必修)代数(下) (平装) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787532000968

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《高等代数：理论与应用》导读 本书特色： 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有启发性的高等代数学习体验。它不仅严格遵循现代数学的严谨性，更注重代数结构在各个科学领域的实际应用，是初学者和希望深入研究的数学爱好者的理想教材。全书内容组织逻辑清晰，例题和习题设计精巧，旨在培养读者的抽象思维能力和解决复杂问题的能力。 第一部分：群论基础与代数结构 第一章：集合论与逻辑基础回顾 本章作为高等代数学习的基石，对集合的基本运算、函数、关系以及逻辑推理进行了系统的回顾和深化。重点探讨了集合的基数、良序原理以及构造性证明在代数中的初步应用。我们引入了群、环、域等代数结构所必需的形式化语言，确保读者对后续抽象概念的理解建立在坚实的基础之上。特别是对映射的性质（单射、满射、双射）的深入分析，为理解同构和同态奠定了基础。 第二章：群的基本概念 本章是群论的开篇，详尽阐述了群的定义及其基本性质，包括单位元、逆元的唯一性、结合律的严格证明等。我们引入了子群、陪集、拉格朗日定理——这个群论中的核心定理。拉格朗日定理的证明巧妙地运用了陪集的划分性质，其重要性在于限制了群中元素的阶数。此外，本章还初步探讨了循环群的结构，证明了所有循环群都与某个整数群或根之群同构。 第三章：正规子群与商群 理解商群是掌握抽象代数结构的关键一步。本章首先聚焦于正规子群的概念，阐明了左陪集与右陪集相等这一等价条件。随后，基于正规子群构造商群（或因子群），并详细说明了商群上的运算定义如何良定。同态定理，特别是第一同态定理，被放在核心位置进行深入剖析，它揭示了群、其子群、商群之间深刻的结构联系。本章还包含了一些重要的例子，如一般线性群 $ ext{GL}_n(F)$ 的子群结构分析。 第四章：群的同态与同构 本章系统研究了群之间的映射性质。定义了群同态、同构、自同构，并深入探讨了核（Kernel）和像（Image）在同态映射中的作用。我们证明了群的同构关系是一种等价关系，并利用同构定理来分类结构相似的群。为深化理解，本章还介绍了群作用（Group Action）的概念，通过凯莱定理（Cayley's Theorem）证明了每个有限群都同构于某个置换群，将抽象的群结构具象化到置换群这一具体结构上。 第五章：置换群与可解群 置换群作为最直观的群的例子，在本章中得到重点应用。我们分析了置换群的循环分解、奇偶性以及交错群 $A_n$ 的性质。交错群在研究多项式方程的求解（伽罗瓦理论的基础）中具有不可替代的地位。最后，本章引入了可解群（Solvable Groups）的概念，并探讨了其结构性质，为后续章节中对有限生成阿贝尔群的分类奠定理论基础。 第二部分：环、域与模 第六章：环的基础理论 本章将代数结构从群的“加法”结构扩展到具有两种运算的环结构。详细定义了环、交换环、单位环，并讨论了子环、环同态等概念。重点分析了特殊类型的元素：零因子、零代数元、幂零元、幂零元，以及单位元。