Topologie (De Gruyter Lehrbuch) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Walter De Gruyter Inc

作者:Tammo Tom Dieck

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1991-09

价格:USD 41.45

装帧:Paperback

isbn号码:9783110124637

丛书系列:

图书标签:

• 拓扑学
• 点集拓扑
• 代数拓扑
• 拓扑空间
• 连续函数
• 同伦
• 紧集
• 连通性
• 拓扑群
• 德格鲁特

现代分析的基石：微分几何入门 作者： 著名数学家 艾尔莎·冯·霍夫曼 出版社： 普林斯顿大学出版社 页数： 约 650 页 定价： 85.00 美元 --- 内容提要 《现代分析的基石：微分几何入门》是一部为数学、理论物理和工程学领域的研究生及高年级本科生量身打造的权威教材。本书旨在为读者系统地构建起微分几何的严谨基础，并展示其在现代科学中的核心地位。 本书的叙事逻辑清晰，从最基本的拓扑空间和流形概念入手，逐步过渡到黎曼几何的深层结构。作者摒弃了纯代数或仅侧重于局部坐标计算的传统方法，转而采用一种更具几何直觉和全局视野的叙述方式，强调“内在”几何性质的探讨。 全书共分为四个主要部分，层层递进，确保读者能够扎实掌握从基础概念到前沿应用的完整知识体系。 --- 第一部分：流形的基础结构（Foundations of Manifolds） 本部分聚焦于构建微分几何的语言和基本对象。 第一章：拓扑预备与连续性 本章首先回顾了必要的拓扑学知识，特别是紧致性、连通性和完备性。随后引入了拓扑流形 (Topological Manifolds) 的严格定义，并详细讨论了欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 局部结构的直观基础。关键内容包括：开集、嵌入、商拓扑以及 $mathbb{R}^n$ 上的光滑结构的概念辨析。 第二章：光滑结构与切空间 这是理解微分几何的第一个关键飞跃。本章严格定义了光滑流形 (Smooth Manifolds)，并详细探讨了坐标图册 (Atlases)、转换函数 (Transition Maps) 的光滑性要求。核心概念——切空间 (Tangent Spaces)——被引入，不仅作为向量空间定义，更重要的是，它被理解为对流形在某一点局部线性行为的精确描述。作者引入了切向量场 (Tangent Vector Fields) 的概念，并阐述了它们如何构成一个李代数 (Lie Algebra)。 第三章：张量与微分形式 为了进行更精细的分析，本章引入了张量代数 (Tensor Algebras)。从共变 (Covariant) 和反变 (Contravariant) 张量的基本运算开始，过渡到微分 $k$ 形式 (Differential $k$-forms)。作者详细介绍了外导数 (Exterior Derivative) $ ext{d}$ 算子，并证明了其满足 $ ext{d}^2 = 0$ 的基本代数性质。这为后续的积分和拓扑联系奠定了坚实的基础。 --- 第二部分：联络与黎曼几何的诞生（Connection and the Birth of Riemannian Geometry） 本部分将代数结构（联络）与度量结构（黎曼度量）结合起来，形成了微分几何的核心领域——黎曼几何。 第四章：向量丛与联络 本章探讨了流形上更普遍的结构——向量丛 (Vector Bundles)，特别是切丛 (Tangent Bundle) 和余切丛 (Cotangent Bundle)。在此基础上，引入了联络 (Connections) 的概念，特别是Levi-Civita 联络。作者深入分析了平行移动 (Parallel Transport) 的物理意义，并严格推导了联络的黎曼度量兼容性和无挠性 (Torsion-free) 条件。 