Schur Algebras and Representation Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:Martin, Stuart

出品人:

页数:252

译者:

出版时间:1994-1

价格:$ 166.11

装帧:

isbn号码:9780521415910

丛书系列:

图书标签:

• Schur algebras
• Representation theory
• Combinatorics
• Algebra
• Mathematics
• Polynomials
• Symmetric functions
• Young tableaux
• Category theory
• Lie theory

《Schur代数与表示论》：探索群论与代数交织的深邃世界 这本书深入探究了Schur代数及其在表示论中的关键作用，为读者呈现了一个连接着抽象代数与群论的精妙领域。Schur代数，作为一种特殊的代数结构，源于对对称群表示的研究，其本身具有丰富的内在结构和广泛的应用前景。本书旨在系统地梳理Schur代数的理论框架，揭示其与经典群、量子群以及更广泛的代数表示理论之间的深刻联系。 第一章：有限群的表示初步 在进入Schur代数的具体讨论之前，我们首先回顾有限群表示论的基础知识。本章将详细介绍表示的基本定义，包括线性表示、不可约表示、完全可约表示等核心概念。我们将探讨表示之间的等价性，以及如何通过特征标理论来区分不同的表示。此外，还将介绍一些基本的群代数（Group Algebra）的性质，为后续Schur代数的构建奠定基础。理解群代数中的卷积运算以及其与表示之间的对应关系，是理解Schur代数的重要前置知识。本章还会简要触及一些简单的群，如循环群、对称群及其表示，为读者提供直观的感受。 第二章：对称群与代数张量积 本章开始将目光聚焦于对称群。我们将深入研究对称群 $S_n$ 的表示，特别是其不可约表示与Young图（Young Diagram）和Young列式（Young Tableau）之间的深刻联系。Young图和Young列式不仅是一种记号工具，更是刻画对称群不可约表示结构的关键。我们将详细阐述如何通过Young图构造对称群的模（Module），并证明这些模是不可约的。 紧接着，我们将引入代数张量积的概念。代数张量积是构造更复杂代数结构的重要工具，在表示论中，它常用于构造高阶对称群的表示，或者将已知表示组合成新的表示。本章将详细介绍代数张量积的定义、性质，以及它在对称群表示中的应用。例如，如何利用张量积将 $S_m$ 和 $S_n$ 的表示组合成 $S_{m+n}$ 的表示，以及其内在的代数结构。 第三章：Schur代数的定义与基本性质 终于，我们进入了本书的核心——Schur代数。本章将给出Schur代数的精确定义。Schur代数 $S(n, r)$ 是由对称群 $S_r$ 和一般线性群 $GL_n$ 之间的关系所定义的。我们将从一个或几个角度来理解Schur代数，例如，它可以看作是 $n imes n$ 矩阵代数 $M_n(mathbb{C})$ 的 $r$ 次张量积的中心化子（Centralizer），或者是由对称群 $S_r$ 的某些特定模作用诱导而来的代数。 我们将深入研究Schur代数 $S(n, r)$ 的基本性质，包括其作为代数上的模的结构，以及它与 $GL_n$ 和 $S_r$ 之间的联系。例如，我们将证明Schur代数是半单代数（Semisimple Algebra）的充分必要条件，这对于理解其表示理论至关重要。此外，还将探讨Schur代数的维数，以及它在某些特殊情况下的具体结构，例如当 $r le n$ 时，Schur代数与 $M_n(mathbb{C})$ 的某个子代数同构。 第四章：Schur代数的模 本章将重点分析Schur代数 $S(n, r)$ 的模（Module）。我们将利用Schur代数与 $GL_n$ 和 $S_r$ 的联系，来理解其模的结构。特别地，对于 $r le n$ 的情况，Schur代数 $S(n, r)$ 的模与 $GL_n$ 在 $n$ 维向量空间上的张量幂 $V^{otimes r}$ 的自同态代数（Endomorphism Algebra）的模紧密相关。我们将证明 $S(n, r)$ 的不可约模可以由Young图来标记，并给出构造这些模的具体方法。 