Algebraic Surfaces (Classics in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:O. Zariski

出品人:

页数:276

译者:

出版时间:2004-02-27

价格:USD 59.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540586586

丛书系列:Classics in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 其余代数7
• Algebraic Geometry
• Algebraic Surfaces
• Mathematics
• Classics in Mathematics
• Birational Geometry
• Complex Manifolds
• Sheaf Theory
• Resolution of Singularities
• Hodge Theory
• Italian School of Algebraic Geometry

好的，这是一部名为《代数曲面》（Classics in Mathematics）的图书的简介，内容聚焦于代数几何领域，不涉及具体涵盖《代数曲面》一书的内容： --- 《经典数学：代数几何导论与展望》 导言：穿越纯粹数学的边界 数学的殿堂浩瀚无垠，其中代数几何以其独特的魅力和深刻的洞察力，占据了不可替代的地位。它将代数的方法——特别是多项式方程的结构——与几何的直观图像完美地结合在一起，构筑了一个既严谨又充满几何美感的理论体系。本书旨在为读者提供一个全面而深入的代数几何领域的导览，探讨其核心概念、关键理论以及对现代数学物理的深远影响。 本书的出发点并非仅仅是技术性的推导，而是力求揭示代数几何背后的哲学思想：如何通过方程的零点集来理解空间的内在结构。我们将从代数基础开始，逐步构建起理解现代代数几何所必需的工具箱。 第一部分：基础的构建——从阿芬几何到射影空间 代数几何的基石在于对“几何对象”进行精确的代数描述。本书的第一部分将详细阐述从最基本的阿芬空间（Affine Space）到更具完备性和对称性的射影空间（Projective Space）的过渡。 1. 阿芬代数与簇的定义： 我们将首先引入代数簇（Algebraic Variety）的定义，即多项式方程组的解集。这要求读者熟悉环论的基础，特别是理想（Ideal）与素理想（Prime Ideal）的概念。我们将深入探讨希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）的意义，它作为连接理想论与几何对象的最重要的桥梁，是理解后续所有几何结构的基础。 2. 结构的赋予：结构层（Sheaf Theory）： 仅仅定义解集是不够的，我们需要研究这些集合上局部的函数结构。本书将详尽介绍层论（Sheaf Theory）的构造，特别是结构层 $mathcal{O}_X$。我们将解释为什么必须引入局部环（Local Ring）的概念，以及如何通过这些局部信息来重建整个代数簇的全局性质。如何从开覆盖（Open Cover）到粘合（Gluing）过程，是理解几何对象精细结构的必经之路。 3. 射影几何的优越性： 随后，我们将转向射影空间 $mathbb{P}^n$。射影空间通过添加“无穷远点”的方式，极大地简化了许多几何问题，例如保证任何两条不平行的直线总能相交。我们将讨论齐次坐标（Homogeneous Coordinates）的使用，以及如何将阿芬簇嵌入到射影空间中，从而使其成为一个“完备的”几何对象。 第二部分：光滑性、维数与奇异点的分析 代数几何的精髓在于区分不同类型的几何结构。