Differential Forms and Applications (Universitext) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Manfredo P. Do Carmo

出品人:

页数:128

译者:

出版时间:2000-12-29

价格:USD 52.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540576181

丛书系列:universitext

图书标签:

• 数学
• 几何
• differential
• 数学-微分形式
• 微分几何7
• 分析
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线性代数及其在几何学中的应用：初学者指南 本书旨在为读者提供一个坚实且直观的线性代数基础，重点关注其在几何学和多变量微积分中的实际应用。不同于许多只关注抽象向量空间和矩阵运算的传统教材，本书力求通过清晰的几何图像和具体的例子，展现线性代数的直观本质及其在解决实际问题中的强大能力。 第一部分：基础构建——向量与线性变换的直观理解 我们从最基础的概念入手：向量。本书首先介绍了二维和三维欧几里得空间中的向量，强调向量是既有大小又有方向的量，而不是单纯的坐标对。我们深入探讨向量的加法、标量乘法，并引入点积（内积）的概念，这不仅用于计算长度和角度，更是理解向量投影和空间正交性的关键。 随后，我们过渡到线性组合和张成空间。通过直观的几何例子（例如，两个向量如何张成一个平面，或三个不共面的向量如何张成整个三维空间），读者将建立起对“跨度”的清晰认识。本书着重阐述了线性相关性和线性无关性的几何意义——即一组向量是否引入了“冗余”的方向。 核心概念基（Basis）被视为“最有效率的坐标系”。我们详细解释了为什么一个向量空间需要基，以及如何通过基来唯一地表示空间中的任何向量。这一基础为理解更高维度的抽象空间铺平了道路。 线性变换是本书的另一核心。我们不把线性变换仅仅看作矩阵乘法，而是将其视为空间中一种“保留结构”的几何映射——直线变直线，原点保持不变。通过二维旋转、拉伸、投影等例子，读者将直观理解矩阵如何编码这些几何操作。我们详细分析了核（Kernel）和像（Image）的几何含义：核是变换后被压缩到原点的向量集合，像是变换后能够到达的“目标空间”。 第二部分：矩阵的力量——代数与几何的桥梁 本部分深入研究矩阵的性质。我们详细讨论了矩阵乘法的意义，并揭示了它如何复合两个几何变换。 行列式（Determinant）的引入将是几何驱动的。我们从二维、三维的面积和体积变化因子出发，解释行列式的几何意义——它度量了一个线性变换对空间体积（或面积）的缩放因子。零行列式的几何后果（空间被压缩到更低的维度）将被清晰地展示。 逆矩阵的讨论将聚焦于“撤销”一个变换。通过几何视角理解可逆性，即一个变换是否是单射且满射的。 我们随后引入特征值和特征向量。这是理解线性系统动态行为的关键。特征向量代表了在特定线性变换作用下方向保持不变的特殊方向，而特征值则描述了这些方向上的拉伸或压缩因子。本书将使用诸如振动模式或稳定性分析的简单例子来激发读者对这些概念的兴趣。 第三部分：从欧几里得到更广阔的空间 在掌握了基础概念后，我们将视角扩展到更一般的内积空间，包括无限维空间的概念引入。 正交性被提升到核心地位。我们不仅处理欧几里得空间中的垂直概念，还将其推广到任意内积空间。施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthonormalization）被详细介绍，它提供了一种系统地从任意一组基构造一组正交基的方法，这在最小二乘法和傅里叶分析中至关重要。 正交投影的几何意义被详细剖析，它解释了“最佳近似”问题，例如如何在低维子空间中找到最接近某个向量的向量。 第四部分：应用与深入——微分几何的萌芽 本书的最后部分将线性代数的前述概念应用于多变量微积分的框架中，为读者后续学习微分几何打下基础。 我们引入多元函数的可微性，并解释雅可比矩阵（Jacobian Matrix）如何扮演多变量函数在某一点的“局部线性近似”的角色。雅可比矩阵的行列式和特征值，在理解多变量函数的局部拉伸、旋转以及隐函数定理的几何意义时，起着决定性作用。 通过这些应用，读者将看到，线性代数并非孤立的代数分支，而是理解空间结构、变换行为以及微积分中局部线性近似的通用语言。全书结构紧凑，旨在通过扎实的几何直觉和丰富的应用实例，帮助读者真正掌握线性代数的精髓。

评分☆☆☆☆☆

It’s a pity that do Carmo didn’t add up any material arguing the consistency of notions (affine connections, in particular Levi-Civita connections, and Gauss curvature, etc.) in the general setting of Riemmanian manifold in arbitrary dimensions and those ...