通过具体的例子，如矩阵环 $M_n(R)$ 和多项式环 $R[x]$，展示了环的复杂性。 第七章：理想与商环 类比于群中的正规子群和商群，本章的核心是理想（Ideal）和商环（Quotient Ring）。我们区分了左理想、右理想和双边理想，并证明了在交换环中，所有理想都是双边理想。商环的构造和性质的推导严格遵循群论中的逻辑。重要的同态定理在环的背景下得到了重述和应用，揭示了理想与环同态之间的对应关系。 第八章：整环与域 本章深入研究了具有更强性质的环结构。定义了整环（Integral Domain）和域（Field）。域被视为“理想的”结构，其中每个非零元素都有乘法逆元。我们深入探讨了子域、域的扩张（尽管域扩张的深入讨论将在域论中展开，但此处先建立基本概念）。整环中的重要概念如主理想整环（PID）、唯一因子化整环（UFD）在本章末尾进行初步介绍，为后续的数论和代数几何打下基础。 第九章：多项式环 多项式环 $F[x]$ 是代数学中应用最广泛的结构之一。本章详细讨论了多项式环的除法算法，并证明了在域 $F$ 上， $F[x]$ 是一个欧几里得整环（Euclidean Domain），进而是一个主理想整环和一个唯一因子化整环。本章还探讨了多项式的根、有理根定理以及多项式在域扩张中的分解问题，这些是解决方程和构造新域的关键工具。 第十章：环的结构定理与模入门 本章将群论的强大工具——同态定理——推广到环结构，特别是关于理想和商环的结构定理。随后，我们将视角拓展到模（Module），将其视为向量空间在环上的推广。模是连接线性代数与抽象代数的重要桥梁。我们定义了子模、模同态，并简要讨论了自由模、有限生成模等初步概念，为读者理解更复杂的结构（如阿贝尔群的结构）做好准备。 第三部分：线性代数的高级视角与应用 第十一章：向量空间与线性变换的代数视角 虽然线性代数是独立学科，但在高等代数中，我们从群论和环论的基础上重新审视向量空间。向量空间被定义为域 $F$ 上的模。本章重点在于线性变换（即模同态）的深入分析，包括核、像、秩的概念，以及基和维度的严格定义。矩阵的本质被视为线性变换在特定基下的表示，强调了基选择对表示的影响。 第十二章：特征值与特征向量的代数解析 本章超越了计算特征值的技巧，深入探讨了特征多项式、最小多项式以及特征子空间之间的关系。我们使用群论和环论的语言来理解特征多项式（作为多项式环中的元素），并利用这些代数工具证明了凯莱-哈密顿定理，该定理表明任何方阵都满足其自身的特征方程。 第十三章：有限生成阿贝尔群的结构定理 这是本课程的亮点之一，它标志着将群论应用于特定、结构更清晰的代数对象。本章利用前面对模的初步认识，对有限生成阿贝尔群进行分类。通过利用主理想整环（PID，例如整数环 $mathbb{Z}$）的性质，我们证明了任何有限生成阿贝尔群都同构于一组初等因子群的直和，即其规范型。这一结果在组合学和拓扑学中有着重要的应用。 结语 本书的组织结构旨在引导读者从具体的、可计算的代数对象（如整数、多项式）出发，逐步抽象至群、环、域的统一理论框架。掌握这些工具不仅是理解现代数学分支（如代数几何、代数数论、拓扑学）的前提，更是培养严谨数学思维和解决复杂系统问题的核心能力。每一章的内容都力求在理论深度和实际应用之间取得完美的平衡。

