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出版者:

作者:敖长林 编

出品人:

页数:160

译者:

出版时间:2009-1

价格:18.00元

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isbn号码:9787109131330

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《现代解析几何：从三维空间到高维流形》 作者：张文远 教授 出版社：高等教育出版社 --- 内容概要 《现代解析几何：从三维空间到高维流形》是一部系统、深入探讨解析几何基础理论及其现代应用的高级教材。本书旨在为理工科高年级本科生、研究生以及相关领域的研究人员提供一个全面而严谨的知识框架，帮助读者理解解析几何如何作为连接代数、拓扑学和物理学的关键桥梁。全书共分为十二章，结构清晰，层层递进。 本书的叙事逻辑遵循“具体到抽象，从欧氏空间到微分几何”的路径。我们首先从经典欧几里得空间中的基础概念入手，随后迅速过渡到向量空间、度量结构，最终将读者引入到现代微分几何的殿堂，重点阐述了流形、切空间、张量场和联络等核心概念。 第一部分：基础结构与欧氏空间 (第1章至第3章) 第1章：向量空间与线性变换的几何意义 本章回顾了线性代数中关于向量空间的定义，但侧重于其几何诠释。我们详细讨论了仿射空间的概念，强调了点与向量的区别，这对于理解物理学中的坐标变换至关重要。通过对基的选择与坐标系转换的细致分析，展示了线性变换在几何上如何表现为旋转、拉伸和投影。本章特别引入了对偶空间的概念，并用几何语言解释了线性泛函如何“测量”向量的投影。 第2章：欧几里得空间中的度量结构 本章聚焦于赋予空间以“长度”和“角度”的概念。我们详细探讨了内积（点积）的性质，并推导了施密特正交化过程的几何动机。在此基础上，本书引入了正交矩阵和正交变换群 $O(n)$，分析了它们在保持长度和角度不变性下的作用。章节末尾，我们深入分析了二次型，并借助特征值理论完成了对二次型曲面的分类（如椭圆、双曲线和抛物面），为后续理解高维二次曲面奠定了基础。 第3章：欧氏空间中的曲线与曲面 这是连接代数与微积分的部分。我们使用参数化方法描述曲线，重点分析了曲线的曲率和挠率。特别地，我们推导了弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式，并解释了它们在描述空间曲线运动轨迹中的物理意义。对于曲面，我们引入了第一、第二基本形式，并定义了主曲率、高斯曲率和平均曲率。对高斯曲率的深入分析，特别是关于曲面的局部性质，为后续讨论“曲率的内蕴性”埋下伏笔。 第二部分：线性代数与多线性代数 (第4章至第6章) 第4章：张量的几何视角 张量是本书中连接代数与几何描述的中心概念。本章首先从线性代数（多线性映射）的角度严格定义了张量空间。随后，我们从几何角度解释了张量如何表示物理量，例如应力张量、惯性张量等。关键在于，我们展示了张量是如何在坐标变换下保持其协变性或反变性的。我们详细讨论了张量积、收缩等基本运算，并强调了张量分析在描述各向异性材料性质中的重要性。 第5章：外代数与楔积 为了处理高维空间中的“有向面积”和“有向体积”，本章引入了楔积（Wedge Product）。我们详细构建了外代数 $Lambda^k(V^)$，并阐述了楔积的反对称性和可结合性。楔积被证明是计算积分几何和微分形式的基础。