Galois Groups and Fundamental Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Schneps, Leila 编

出品人:

页数:482

译者:

出版时间:2003-7-21

价格:GBP 65.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521808316

丛书系列:

图书标签:

• Galois theory
• Group theory
• Fundamental group
• Algebra
• Field theory
• Topology
• Mathematics
• Abstract algebra
• Algebraic topology
• Number theory

《伽罗瓦群与基本群》：探索代数与拓扑的深层联系 本书旨在深入剖析数学中两个核心概念——伽罗瓦群与基本群——之间的深刻联系，揭示它们在不同数学领域中扮演的关键角色。本书并非简单罗列定义与定理，而是致力于构建一座桥梁，将抽象的代数结构与直观的几何拓扑世界巧妙地融合，为读者提供一个全面而富有洞察力的视角。 代数领域的辉煌：伽罗瓦群与域扩张的奥秘 在代数领域，本书将首先聚焦于伽罗瓦群。伽罗瓦群是域扩张理论的基石，它精确地刻画了一个域的自同构群。我们将从最基础的域的概念出发，逐步深入到代数数域、有限域等更复杂的结构。通过详尽的例子和逐步递进的论证，读者将理解如何构造伽罗瓦群，以及伽罗瓦群的阶、结构与域扩张的性质如何一一对应。 本书将重点探讨以下几个方面： 域与域扩张： 回顾域的基本性质，并引入域扩张的概念，理解如何通过添加根来扩张一个域。我们将分析线性无关的生成元的概念，以及迹与范数等重要的域扩张不变量。 多项式的可解性与伽罗瓦群： 深入研究多项式的根与域扩张的关系。我们将详细阐述多项式根的对称性如何通过伽罗瓦群来体现。特别地，我们将详细讲解一般五次及以上方程不可用根式求解的证明，这正是伽罗瓦理论的核心成果之一。 伽罗瓦理论的基本定理： 这是本书代数部分的核心。我们将清晰地阐述伽罗瓦基本定理，解释域扩张中的中间域与伽罗瓦群的子群之间的一一对应关系。通过这一对应，我们可以将域扩张的代数问题转化为群论问题，大大简化了分析过程。 有限域的结构： 对于有限域，本书将展示其独特的结构。我们将探索有限域的自同构群，并揭示其与有限域的阶之间的深刻联系。有限域在编码理论、密码学等现代数学分支中有着重要的应用，本书的介绍将为读者理解这些应用打下坚实基础。 伽罗瓦表示与表示论： 在更高级的层面，我们将探讨伽罗瓦表示。这些表示将域的自同构映射到线性代数中的矩阵，从而利用线性代数的强大工具来研究伽罗瓦群。我们将介绍表示论的基本概念，以及它如何为理解伽罗瓦群提供新的视角。 拓扑世界的精彩：基本群与路径的连接 在拓扑领域，本书将引出基本群的概念。基本群是衡量一个拓扑空间“洞”的数量和性质的代数不变量。我们将从直观的路径和同伦概念入手，逐步构建基本群的定义和运算。 本书在拓扑部分将着重于： 空间、路径与同伦： 介绍拓扑空间的基本概念，以及在空间中连接两点的路径。重点在于同伦的概念，理解当两条路径可以连续形变，直到其中一条变成另一条时，它们被认为是同伦的。 基本群的定义与构造： 详细定义基本群，它是基于空间中以某一点为起点的闭合路径的集合，并定义了基于路径连接的群运算。我们将展示如何确定特定空间的同伦等价类，以及如何计算其基本群。 单连通空间： 介绍单连通空间的概念，即基本群为平凡群（只包含一个元素）的空间。我们将给出各种单连通空间的例子，并解释其拓扑性质。 覆盖空间理论： 覆盖空间是理解基本群的关键工具。本书将详细介绍覆盖空间的定义，以及基本群如何作用于覆盖空间。我们将阐述单值覆盖定理，它揭示了基本群与覆盖空间的奇妙关系。 基本群的计算： 介绍计算特定拓扑空间基本群的常用方法，例如通过割取和粘合技术（如切片和粘合定理），以及利用诸如自由群、关系等代数工具。 连接的桥梁：伽罗瓦群与基本群的深层共鸣 本书的真正亮点在于将伽罗瓦群与基本群这两个看似独立的数学对象联系起来。这种联系并非偶然，而是源于它们在解决代数几何和数论中的核心问题时所展现出的惊人相似性。 德令定理（Dehn's Theorem）的推广： 德令定理在几何学中扮演着重要角色，而其代数上的对应物是伽罗瓦理论。本书将通过具体的例子，展示代数基本群（如代数簇的基本群）如何与数域的伽罗瓦群相互映照。 代数基本群： 介绍代数基本群的概念，它是数域上代数簇的拓扑基本群的类比。我们将展示如何通过代数几何的工具来定义和计算代数簇的代数基本群，并探索它与基本群之间的关系。 类域论的视角： 类域论是数论的皇冠。本书将从类域论的角度，展示伽罗瓦群与基本群在刻画数域的扩展结构中的作用。我们将探讨它们在解决高次方程的根式可解性、分类有限域等问题上的统一性。 陶立兹猜想（Tate Conjecture）与基本群的联系： 尽管某些前沿领域可能超出本书范围，但我们会触及一些相关的思想，例如陶立兹猜想的早期发展，其中代数几何中的某些不变量可以被理解为与基本群有关。 几何与算术的统一： 通过对伽罗瓦群与基本群的深入探讨，本书旨在向读者展示数学中不同分支之间的深刻统一性。我们将看到，代数与拓扑的语言可以相互转化，它们共同描绘了数学世界的丰富图景。 本书的目标读者 本书适合对抽象代数、代数拓扑、数论或代数几何有一定基础的本科高年级学生、研究生，以及对这些领域感兴趣的研究人员。它也能够为那些希望拓宽数学视野，理解不同数学分支之间深刻联系的数学爱好者提供宝贵的阅读体验。 阅读本书的收获 通过阅读《伽罗瓦群与基本群》，读者将： 扎实掌握伽罗瓦理论的核心概念与应用。 深入理解基本群的定义、计算方法及其在拓扑学中的重要性。 领略伽罗瓦群与基本群之间令人着迷的联系，以及它们在统一数学思想中的作用。 培养利用代数工具解决拓扑问题，以及反之亦然的思维方式。 为进一步深入研究代数几何、数论、低维拓扑等前沿领域打下坚实基础。 本书将以严谨而不失清晰的风格，引导读者穿越代数与拓扑的迷人景观，发现隐藏在这两个伟大数学分支之间的和谐与美丽。

