高等代数考点综述与问题探讨 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:340

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出版时间:2009-8

价格:32.00元

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isbn号码:9787118064445

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• 高等代数
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《高等代数：理论精粹与解题策略》 本书旨在为学习高等代数的学生提供一个全面而深入的导览，聚焦于该学科的核心概念、重要定理及其在解决各类数学问题中的应用。我们不仅会梳理高等代数的主要知识脉络，更重要的是，将引导读者掌握分析和解决问题的思维方式。 核心内容概览： 第一部分：线性代数基础 向量空间与线性映射： 本部分将从向量空间的基本定义出发，涵盖基、维数、子空间等核心概念。读者将深入理解线性无关、线性组合以及生成集的意义，并学习如何确定向量空间的基。线性映射的性质，如核、像、秩-零度定理，也将得到细致阐释，强调其在代数结构转换中的作用。我们将通过一系列具体例子，帮助读者建立对抽象概念的直观认识。 矩阵理论与线性方程组： 矩阵是表示线性变换和系统的有力工具。我们将系统介绍矩阵的运算、特殊矩阵（如对称矩阵、正交矩阵）的性质，以及矩阵的秩、行列式等关键概念。线性方程组的求解是线性代数的核心应用之一，我们将深入探讨高斯消元法、LU分解等求解方法，并分析方程组解的存在性和唯一性。此外，矩阵的特征值和特征向量的计算及其几何意义，是理解线性系统行为的关键，本书将对此进行详细讲解。 内积空间与正交性： 在向量空间的基础上引入内积概念，将使我们能够谈论长度、角度和正交性。本部分将介绍内积空间的定义、柯西-施瓦茨不等式，以及投影、正交基、Gram-Schmidt正交化等重要概念。这些概念在最小二乘法、傅里叶分析等众多领域有着广泛应用。 第二部分：抽象代数核心 群论初步： 群是抽象代数中最基础也是最重要的结构之一。我们将从集合、二元运算、单位元、逆元等基本元素出发，定义群，并介绍常见的群（如对称群、循环群、矩阵群）及其性质。子群、陪集、正规子群、商群等概念的引入，将帮助读者理解群的内部结构。同态和同构是研究代数结构之间联系的桥梁，本书将对此进行深入探讨，并介绍群论中的几个基本定理，如拉格朗日定理、同态基本定理等。 环与域： 在群的基础上，我们引入另一个二元运算，形成环。本书将介绍环的定义、性质，以及特殊的环，如交换环、带单位元的环、整环。理想和商环是研究环结构的重要工具。域是特殊的环，其非零元素都存在乘法逆元。我们将重点讲解域的定义、性质，以及一些重要的域，如实数域、复数域、有理数域，并探讨域的扩张理论。 多项式环与域扩张： 多项式是许多代数理论的基石。本书将详细介绍多项式环的性质，如多项式的整除性、最大公因子、本原多项式等。我们还将探讨域的扩张，即如何从一个域出发构造更大的域。本原元定理、三次方程的求根公式（及其代数意义）等内容，将使读者领略代数之美。 第三部分：高等代数专题与解题策略 行列式及其应用： 本部分将系统介绍行列式的定义、性质，并重点阐述其与矩阵逆、线性方程组解之间的紧密联系。行列式在几何上表示了线性变换对体积的缩放比例，在代数上则为研究线性系统提供了重要工具。 二次型与合同变换： 二次型是线性代数中的一个重要研究对象，它与二次曲线、二次曲面紧密相关。我们将讲解二次型的标准形、正定性等概念，并介绍如何通过合同变换将二次型化为标准形。 线性代数问题的解题技巧： 本部分将结合前面所学知识，重点探讨如何有效地解决各种线性代数问题。我们将分析常见题型的解题思路，包括但不限于：如何快速判断向量组的线性相关性、如何高效求解大型线性方程组、如何利用特征值和特征向量简化问题、如何构造正交基等。我们将强调理解问题本质、灵活运用定理、化繁为简的解题原则。 抽象代数思想在解题中的应用： 抽象代数提供了一种更一般、更深刻的视角来理解代数问题。本书将引导读者思考如何将群、环、域等抽象结构的概念和性质，应用于具体的代数计算和证明中。例如，利用群的对称性简化问题，利用环的性质分析多项式的根，利用域的扩张理论解决代数方程等。 本书特色： 逻辑清晰，循序渐进： 内容组织结构严谨，从基础概念到高级理论，层层递进，确保读者能够逐步掌握。 理论与实践结合： 每一个核心概念的讲解都伴随着大量的例题和习题，既巩固理论知识，又训练实际解题能力。 注重思维训练： 强调培养读者的数学思维能力，鼓励读者独立思考，理解概念背后的数学思想。 涵盖关键考点： 精心筛选和编排了高等代数学习中的核心考点和难点，为应对考试提供有力支持。 深入探讨解题策略： 不仅讲解“是什么”，更侧重于“怎么做”，提供系统化的解题思路和方法。 无论您是希望系统学习高等代数，还是正在为相关课程的考核做准备，本书都将是您不可多得的参考。我们将带领您穿越抽象的数学世界，领略高等代数之美，掌握分析和解决复杂代数问题的能力。