本章通过对二维（面积形式）和三维（体积形式）的直观解释，为理解更高维度的体积元提供了坚实的代数工具。 第6章：行列式、体积与定向 本章回溯并深化了行列式的几何意义。行列式被解释为线性变换在体积上的缩放因子。我们利用楔积的性质，从代数上证明了行列式的乘法定理。此外，本章详细讨论了定向（Orientation）的概念，解释了为什么在进行坐标变换时，必须考虑雅可比行列式的正负号，这直接影响到积分的计算和拓扑概念的引入。 第三部分：微分几何基础与流形 (第7章至第9章) 第7章：拓扑空间基础与度量空间 在进入微分几何之前，本章为读者提供了必要的拓扑学背景。我们定义了拓扑空间、开集、闭集和连续性。随后，我们引入了度量空间，这是连接拓扑结构和距离概念的桥梁。本章的重点是紧致性和连通性的几何解释，例如，紧致性保证了连续函数可以达到最大值和最小值。 第8章：光滑流形的概念 本书的核心部分开始。我们不再局限于 $mathbb{R}^n$，而是转向更一般的空间——流形。本章详细定义了拓扑流形，并引入了图册（Atlas）和转移函数的概念。随后，我们引入了光滑结构，从而定义了光滑流形。通过具体的例子，如球面 $S^2$、环面 $T^2$ 和射影空间 $mathbb{RP}^n$，读者将理解高维几何对象是如何局部看起来像欧氏空间的。 第9章：切空间与向量场 流形上的导数和速度需要切空间的概念。本章严格定义了流形上一点的切空间 $T_pM$ 如何通过曲线的导数来构造。我们证明了切空间是一个向量空间，并且在流形是光滑的情况下，我们可以构造向量场。向量场被视为流形上的光滑函数，其值域在每一点都是切空间的一个向量。 第四部分：微分结构与几何应用 (第10章至第12章) 第10章：张量场与微分形式 将第4章和第5章的代数概念提升到流形上。本章定义了流形上的张量场（包括向量场和微分形式场）。微分 $k$-形式被定义为切空间上 $k$ 重反变向量空间的对偶空间上的张量。我们详细讨论了外微分算子 $d$ 的构造及其核心性质（$d^2 = 0$）。 第11章：联络、测地线与黎曼几何初探 本章开始处理流形上的“直线”和“距离”的推广。对于没有内置内积的流形，我们引入联络（Connection）的概念，它描述了向量如何从一点“平行移动”到邻近一点。我们重点讨论了黎曼度量张量 $g$，它为流形赋予了局部距离和角度的概念，从而定义了黎曼流形。在此基础上，我们定义了测地线——黎曼流形上的“最短路径”——并通过变分法推导出测地线方程。 第12章：曲率的内蕴描述与拓扑联系 本章是全书的总结与展望。我们使用黎曼曲率张量来描述流形弯曲的内蕴程度，展示了曲率如何完全由度量张量及其一阶和二阶导数决定，从而完全摆脱了外在嵌入空间的限制。我们推导了高斯绝妙定理在二维流形上的形式，并简要介绍了德拉姆上同调，阐明了微分形式的拓扑不变性，将全书的解析几何工具提升到了现代数学的前沿领域。 --- 本书特色 1. 代数与几何的紧密结合： 本书从一开始就强调线性代数工具（如内积、张量）的几何动机，避免了纯粹的符号操作。 2. 清晰的层次结构： 知识点由直观的欧氏空间逐步抽象至一般流形，确保了学习的平滑过渡。 3. 丰富的应用导向： 章节设计紧密围绕物理学和工程学中的核心问题，如运动分析、应力分析和空间几何描述。 4. 强调现代视角： 重点介绍了微分形式、外微分和黎曼几何的初步概念，为读者后续进入广义相对论、拓扑学或现代物理学打下坚实基础。 --- 目标读者 数学、物理学、航空航天工程、机械工程等专业高年级本科生。 对几何学有浓厚兴趣的研究生及科研人员。 希望系统复习和提升微分几何基础的工程师。