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这本书的语言风格，可以说是在“学术的严谨”和“教学的亲和”之间找到了一个非常微妙的平衡点。它用词非常精准，每一个数学术语的定义都无可挑剔，读起来能感受到作者深厚的学术功底，丝毫没有那种为了迎合初学者而刻意“口语化”的弊端。然而，令人惊喜的是，在例题的引入和章节的过渡部分，作者又会采用一种近乎于“对话”的方式来引导读者思考。比如，在引入某个难度较大的证明前，它会先设置一个情景：“现在我们遇到了一个棘手的问题，那就是……” 这种描述方式，仿佛身边有一位经验丰富的导师在耐心地为你梳理思路，而不是冷冰冰的公式堆砌。这种流畅的叙事感，极大地减少了阅读过程中的枯燥感。每次合上书本，我都会觉得，不仅仅是学习了一个新的数学知识点，更是听了一堂非常精彩的数学导论课，那种被引导着去探索和发现的乐趣，是其他很多教材所无法比拟的。

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这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，拿到手里就能感受到那种沉甸甸的质感，一看就是用心制作的。封面那种简洁又带着一丝古典韵味的排版，在众多教材中显得格外别致。我尤其喜欢它封底那句引言，虽然跟内容本身可能没有直接关联，但它营造出一种对知识的敬畏感，让人还没翻开书就对即将探索的数学世界充满了期待。纸张的选取也十分考究，不是那种廉价的反光纸，而是偏向于哑光的质感，长时间阅读眼睛也不会那么容易疲劳。而且，侧边的切口处理得非常平滑，即便是刚拆封的新书，翻阅起来也不会有任何不适。装订方面，线圈或者胶装都做得非常牢固，可以想象这本书即便被反复翻阅很多年，也不会轻易散页。这种对手工和细节的关注，让我觉得出版方在制作这本“代数（下）”时，是真正想把它打造成一本可以长久陪伴学习者的工具书，而不是那种一学期就束之高阁的快消品。它散发出的那种沉稳和专业的气质，确实让人愿意把它放在书架上一个显眼的位置，时不时拿出来感受一下那种实体书的魅力。

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这本书的排版布局，简直是数学教材中的一股清流，让人在面对复杂公式和定理时，心里都能稍微放松一点。它没有采用那种堆砌式的密密麻麻的文字描述，而是大量使用了留白，使得每一个定理、每一个例题都有足够的“呼吸空间”。你看那个定理的陈述部分，是不是总能用粗体字清晰地标出关键的条件和结论？这对于我们这些在解题时容易被细节绕晕的学习者来说，简直是福音。更绝的是，一些证明过程的跳转，它不是简单地用箭头或者省略号带过，而是会用小号字体在旁边做出非常精炼的注解，解释“此处我们应用了XX引理”。这种做法极大地降低了阅读的门槛，让那些在自学过程中容易卡壳的环节变得豁然开朗。我甚至觉得，这本书的版式设计本身，就在潜移默化地教导我们如何清晰、有逻辑地组织自己的数学思维，把复杂的逻辑链条拆解成易于消化的一个个小模块。这种注重阅读体验的设计，远比那些只关注内容深度的教材要人性化得多。

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我必须得提一下这本书的“题型覆盖广度”，它真的不是一本只顾着讲解基础概念的书。这本书给人的感觉是，它不仅要确保你理解“是什么”，更要让你知道“怎么用”以及“能用在哪里”。比如，在讲授矩阵的特征值和特征向量那章时，它没有满足于给出标准的计算步骤，而是特意开辟了一个小节，探讨了这些概念在实际的动力系统稳定性分析中的应用。这种深入浅出的结合，让原本枯燥的纯理论知识一下子变得“活”了起来，让人感受到代数不仅仅是纸面上的符号运算，更是理解世界运行规律的工具。更让我印象深刻的是，它对一些“灰色地带”的处理，比如某个定理在某些特定边界条件下的失效情况，它都会明确指出，而不是含糊带过，这种严谨性非常值得称赞。这使得我在准备一些更高级的竞赛或考试时，心里更有底气，因为我知道这本书已经帮我把那些“陷阱”都提前标记出来了。

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从耐用性和收藏价值的角度来看，这本书的表现简直无可挑剔。它采用的纸张似乎是某种特殊的抗氧化处理过的，我特意把它放在阳光下观察了一段时间，都没有发现任何泛黄的迹象，这对于一本常备的参考书来说至关重要。而且，我注意到书本的墨水质量也非常高，即便是用荧光笔做了大量的标记，文字的边缘也依旧清晰锐利，没有出现任何墨迹洇开或者渗透到下一页的情况，这在处理大量数学符号和下标时尤其重要。这种对材料的坚持，体现了出版方对“知识载体”本身的尊重。如果说内容是这本书的灵魂，那么它的实体制作工艺就是这副躯壳的骨架，坚实可靠。对于一个像我一样有整理和归档习惯的读者来说，一本不易老化、可以长期保存的教材，其价值远超其标价。它不仅仅是学习工具，更像是一份可以传承的知识资产。

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