorem）的精确叙述与证明。 2. 中值定理的深度应用： 均值定理（Mean Value Theorem, MVT）被视为微积分中的“牛顿定律”。本书不仅用它来解释导数的正负性与函数单调性的关系，还用其证明了洛必达法则（L'Hôpital's Rule）的严谨形式，并讨论了该法则的适用条件和滥用的陷阱。 3. 泰勒级数与函数逼近： 导数的应用延伸至高阶导数。详细阐述了泰勒定理（Taylor's Theorem），并重点分析了不同形式的余项（如拉格朗日余项和柯西余项）的性质。这部分内容为数值分析和级数展开打下了坚实的基础。同时，用导数理论来分析函数极值、凹凸性以及拐点的判定。 第三部分：积分学——累积与面积的量化 (约230页) 本部分是理解微积分基本定理的关键。 1. 黎曼可积性： 本书采用对闭区间上界黎曼和与下黎曼和的逼近来定义定积分。系统地探讨了可积的充分条件，如连续函数和单调函数的可积性。对不满足黎曼可积的函数（如狄利克雷函数）的构造和分析，加深了对积分定义的理解。 2. 微积分基本定理的证明： 微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus, FTC）被视为连接微分与积分的桥梁。本书提供FTC第一部分和第二部分的完整、严谨的证明，并讨论了在何种条件下（如单调性、连续性）这些定理成立。 3. 不定积分与积分技巧： 在确保了定积分的严谨性后，本章回归到不定积分的计算技巧，包括换元积分法、分部积分法，并对有理函数、三角函数的积分进行了系统梳理。 4. 广义积分： 将黎曼积分的概念推广到含有无穷区间的积分（第一类广义积分）和含有奇点的积分（第二类广义积分），并给出了收敛性的判别准则，例如比较判别法和极限比较判别法。 第四部分：序列与级数——无限求和的艺术 (约180页) 本部分将一元分析推广到无限项的和，是数学分析的核心内容之一。 1. 数项级数： 系统介绍常数项级数的收敛性判别法，包括比值检验、根值检验、积分判别法。重点讨论了绝对收敛和条件收敛的区别，并提供了黎曼级数重排定理（Reimann Rearrangement Theorem）的精要阐述，揭示了条件收敛的微妙性。 2. 函数项级数与一致收敛性： 从函数项序列过渡到函数项级数。一致收敛性是本章的焦点，它决定了是否可以进行极限与积分、极限与求导的交换。本书详细讲解了魏尔斯特拉斯 M-检验法，并证明了：若函数序列一致收敛于一个连续函数，则极限函数也是连续的。 3. 幂级数与泰勒级数： 幂级数的收敛半径和收敛区间的确定是关键技术。本书详细讨论了如何利用导数和积分运算在幂级数内部进行操作，并探讨了函数的解析表示——如何利用泰勒级数展开常见函数（如$ln(1+x)$, $e^x$）并在其收敛区间内进行有效的近似计算。 第五部分：初步的多变量微积分与拓扑基础 (约100页) 本部分为读者进入多元微积分乃至更深层次的拓扑学做好准备。 1. 多元函数与偏导数： 向量空间 $mathbb{R}^n$ 的基本结构和范数概念。函数的偏导数、梯度、方向导数的定义。重点是全微分的概念，它比偏导数更能刻画函数在某点附近的线性逼近能力。 2. 链式法则与隐函数定理（预备）： 多元函数的链式法则的复杂形式将被清晰地梳理。本章最后将引入反函数定理和隐函数定理的严格表述，尽管这些定理的完整证明可能留待后续课程，但其在几何意义上的重要性会被充分强调。 3. 度量空间的初步接触： 为了理解一致收敛性在更高维度上的泛化，本书在结尾处引入了度量空间的基本概念——距离的定义、开集、闭集以及紧致性的基本思想，为后续学习拓扑学和泛函分析奠定直观基础。 --- 本书特色： 严谨的证明体系： 所有核心定理均提供完整的、可追溯的逻辑推导，杜绝“望文生义”式的学习。 强调概念的几何与物理意义： 避免将数学知识简化为运算技巧，注重培养分析思维。 丰富的例题与习题： 包含大量的标准计算题、概念验证题和具有挑战性的证明题，旨在巩固和深化理解。 与现代数学接轨： 从一开始就引入必要的集合论和拓扑预备知识，使读者能平顺地衔接到更先进的课程。 《现代微积分与数学分析导论》是追求数学深度和严谨性的学习者不可或缺的工具书和案头参考书。