一个好的几何对象应当是“光滑的”（Smooth），这意味着在每一点上它都具有明确的局部结构，没有尖点或自交。 1. 维数的精确定义： 维数在代数几何中具有比拓扑学更严格的意义。我们将探讨 Krull 维数（Krull Dimension）的概念，它通过链的长度来衡量空间的复杂性，并证明它与代数簇的局部性质（如正则局部环的正则性）之间的深刻联系。 2. 奇异点的识别： 奇异点是代数几何研究的焦点之一。我们将详细分析奇异点的判定方法，主要依靠雅可比矩阵（Jacobian Matrix）的秩。通过对奇异点的局部泰勒展开，我们可以分类这些缺陷：是交点、尖点，还是其他更复杂的结构。理解如何“消去”或“解析化”这些奇异点，是深入研究代数簇几何形态的关键。 3. 微分形式与切空间： 为了进行更精细的分析，我们需要引入微分结构的概念。本书将介绍代数微分形式（Algebraic Differential Forms）和代数切空间（Algebraic Tangent Space）。这些工具允许我们将线性代数的方法引入到非线性几何的分析中，为后续研究曲面的曲率和局部弯曲性打下基础。 第三部分：拓扑与代数的交汇——上同调理论的引入 当我们将代数簇赋予适当的拓扑结构（如 Zariski 拓扑或更精细的欧几里得拓扑）时，代数几何与拓扑学的交叉点便显现出来。上同调理论（Cohomology Theory）是连接这两个领域的强大工具。 1. 代数上同调的基本思想： 我们将解释为什么需要构造比奇异上同调更具代数性质的上同调理论，例如 Čech 上同调。通过研究层上同调群 $H^i(X, mathcal{F})$，我们可以量化代数簇 $X$ 在不同维度上“不一致性”或“全局函数缺失”的程度。 2. 经典理论的应用： 我们将重点关注一些基础但至关重要的上同调结果，例如： 塞尔对偶性（Serre Duality）： 揭示了向量丛的自同构群与高维上同调群之间的深刻关系。 黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）： 虽然最初在曲线（维度为一）上被提出，但现代的推广（如广义黎曼-罗赫定理）展示了代数几何中指标定理（Index Theorem）的早期形式，它将几何对象（如度数）与代数不变量（如上同调维数）精确地联系起来。 第四部分：高维空间与现代课题的展望 本书的最后部分将把读者的视野引向更复杂的、高维的代数对象，并简要介绍一些前沿研究领域。 1. 向量丛与陈类（Chern Classes）： 在更高维度的几何中，研究向量丛（Vector Bundles）比研究子簇本身更为重要。我们将引入向量丛的分类思想，并讨论陈类——这是衡量向量丛拓扑性质的关键不变量。陈类与代数簇的几何性质之间的关系，是现代代数几何的核心研究方向之一。 2. 模空间（Moduli Spaces）： 代数几何的最终目标之一是研究“几何对象的空间”，即模空间。例如，模空间 $mathcal{M}_{g}$ 包含了所有拓扑亏格为 $g$ 的曲线。我们将讨论模空间的构造挑战，以及它们作为代数簇本身所具备的优美结构。 3. 简洁的代数几何与算术几何的联系： 尽管本书侧重于复数域或代数闭域上的几何，但我们将简要指出代数几何如何扩展到有限域（算术几何）以及它在朗兰兹纲领（Langlands Program）中扮演的角色，展示代数几何作为连接数论、表示论和几何学的统一框架的潜力。 结语： 本书力图为读者提供一个坚实的理论基础，使他们不仅能理解代数几何的经典结果，更能以现代的眼光去审视和分析复杂的几何结构。掌握这些工具，将为探索更深层次的数学前沿领域——无论是代数拓扑、微分几何，还是理论物理中的弦论——打开一扇至关重要的大门。我们相信，对代数曲面乃至更高维代数簇的深入理解，是通往纯粹数学核心魅力的必经之路。 ---