第五章：黎曼度量与测地线 黎曼流形 (Riemannian Manifolds) 的定义是本章的核心。通过定义黎曼度量张量 $g$，使得切空间具备内积结构。基于此内积，可以定义长度、角度和体积。随后，本章推导了测地线方程 (Geodesic Equations)，并证明了测地线是短程线（局部意义上）。作者对测地线方程的变分原理进行了详细阐述。 第六章：曲率的几何意义 曲率是衡量空间弯曲程度的关键不变量。本章首先定义了黎曼曲率张量 (Riemann Curvature Tensor)，并探讨了其代数性质（如第一和第二比安基恒等式）。随后，引入了更易于直观理解的截面曲率 (Sectional Curvature) 和里奇曲率 (Ricci Curvature)，并讨论了它们在经典空间（如球面、双曲面）中的具体表现。 --- 第三部分：全局几何与拓扑的交汇（Global Geometry and Topological Interplay） 本部分超越了局部坐标的限制，开始探讨流形的全局性质，重点在于应用几何工具解决拓扑问题。 第七章：指数映射与测地线完备性 为了研究流形的全局结构，指数映射 $ ext{Exp}: T_pM o M$ 被定义。本章分析了指数映射的性质及其局限性，特别是测地线完备性 (Geodesic Completeness) 的概念，并讨论了完备性对全局分析的影响。 第八章：怀特海德积分与德拉姆上同调 本章将微分形式与拓扑结构紧密联系起来。通过霍普夫引理 (Hopf Lemma) 和斯托克斯定理 (Stokes' Theorem) 的推广形式，作者详尽地建立了德拉姆上同调 (de Rham Cohomology) 与流形的拓扑不变量之间的深刻联系。这部分为读者理解惠特尼（Whitney）和庞加莱对偶理论奠定了必要的积分几何基础。 第九章：高斯绝妙定理与庞加莱-博内公式 本章展示了黎曼几何中最伟大的成果之一。对于二维流形，高斯绝妙定理将局部曲率与全局拓扑（欧拉示性数）联系起来。接着，作者推广至 $n$ 维，阐述了庞加莱-博内公式 (Gauss-Bonnet Theorem)，清晰地展示了微分几何如何作为连接光滑结构和拓扑特性的桥梁。 --- 第四部分：现代应用与进阶主题（Modern Applications and Advanced Topics） 最后一部分将读者带入当代研究的前沿领域，展示了微分几何在现代物理学中的不可替代性。 第十章：纤维丛与规范场理论 本章介绍了主丛 (Principal Bundles) 和纤维丛 (Fiber Bundles) 的概念，特别是庞加莱群 (Poincaré Group) 和洛伦兹群 (Lorentz Group) 相关的丛结构。这为理解规范理论 (Gauge Theory) 奠定了数学框架。作者详细讨论了规范联络 (Gauge Connections) 和贝里相位 (Berry Phase) 的几何解释。 第十一章：爱因斯坦场方程的几何表述 对于理论物理背景的读者，本章提供了从纯数学到广义相对论的关键过渡。作者使用爱因斯坦张量 (Einstein Tensor) $G_{mu u}$，展示了黎曼几何中的里奇张量如何直接在流形上描述引力场的动力学。这部分强调了洛伦兹流形 (Lorentzian Manifolds) 的特性，如因果结构和奇点的几何描述。 第十二章：调和映照与极小曲面 作为对经典几何学的补充，本章介绍了更现代的变分方法。狄利克雷能量 (Dirichlet Energy) 和调和映照 (Harmonic Maps) 被引入，并讨论了它们在曲面理论和低维拓扑中的应用，特别是与极小曲面 (Minimal Surfaces) 的关系。 --- 教学特色 本书的每一章末尾都包含大量的练习题，难度梯度合理，从基础概念的检验到需要独立证明的深入问题不等。此外，本书还附带一个详尽的术语索引和符号表，极大地便利了读者查阅和回顾。作者的叙述风格严谨而不失洞察力，旨在培养读者对几何结构内在美感的深刻理解。 《现代分析的基石：微分几何入门》是每一个希望掌握现代数学和理论物理核心工具的学者不可或缺的参考书。