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这本书的排版和装帧设计，说实话，给我带来了一种久违的阅读舒适感。在这个充斥着花哨设计的时代，它选择了朴素而内敛的风格，大片的留白有效地减轻了视觉疲劳，让读者的注意力能完全集中在那些密密麻麻的数学符号和推导过程上。字体选择也十分考究，清晰易读，即使长时间盯着屏幕或纸面看复杂的运算，眼睛也不会感到过于酸涩。更值得称赞的是，书中对公式的编号和引用处理得非常得当，当我需要回顾某个前期铺垫的定理时，查找起来异常便捷，这在做综合性练习题时，极大地提高了效率。这种对细节的关注，体现了出版方对数学学习者需求的深刻理解，毕竟，在处理高深复杂的数理逻辑时，任何一点阅读上的障碍，都可能成为理解上的巨大阻碍。可以说，这本书的物理形态，本身就是对严肃学术内容的一种尊重和承载。

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这本书在概念的引入与连接上做得极其出色，它成功地架起了一座从基础分析到抽象代数的桥梁。我过去总觉得，高等代数中的某些章节，特别是当涉及到抽象向量空间和线性变换时，总是显得孤立和突兀，仿佛是凭空出现的理论大厦。然而，这本书巧妙地通过对几何直觉的回归和类比，将这些看似高深的抽象概念，与我们熟悉的二维、三维空间的变换联系起来。例如，在介绍同构和同态的概念时，它没有直接陷入纯粹的集合论定义，而是通过函数映射的性质，展示了保持结构不变的“守恒性”，这种处理方式极大地降低了读者的心理门槛。这种循序渐进、不断提炼抽象层次的方法论，让高等代数不再是冷冰冰的公式集合，而更像是一套描述世界结构和变换规律的通用语言。这种深度整合的叙述风格，是很多教材所欠缺的。

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这本书，说实话，拿到手里的时候，我的内心是充满期待的，毕竟“高等代数”这四个字本身就带着一种学术的厚重感。我翻阅了一些章节，首先映入眼帘的是那种严谨的数学语言，每一个定义、每一个定理都像是经过千锤百炼的宝石，闪烁着逻辑的光芒。作者在阐述概念时，那种层层递进的逻辑链条非常清晰，即便是像矩阵的秩这种听起来有些抽象的概念，也能被拆解得条理分明。特别让我印象深刻的是，它不仅仅是罗列公式和定理，更像是在引导读者进行一场思维的探险。比如，在讨论线性空间的基与维数时，作者没有满足于给出一个标准答案，而是深入剖析了不同选择对后续推导的影响，这种对基础原理的挖掘深度，对于想要真正掌握这门学科的人来说，无疑是极其宝贵的。我感觉，这不是一本速成手册，而是一部需要沉下心来细细品味的经典之作，它要求你不仅要知道“是什么”，更要理解“为什么是这样”。

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作为一名长期在数学学习的海洋里摸爬滚打的“老兵”，我深知一本好的教材或参考书，其价值绝不仅仅在于知识点的覆盖面有多广，更关键的是它如何处理那些“卡点”和“疑难杂症”。这本书在处理一些经典难题的解析时，展现出了一种令人耳目一新的视角。它不像某些教辅那样，直接抛出一个公式然后草草收尾，而是会花大量的笔墨去剖析解题思路的形成过程，比如，在处理涉及到特征值和特征向量的对角化问题时，它会先回顾为什么我们需要对角化，以及对角化带来的几何意义，然后再展示代数运算。这种“知其然，更知其所以然”的教学方式，彻底改变了我过去那种“套公式”的学习习惯。读完相关的章节，我感觉自己像是被授予了一把解剖复杂问题的“手术刀”，而不是一堆死记硬背的工具箱。这对于提升实际解题能力和构建数学直觉至关重要。

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坦白说，我更欣赏这本书在“疑难解析”部分所展现出的那种人文关怀。很多数学书籍只管推导，全然不顾读者的“感受”。但这本书在一些关键的证明后面，会附带一些“思考题”或者“历史注脚”，这些小小的补充材料，虽然不是构成核心知识体系的必需品，却极大地丰富了阅读体验。比如，在讨论某些定理的局限性时，作者会适当地提出反例或者指出该理论在特定条件下的失效区间，这让读者能够更全面、更辩证地看待数学结论，避免了“唯公式论”的倾向。这种对知识边界的审慎态度，非常符合科学精神。它告诉我，数学是不断发展和修正的学科，而不是一套静止不变的教条。这种鼓励批判性思考的氛围，使得阅读过程充满了发现的乐趣，让人感觉自己不仅仅是在被动接受知识，而是在积极参与到数学思想的构建之中。

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