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这本书的配套资源，特别是教师用书中的详细解题步骤和各种思维导图，为自学者提供了巨大的便利。我发现，与其他教材相比，这本书的习题讲解部分远超“答案”的范畴，更像是一堂复习课。它不仅给出了正确的答案，还分析了其他常见的错误解法可能出现在哪里，并解释了为何那种思路是行不通的。这种“预判错误”的教学设计，对于独立学习者来说至关重要，它有效弥补了没有老师随时指导的不足。此外，书中关于数值稳定性的讨论也相当到位，虽然不涉及复杂的算法实现，但至少点出了在实际计算中需要警惕的陷阱，这对于未来要处理大规模矩阵运算的场景，提供了宝贵的先见之明。这本书的实用性和指导性，体现在它对“如何正确地做题”和“如何避免常见的思维误区”的细致关注上。

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我不得不说，这本书在抽象概念的提炼上达到了一个令人敬佩的高度。它似乎是为那些追求数学“美感”的读者准备的。比如，关于线性空间的基的选取，作者巧妙地引入了规范基、Jordan标准型等概念，将原本可能显得零散的知识点，统一在一个更宏大、更优雅的结构之下。这种叙事方式非常吸引那些喜欢从哲学层面探讨数学本质的人。然而，正是这种高度的抽象化，使得它在作为入门教材时显得有些冷峻。书中对定理的证明往往一气呵成，逻辑链条紧密到令人窒息，读者几乎没有喘息或自行思考的空间。我更倾向于将它视为一本精炼的“理论结晶”，适合在已经有了一轮基础学习后，用来深化理解和查漏补缺。它要求读者带着相当的数学成熟度去阅读，否则很容易迷失在符号的迷宫中。

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我对这本书的结构划分有些保留意见。它将正交性、内积空间这些相对高阶的主题放在了相对靠后的位置，这使得前半部分的学习节奏显得有些沉重和理论化，而等到真正需要用这些工具去解决优化问题时，读者可能已经略感疲惫。我期望能看到更早地引入内积空间的概念，即使只是作为一个工具性的引入，也能为后续的矩阵分解提供更直观的几何视角。尽管如此，书中对线性算子的定义及其在不同基下的矩阵表示的切换讨论，处理得极其精妙。作者强调了“不变性”的思想，即有些几何性质与我们选择的坐标系无关，这种深层次的理解，是很多初级教材所忽略的。总而言之，这本书的理论深度毋庸置疑，但其章节组织略显保守，对于追求快速掌握应用前沿的学习者来说，可能需要自行调整阅读顺序，以平衡理论的严谨与实践的紧迫。

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这本书的数学基础部分讲解得非常扎实，从向量空间的基本定义到线性变换的性质，作者都采用了循序渐进的方式。我尤其欣赏作者在介绍特征值和特征向量时，不仅仅停留在代数计算层面，还深入探讨了它们在实际应用，比如对微分方程的解或数据降维中的几何意义。书中大量的例子，无论是理论推导还是数值计算，都处理得干净利落，对于理解抽象概念非常有帮助。不过，对于完全没有接触过高等代数的初学者来说，可能需要一点时间来适应其严谨的数学语言。配套的习题难度适中，前半部分的计算题能帮助巩固基本操作，后半部分的证明题则能有效地锻炼逻辑思维能力。总的来说，这本书更像是为已经具备一定微积分基础，希望系统性攻克线性代数难题的学生量身打造的工具书。它没有花太多篇幅在历史背景或应用案例的罗列上，而是专注于构建一个坚固的理论框架。

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初次翻阅这本教材，最直观的感受是它的排版和图示运用达到了相当高的水准。很多复杂的矩阵运算，仅仅通过一个精心设计的二维图示，就能瞬间洞察其内在的变换过程，这比单纯依赖公式推导要高效得多。例如，在讲解奇异值分解（SVD）时，书中不仅给出了详细的矩阵分解步骤，还配上了三维空间中数据点如何被旋转、拉伸和投影的动态演示图（虽然是静态图片，但意境十足），让我对“最佳低秩近似”的理解不再是空中楼阁。对于偏向工科背景，需要快速掌握实用工具的读者来说，这本书的实用性价值远超其理论深度。作者在选择讲解案例时，也颇具匠心，穿插了诸如图像处理中的滤波操作、最小二乘法的几何解释等，这些都极大地激发了我继续深入学习的兴趣。

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