我们将详细阐述Young图与Schur代数模之间的对应关系。这涉及到Young对称化算子（Young Symmetrizer）以及它们在构造对称群和Schur代数模中的作用。我们将证明，当 $r le n$ 时，Schur代数 $S(n, r)$ 的不可约模恰好对应于形状为 $lambda$ 的Young图，其中 $lambda$ 的行数和列数都小于等于 $n$。 第五章：Schur代数的结构与半单性 本章将深入研究Schur代数 $S(n, r)$ 的结构理论。我们将重点讨论其半单性（Semisimplicity）。我们知道，半单代数的表示论相对容易处理，因为它们可以分解为不可约模的直和。我们将给出Schur代数半单性的一个重要的充要条件，这通常与 $r$ 和 $n$ 的关系有关。 我们将探讨Schur代数 $S(n, r)$ 的中心（Center）的结构，以及它与其他代数（如 $M_n(mathbb{C})$ 的张量幂的中心化子）之间的关系。此外，还会讨论Schur代数的一些重要的代数性质，例如其代数根（Radical）的结构，以及在什么条件下Schur代数是单代数（Simple Algebra）或矩阵代数。 第六章：Schur代数与表示的计算 本章旨在提供一些计算性的工具和方法，以便更好地理解和应用Schur代数的理论。我们将介绍如何计算Schur代数的基（Basis），例如，可以使用Young列式来构造 $S(n, r)$ 的一个基。我们将通过具体的例子来演示如何进行这些计算，例如计算小规模的Schur代数的维数和基。 此外，本章还将介绍如何计算Schur代数的特征标（Character）。特征标是表示论中非常重要的工具，它提供了区分不同表示的有效方法。我们将展示如何利用Young图和组合方法来计算Schur代数模的特征标。 第七章：Schur代数与量子群 本章将拓展Schur代数的视野，探讨其与量子群（Quantum Group）的联系。量子群是经典李群的变形，在数学和物理中有广泛的应用。我们将介绍一种重要的量子群——量子群 $U_q(mathfrak{gl}_n)$，并展示Schur代数 $S(n, r)$ 如何成为其在某种意义下的“退化”版本或“限制”版本。 我们将探讨Schur代数与量子群 $U_q(mathfrak{gl}_n)$ 在 $q o 1$ 的极限下的联系。这种联系通常通过定义一种“量子Schur代数”来建立，它在 $q=1$ 时退化为经典的Schur代数。我们将介绍相关的定义和性质，揭示Schur代数作为量子群表示论中一个重要研究对象的地位。 第八章：Schur代数在组合学中的应用 本章将展示Schur代数及其表示论在组合学中的有趣应用。我们将探讨Schur代数与计数问题之间的联系，特别是与Young图相关的组合对象的计数。例如，Schur代数的某些模的维数与某些组合对象（如全射函数、排列）的数量直接相关。 我们将介绍如何利用Schur代数理论来解决一些经典的组合学问题，例如计算特定类型的排列的数量，或者研究Young图的性质。本章将通过具体的例子，展示抽象代数工具在解决实际组合问题中的威力。 第九章：Schur代数的推广与进阶主题 在本书的最后一章，我们将对Schur代数进行更广泛的展望。我们将介绍Schur代数的一些推广，例如 Schur-Weyl 递归（Schur-Weyl Recursion）和它们在更一般的代数结构中的应用。 此外，我们还将触及一些更进阶的主题，例如Schur代数与代数几何的联系，以及它在某些物理模型中的应用，如统计力学或量子场论。本章旨在为读者提供一个更广阔的视角，鼓励他们进一步探索Schur代数及其相关领域的奥秘。 总结 《Schur代数与表示论》是一本旨在为读者提供关于Schur代数及其在表示论中核心地位的全面而深入的介绍的书籍。本书从基础概念出发，逐步深入到Schur代数的定义、性质、模结构，并探讨了其与量子群、组合学等相关领域的联系。通过理论讲解与计算示例相结合的方式，本书力求使读者能够扎实掌握Schur代数的理论框架，并为进一步的学术研究和探索打下坚实的基础。本书适合于对抽象代数、群表示论、量子群理论以及组合学感兴趣的研究生、博士后及相关领域的学者。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