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初次翻开这本书的目录，我立刻感受到了一种强烈的“结构感”。它不是那种漫无目的地罗列概念的教材，而是像搭积木一样，每一步都铺垫得非常扎实。作者似乎对读者的数学背景有着明确的假设，所以开篇并没有过多地进行“预热”，而是直接切入主题。那种感觉就像是，作者相信你已经掌握了基础微积分和线性代数，现在要带你进入一个全新的、更抽象的领域。很多地方的论证过程非常严谨，几乎没有可以跳跃的步骤，每一步的推导都像是经过了精心的打磨。我记得有一次，我试图快速浏览某个章节，结果发现如果跳过了前几页的铺垫，后面的内容就完全无法理解了。这说明作者在内容组织上非常讲究逻辑的连贯性，容不得半点马虎。

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阅读这本书的过程，与其说是“学习”，不如说是“攀登”。它不是那种可以轻松让你一气呵成的读物。我常常需要停下来，反复揣摩某个定理的证明，甚至需要拿出草稿纸，跟着作者的思路一步一步地重新演算一遍。特别是涉及到那些高维空间中的几何直觉时，文字描述显得尤为重要，而这本书在这方面做得相当出色，它用非常精确的数学语言构建起了一个清晰的框架。但是，这种精确性也带来了一定的门槛。有些段落，即使是数学专业的学生，也可能需要查阅一些相关的背景知识才能完全领会其深意。它更像是给那些已经对这方面有一定兴趣，并愿意投入大量时间进行深度钻研的人准备的“工具书”，而不是那种面向广大初学者的入门读物。

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在处理那些复杂的符号系统时，这本书展现出了极高的编辑水准。我注意到，作者对于术语的引入和符号的使用有着非常一致的标准，这在很大程度上减轻了阅读理解上的负担。通常，在阅读难度较高的数学著作时，最大的困扰之一就是作者可能在不同章节对同一概念使用不同的符号，或者在引入新概念时不够清晰。但在这本书里，我几乎没有遇到这种让人抓狂的情况。一旦某个符号被定义，它就会在后续的推导中保持其身份不变，这种可靠性极大地提升了阅读的流畅度，使得我能够将注意力集中在理解证明的逻辑上，而不是在反复对照符号定义上浪费精力。这是一部真正体现了“工匠精神”的数学著作。

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这本书的封面设计，嗯，怎么说呢，感觉非常古典，有点像那种老式的数学教科书。不是那种现在流行的扁平化设计，而是那种厚重的、让人觉得里面肯定藏着很多硬核知识的调调。我记得我是在图书馆偶然翻到它的，当时只是随便看看，结果就被那种扎实的感觉吸引住了。书脊上的字体选择也很有意思，带着一种不易察觉的年代感，但同时又清晰明了，告诉你“这本书是认真的”。内页的纸张质量摸起来很舒服，不是那种太光滑的反光纸，而是带点哑光的质感，长时间阅读下来眼睛也不会太累。不过，话说回来，如果你期待的是那种色彩斑斓、插图精美的现代教材，那这本书可能就不太合你的胃口。它更像是一个严肃的数学家留下的笔记，内容大于形式，一切设计都服务于知识的传递，毫不花哨。

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这本书的风格，坦白地说，是非常“纯粹”的。它没有穿插任何时下流行的应用案例来吸引眼球，也没有为了迎合市场需求而刻意简化某些核心概念。它坚持的是纯粹的数学美学和逻辑的严谨性。当你读到那些优雅的定理和公式时，你会体会到一种超越学科界限的数学魅力。对于我个人而言，这种坚持非常宝贵，因为它让我能够专注于数学本身的美妙，而不是被各种花哨的“应用背景”所干扰。然而，这也意味着，如果你是那种更偏向于“学完就能立刻用在工程领域”的读者，你可能会觉得这本书的实用性稍显不足，因为它更侧重于理论的构建和完善，而非直接的工具传授。

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大範圍的微分幾何，撞擊力非凡

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