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初次接触《Topologie (De Gruyter Lehrbuch)》，我脑海中浮现的是对数学抽象美学的极致追求。拓扑学，这个研究空间在连续形变下不变性质的学科，总是带着一种神秘而迷人的光环。我一直对度量空间和它的完备性有着模糊的认识，但一直未能深入探究，特别是关于柯西序列和紧致集合之间的联系，这其中的奥秘令我着迷。我希望这本书能够为我揭示这些联系背后的深刻道理，让我明白为什么完备性在许多分析学问题中如此关键。同时，我对于函数的连续性在拓扑空间中的推广也充满好奇。在实数域上，我们习惯于 $epsilon-delta$ 的定义，但在更一般的拓扑空间中，连续性是如何定义的？它又如何影响着函数的性质？我期望书中能提供详尽的解释，并辅以恰当的例子，来帮助我理解这种推广的普适性和力量。此外，我对同伦论和基本群等更进阶的概念也抱有极大的兴趣。理解这些概念，意味着能够从更抽象的层面去理解空间的“洞”和“连通性”，这在几何和代数拓扑中是不可或缺的。我希望能在这本书中找到通往这些高深领域的清晰路径，并在此过程中，体验到数学思维的严谨与创造性。

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随着我深入接触数学，我越来越意识到拓扑学作为一门基础学科的重要性。《Topologie (De Gruyter Lehrbuch)》这本书，恰好能够满足我对这门学科深入学习的需求。我一直对“同调论”和“上同调论”这些概念感到好奇，它们似乎提供了描述拓扑空间“孔洞”的代数工具。我希望书中能够清晰地介绍辛尼霍夫同调群、奇异同调群等概念，并解释它们如何反映空间的拓扑结构。特别是，我希望能理解同调群和基本群之间的联系，以及它们在区分不同拓扑空间时的强大作用。此外，我也对“示性类”这一概念充满兴趣。我理解示性类是向量丛的重要不变量，它们能够捕捉向量丛的某种全局性质。我希望能在这本书中找到关于示性类的初步介绍，并了解它们是如何从同调论中产生的，以及它们在代数几何和微分几何中的应用。总而言之，我期待这本书能够为我揭示拓扑学更为深邃和精妙的一面，并激发我进一步探索这个迷人领域的决心。

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在翻阅这本《Topologie (De Gruyter Lehrbuch)》之前，我正苦于找不到一本能够真正点亮拓扑学概念的书籍。很多教科书要么过于抽象，要么对初学者不够友好，让人望而却步。然而，这本书的出版，无疑为我这样渴望深入理解拓扑学精髓的读者带来了一缕曙光。我一直对集合论中的开集、闭集以及它们构建的拓扑空间充满了好奇，也对连续映射、同胚等核心概念抱有浓厚的兴趣。在学习过程中，我常常会思考，为什么拓扑学如此重要？它如何在数学的各个分支，比如代数、几何甚至分析学中发挥着基础性的作用？我希望这本书能够解答我的这些疑问，为我描绘出一幅清晰的拓扑学全景图。我尤其期待书中能够深入探讨连通性、紧致性等重要性质，以及它们所蕴含的深刻意义。当然，作为一本教材，清晰的逻辑结构和丰富的例子是必不可少的。我希望作者能够循序渐进地引导读者，从最基本的定义出发，逐步构建起复杂的理论框架。此外，如果书中能包含一些练习题，并附带解答，那将极大地帮助我巩固所学知识，并在实践中加深对概念的理解。我对这本书的期待，不仅仅是掌握理论知识，更是希望能够培养起一种对拓扑学问题的直觉和洞察力。

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作为一名对数学充满热情的学生，我对《Topologie (De Gruyter Lehrbuch)》充满了期待，因为它承诺将我带入一个全新的数学世界。我尤其关注的是书中对“同胚”概念的阐述。我理解同胚是拓扑学中的核心概念，它定义了两个拓扑空间是否在拓扑意义上是“相同”的。但具体如何判断两个空间是否同胚，以及同胚如何在不同数学分支中发挥作用，这方面我希望能有更深入的理解。例如，在研究流形时，同胚性是如何被用来分类和理解这些空间的？我希望书中能提供一些具体的例子，展示如何利用同胚来解决实际问题，或者来简化复杂空间的分析。我一直对“紧致空间”的性质着迷，因为它们似乎拥有比一般空间更“稳定”的特性。我希望书中能够深入探讨紧致性的各种等价刻画，并阐述它在度量空间和一般拓扑空间中的重要性。同时，我对于“连通性”的概念也想有更透彻的认识。除了简单的连通空间，书中是否会涉及更细致的连通性概念，比如路径连通性，以及它们之间的关系？我期待这本书能够在我学习拓扑学的道路上，成为一本不可多得的良师益友。

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我对《Topologie (De Gruyter Lehrbuch)》抱有极高的期望，因为它预示着一次深刻的数学探索之旅。我尤其关注书中关于“流形”的讨论，我认为这是拓扑学在几何学中最激动人心的应用之一。我一直对局部欧几里得空间的概念感到好奇，并希望了解如何通过“坐标图”和“相容性”条件来构建一个全局的拓扑空间，而这个空间在局部具有欧几里得空间的性质。我希望书中能够详细阐述微分流形和拓扑流形的区别与联系，以及如何利用拓扑学工具来研究流形的各种性质，例如亏格、同调群等等。此外，我对“纤维丛”的概念也充满了兴趣。在我看来，纤维丛是将一个“基空间”和一个“纤维”巧妙地结合起来，从而构造出更复杂的拓扑空间，这在几何学和物理学中都有着广泛的应用。我希望能在这本书中找到关于纤维丛的清晰介绍，并了解它们在示性类、向量丛等方面的应用。我对这本书的期待，是它能够在我心中播下对几何拓扑学的热爱种子，并为我未来的研究打下坚实的基础。

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