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这本书的排版和印刷质量着实称赞，对于一本涉及如此复杂符号和图示的数学著作来说，清晰度至关重要。我发现自己在阅读那些涉及庞大群作用和纤维丛的章节时，几乎不需要费力去辨认那些小小的希腊字母或者上下标，这极大地提升了阅读体验，使得我可以更专注于背后的数学思想而非文字的物理呈现。在深入研究某一章时，我发现作者在处理群论与拓扑结构连接点的论述上，展现出惊人的洞察力。他没有简单地罗列公式，而是试图阐述“为什么”一个特定的群结构会自然地对应到某一类空间的不变量上。这种对“本质”的追问，让原本冰冷的公式带上了一种生命力。我甚至花了一个下午的时间，仅仅是研究其中一处脚注，因为它引用了一篇几乎快被人遗忘的老文献，提供了理解某个核心构造的全新视角，这种细节上的打磨，是真正热爱数学的作者才会做出的努力。

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我是一位严肃的数学研究生，阅读这本书的体验是既痛苦又愉悦的。痛苦在于，它暴露了我知识结构中的许多空白——许多我以为自己掌握了的定理，在这本书的语境下显得肤浅且缺乏深度。愉悦则在于，它像一把手术刀，精准地切开了那些我长期以来感到模糊的交叉点。这本书的论证风格非常“欧几里得式”，但又融入了现代数学的严密性。例如，在讨论模空间与伽罗瓦群作用的相互作用时，作者的处理方式极其精妙，他没有直接抛出最终结论，而是通过构造一系列中间对象，每一步都充满了必要的限制和规范，直到最后，读者自然而然地得出那个结论。这比那种直接给出结论然后要求读者验证的教材要高明得多，它培养的是一种数学直觉和严谨的思维习惯，让人无法停止思考“还有没有更简洁的方法？”

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从一个致力于研究古典代数问题的角度来看，这本书提供了一个全新的、更具现代性的视角。我一直习惯于使用经典的方法去处理伽罗瓦群的问题，但这本书似乎在暗示，通过引入更强大的拓扑工具，我们可以解决那些传统方法难以触及的复杂情形。特别是关于黎曼曲面上的自同构群的讨论，我感觉自己像是被拉进了一个全新的维度。作者在讲解如何使用覆盖空间的概念来解码伽罗瓦群的结构时，那种步骤的递进感非常流畅，从基础的连通性到更高阶的同调信息，每一步都像是水到渠成。我发现自己不得不频繁地翻阅附录中关于基本群计算的部分，但这种回顾本身也帮助我巩固了更底层的知识，这本书的价值就在于，它不是孤立地存在，而是要求读者整合多个数学分支的知识才能真正理解其深度。

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这本书的封面设计非常吸引人，那种深邃的蓝色背景加上金色的几何图形，让人一眼就能感受到它蕴含的数学之美。我是在一个推荐书单上偶然发现它的，当时我对拓扑学和代数几何的交叉领域非常感兴趣，这本书的名字立刻抓住了我的注意力。我期望它能在我现有的代数知识体系之上，构建起一个更宏大、更具直观性的结构。初次翻阅时，那种扑面而来的严谨感和深度让我既兴奋又略感畏惧。作者似乎并未打算让读者轻松入门，而是直接将我们置于理论的核心地带，用一种近乎诗意的笔触勾勒出那些抽象的结构。不过，这种挑战性正是它吸引我的地方，我更喜欢那种需要反复咀嚼才能品出其精髓的文本，它更像是与一位智者进行深层次的对话，而非简单的信息传递。我特别欣赏其中对某些关键概念引入时的铺垫，虽然晦涩，但逻辑链条异常清晰，仿佛在引导读者自己去“发现”这些定理的必然性。

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这本书的内容涉及的领域之广，让我对作者的学术背景感到无比好奇。它不仅仅是简单地将“伽罗瓦群”和“基本群”并列，而是巧妙地构建了一条从离散代数结构到连续拓扑空间的桥梁。在我看来，这本书最大的贡献在于，它成功地将那些原本在各自领域内被视为高度专业化的问题，置于一个统一的框架下进行审视。我尤其对书中关于黎曼球面上群作用的分类理论的讨论印象深刻，那种将代数对称性与几何结构完美融合的描述，让人拍案叫绝。这本书的难度绝对属于研究生或专业研究人员的范畴，它不适合那些寻求快速入门代数拓扑或代数几何的读者。然而，对于那些寻求在这些领域建立深刻理解的人来说，这本书无疑是一笔极其宝贵的财富，它提供了一种看待数学问题的全新、富有启发性的视角，让人对未来可能的研究方向充满了新的憧憬。

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