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作为一名热衷于数学竞赛的学生，我总是积极地寻找能够拓展我解题思路和深化我对数学理解的资源。《代数曲面》这本书，虽然听起来像是高等数学的范畴，但我相信其中蕴含的数学思想，或许能在某些意想不到的方面，为我的竞赛准备提供启发。我期待书中能够出现一些巧妙的构造或者深刻的定理，虽然我可能无法完全掌握其证明过程，但仅仅是领略其精妙之处，也足以开阔我的思路。我希望能够从中学习到一些分析问题的角度，比如如何将一个几何问题转化为代数问题，或者如何从代数结构中挖掘出几何意义。我也会关注书中是否提到了一些解决具体问题的技巧，即使这些问题本身很复杂，但其背后的思想方法可能具有普遍性。对于我来说，这更像是一次“扫盲”之旅，让我对代数几何这个领域有一个初步的了解，知道它研究的是什么，以及它的一些基本工具和研究方向。我希望能够在这本书中，找到一些能够引发我深入思考的“点”，或许是某个未解决的问题的引言，或许是某个经典猜想的阐述，这些都可能成为我未来学习和探索的方向。

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老实说，当我拿到这本《代数曲面》的时候，内心是有些忐忑的。我深知代数几何这个领域，其抽象程度和难度是令人生畏的。我不是数学科班出身，虽然对数学有着浓厚的兴趣，但往往在接触到过于专业的书籍时，会感到力不从心。然而，“经典”二字，又像一剂强心针，告诉我这其中必有精华，值得我去尝试。我并没有期望立刻就能完全领悟书中的每一个公式和证明，我的目标更倾向于“拓宽视野”，了解代数曲面这个数学分支的大致轮廓和它在数学体系中的地位。我希望作者能够尽量照顾到非专业读者的感受，在必要的概念引入时，给出一些直观的解释或者类比，帮助我建立起初步的认识。我希望看到一些图示，即使它们可能无法完全展现高维空间的几何形态，但也能提供一些视觉上的线索，让我更容易地理解那些抽象的定义。或许，通过这本书，我能够对“代数”和“几何”这两个看似独立的概念是如何在代数曲面的研究中紧密结合起来，有一个更清晰的认识。我也会更加关注书中的历史背景和发展脉络，了解这些概念是如何一步步演变至今的，这对于理解一个数学理论的本质非常重要。

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这套“数学经典”系列的书籍，我一直以来都抱着一种近乎朝圣的心态去接触。它们就像是数学长河中矗立的灯塔，虽然名字可能听起来就带着某种深不可测的气息，但正是这种距离感，反而激发了我想要一窥究竟的强烈欲望。当我翻开这本《代数曲面》时，脑海中首先浮现的是那些我曾苦苦钻研的代数几何概念，那些关于多项式方程、几何形状之间复杂联系的图景。我期待着在这本书中找到一种更为系统、更为深刻的理解，能够将那些零散的知识点串联起来，形成一幅完整的画卷。我希望作者能够用一种既严谨又不失启发性的语言，引导我穿越代数曲面的幽深迷宫。我希望书中能够展现出那些在抽象的代数语言背后所蕴含的迷人几何直觉，能够让我感受到数学家们在探索这些高维世界时所经历的思维闪光。也许，这本书会让我重新审视那些我曾经认为已经掌握的知识，发现其中更精妙的联系和更深刻的道理。我尤其希望能看到对一些经典代数曲面（比如椭圆曲线、二次曲面等）的深入剖析，理解它们是如何通过代数方程来定义的，以及它们所展现出的独特几何性质。这不仅仅是对知识的学习，更是一种对数学思想的传承和体验，我深信，阅读经典，就是在与先贤进行一场跨越时空的对话。

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我曾花费大量时间研究过微分几何，那些关于光滑曲面的度量、曲率以及嵌入空间的种种性质，至今仍让我着迷。因此，当我看到《代数曲面》这本书时，自然而然地会将它与我熟悉的领域进行比较和联系。我非常好奇，在代数曲面的研究中，是如何使用代数的方法来处理几何对象的？它们与微分几何中的曲面在研究对象、研究方法以及得出的结论上，有哪些异同之处？我希望这本书能够帮助我搭建起一座桥梁，将代数世界和几何世界的概念有机地融合在一起。我特别希望书中能够强调代数曲面所展现出的“代数性质”，例如它们的亏格、奇点类型以及与其他代数簇之间的映射关系等等。我期望通过阅读，能够理解代数几何学家是如何利用代数的工具，比如多项式环、理想理论等，来刻画和分类复杂的几何对象。这对我来说，是一种全新的视角，也可能是对我现有数学知识的一次重要补充和拓展。我更希望书中能够涉及到一些连接代数和几何的重要概念，比如范畴论在代数几何中的应用，或者如何通过代数方法来研究代数曲面的拓扑性质。

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我曾是一位数学教师，虽然已经退休多年，但对数学的热情从未减退。我一直关注着数学的发展，特别是那些在我教学年代还相对年轻的领域。《代数曲面》这本“经典”著作，吸引我的不仅仅是其内容本身，更是它所代表的数学思想的传承。我希望通过阅读，能够回顾和梳理代数几何的发展脉络，理解这些抽象的概念是如何在数学家的手中被孕育、发展和完善的。我期待书中能够包含一些数学史的叙述，介绍那些在代数曲面研究史上做出重要贡献的数学家及其思想。对我而言，这更像是一次与数学史的对话，一次对数学思想演进过程的追溯。我希望能够看到作者是如何将前人的思想融会贯通，并形成一本系统的著作的。我也会关注书中对基本概念的定义是否清晰，对定理的阐述是否严谨，以及证明过程是否逻辑性强。对于我来说，这是一种“温故而知新”的过程，也是一种对数学严谨性的再次体验。我希望这本书能够让我更加深刻地理解代数曲面研究的意义和价值，以及它在整个数学体系中的独特地位。

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