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坦白说，《高等数学（中册）》这本书的挑战性确实不小，但正是这种挑战，让它成为我学习道路上不可或缺的伙伴。这本书的语言风格比较严谨，有时候会显得有些“硬核”，需要读者具备一定的基础才能更好地理解。我第一次翻开它的时候，就被里面大量的符号和公式弄得有些头晕目眩，感觉自己像是在读一本天书。但是，当我坚持下来，每天抽出固定的时间来钻研，并且配合着老师的讲解和课后的练习，我逐渐发现，那些曾经让我望而却步的符号和公式，其实都蕴含着严密的逻辑和深刻的数学思想。这本书最大的好处在于，它不会为了让你“容易理解”而牺牲掉数学的严谨性，它鼓励你去独立思考，去探究每一个细节。我记得有一次，我卡在一个关于曲面积分的题目上，怎么都想不明白，最后翻了好多遍书，结合着前面的定义和定理，才恍然大悟。那种“拨云见日”的感觉，是任何一个“轻松学习”的书籍都无法给予的。它教会我的不仅仅是数学知识，更是一种解决问题的能力和坚持不懈的精神。

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这本《高等数学（中册）》真的是一本让我又爱又恨的经典教材。从我的角度来说，它的优点和缺点都非常鲜明，让人很难忽视。首先，最让我印象深刻的是它内容之扎实，知识点讲解得深入透彻，对于每一个公式的推导都力求严谨，仿佛要将读者一步步带入数学的深邃殿堂。当你花费数小时终于啃下一两个复杂概念，并能独立完成相关习题时，那种成就感是无与伦比的。它不会给你“走捷径”的错觉，而是让你明白，要真正掌握高等数学，就必须付出汗水和时间。书中的例题虽然不多，但每一个都经过精心挑选，能够完美地诠释所讲知识点，并且难度适中，既能巩固基础，又能为解决更复杂的问题打下基础。我尤其喜欢它在引入新概念时，会先给出清晰的定义和性质，然后再通过具体的例子进行说明，这种循序渐进的方式对于我这种需要反复理解才能吸收的读者来说，简直是福音。而且，它的章节安排也比较合理，从微分方程到多重积分，再到向量分析，逻辑链条清晰，一步步构建起完整的知识体系。

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拿到《高等数学（中册）》这本书的时候，我原本是抱着一种“挑战自我”的心态。这本书的内容确实相当有分量，每一页都充满了严谨的数学语言和复杂的公式推导。我尤其欣赏它在处理一些抽象概念时，所采用的几何直观解释。虽然有时候文字描述会显得比较抽象，但书中穿插的图示和示意图，能够极大地帮助我理解那些难以捉摸的几何意义。例如，在讲解多重积分的变换时，它通过一系列的图形变化，让我对雅可比行列式的几何意义有了更深刻的认识。这对于我这种视觉型学习者来说，简直是救星。另外，这本书的习题设计也很有特色，它不仅仅是简单的计算题，更多的是一些需要分析和推理的题目，能够有效地考察对知识点的理解程度。虽然有时候完成这些习题需要花费很多时间和精力，但每当我成功解决一个难题时，那种成就感都是巨大的。它让我明白，数学学习从来不是一蹴而就的，而是需要不断地实践和反思。

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对于我这样一个对数学充满敬畏的初学者来说，《高等数学（中册）》这本书无疑是一本“大神器”。它的内容深度和广度都让人惊叹，几乎涵盖了所有核心的高等数学主题。我非常喜欢它在讲解每一个知识点之前，都会有一个简短但精炼的引言，简要地介绍该部分内容的重要性以及它在数学体系中的位置。这种“宏观视角”的引入，让我能够更好地理解学习这些内容的目的和意义，而不是被零散的公式和定理淹没。书中的一些证明过程虽然冗长，但每一步都写得非常清楚，即使是最细微的逻辑跳跃，它也尽力去弥补。我个人觉得，这本书最棒的地方在于，它教会了我如何“思考数学”，而不仅仅是“记忆数学”。它鼓励我去尝试不同的解题思路，去发现不同概念之间的联系，去构建自己的数学理解框架。有时候，一本教材的价值，并不在于它提供的现成答案，而在于它激发你去寻找答案的过程。这本书无疑在这方面做得非常出色，它像一位循循善诱的导师，引领我一步步走向更广阔的数学世界。

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我必须说，《高等数学（中册）》这本书是我在大学期间接触过的最有影响力的教材之一。它不仅仅是一本工具书，更像是一次思维的洗礼。它的讲解风格非常学术化，对于一些读者来说，可能会觉得有些“枯燥”。但是，如果你能静下心来，认真地去理解它所传达的数学思想，你会发现其中蕴含的智慧。我记得在学习向量场和散度、旋度的时候，书中的描述非常精炼，一开始我只是死记硬背公式，后来我尝试去理解这些概念背后的物理意义，结合一些实际例子，才真正体会到向量分析的强大之处。这本书没有回避任何一个难点，而是试图将其彻底讲透，这对于想要深入理解高等数学的读者来说，是极其宝贵的。它鼓励你去质疑，去探索，去建立自己的数学理解体系。虽然阅读过程可能充满挑战，但正是这种挑战，让你在完成之后，感到自己真正地成长了。这本书，是我通往数学殿堂的一块坚实的基石。

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