Einfuhrung in die kombinatorische Topologie (AMS Chelsea Publishing) (German Edition) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Kurt Reidemeister

出品人:

页数:209

译者:

出版时间:1950-01-01

价格:USD 30.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780828400763

丛书系列:

图书标签:

• 拓扑学
• 组合拓扑学
• 数学
• 德国数学
• AMS Chelsea Publishing
• 经典数学
• 数学教材
• 点集拓扑
• 代数拓扑
• 数学史

流形、同调与拓扑不变量 本书旨在为读者提供一个深入理解组合拓扑学核心概念的坚实基础，重点关注几何对象在连续形变下保持不变的性质。我们将从组合学的角度出发，探讨如何将连续的几何空间离散化为易于处理的组合结构，并通过分析这些结构的代数不变量来揭示拓扑的内在规律。 第一部分：组合空间与基本群 我们将首先介绍组合空间的构造，即如何用点、线、面等基本单元来逼近拓扑空间。这包括对单纯复形（Simplicial Complex）的详细阐述，理解其顶点、边、面以及更高维度的单纯形如何构成一个整体。在此基础上，我们将引入同伦（Homotopy）的概念，以及路径（Path）和闭路（Loop）。 核心概念“基本群”（Fundamental Group）将在本章中得到深入剖析。我们将学习如何通过基本群来区分不同的拓扑空间，例如，为什么一个圆周的基本群与一个环面（Torus）的基本群不同。我们将研究生成元（Generators）和关系（Relations），以及如何利用这些代数工具来计算和理解基本群的结构。我们将涉及诸如万能覆盖空间（Universal Cover Space）等概念，它们为理解基本群提供了更直观的几何视角。 第二部分：同调论的构建 本部分将转向分析复形（Chain Complex）和同调群（Homology Group）的理论。我们将引入链（Chains）、边界算子（Boundary Operators）以及链复形的定义。通过研究边界算子在链之间的映射，我们将定义“链群”（Chain Group）以及“边界”（Boundary）和“链环”（Cycle）的概念。 同调群的定义将是本章的重点。我们将学习如何通过链复形中链环与边界之商来获得同调群。这些群作为拓扑空间的重要不变量，能够捕捉空间的“洞”和“连通性”等拓扑特征。我们将重点关注三个基本的同调群： 0维同调群 ($H_0$)： 它衡量了空间的连通分支数量。 1维同调群 ($H_1$)： 它与基本群密切相关，能够识别出空间的“一维洞”，例如圆周的“洞”。 2维同调群 ($H_2$)： 它能够识别出空间的“二维洞”，例如球体的“洞”。 我们将通过具体例子，如球面、环面、圆盘等，来计算它们的同调群，并展示同调论如何提供比基本群更强的分类能力。 第三部分：奇异同调与公理化方法 我们将进一步拓展同调的理论，引入奇异同调（Singular Homology）的概念。与单纯同调将空间分解为单纯形不同，奇异同调将连续映射（Singular Maps）从标准单纯形映射到拓扑空间中，并通过这些映射的代数组合来构建链复形。这种方法使得奇异同调能够应用于更广泛的拓扑空间，而不仅仅是单纯复形。 在本章中，我们将讨论公理化同调论（Axiomatic Homology Theory）的重要性。我们将介绍同调论应满足的几个基本公理，例如同伦不变性（Homotopy Invariance）、精确性（Exactness）以及五引理（Five-Lemma）。这些公理化的视角不仅统一了不同类型的同调论，也为证明同调群的各种性质提供了强大的工具。我们将探讨同构（Isomorphism）的概念，以及如何利用公理来证明两个空间的同调群是同构的，从而推断它们在拓扑上是等价的。 第四部分：链映射、同伦等价与切斯切尔不等式 我们将深入研究链映射（Chain Maps）以及它们如何诱导同调群之间的同态（Homomorphism）。理解链映射是连接不同复形之间的桥梁，它们能够将一个复形的代数结构传递到另一个复形。 “同伦等价”（Homotopy Equivalence）是拓扑学中的一个核心概念，它比同胚（Homeomorphism）更为宽松，允许空间发生一些“连续形变”，但仍然保持其拓扑性质。我们将学习如何利用链映射和同伦等价来证明拓扑空间在同伦意义下是等价的，并由此推断它们的同调群是相等的。 此外，我们将引入“切斯切尔不等式”（Poincaré Duality）这一重要理论。对于特定类型的流形（Manifolds），如紧致、无边界的流形，切斯切尔不等式建立了同调群与上同调群（Cohomology Groups）之间的深刻联系，从而为理解流形的拓扑结构提供了更全面的视角。我们将探讨其几何意义，以及如何利用这一工具来研究流形的某些内在性质。 第五部分：细胞同调与更广泛的应用 为了提供更有效的计算工具，我们将介绍“细胞同调”（Cellular Homology）的构造。与单纯同调不同，细胞同调通过逐层添加胞腔（Cells）来构建空间，并利用胞腔的连接关系来定义链复形。这种方法对于计算紧致流形的同调群尤其有效。 最后，我们将简要探讨组合拓扑学在其他领域的广泛应用，例如： 图论： 利用拓扑概念分析图的连通性、循环等性质。 计算机科学： 在数据分析、形状匹配、机器学习等领域应用形状的拓扑特征。 物理学： 研究凝聚态物理中的拓扑相、弦理论中的拓扑结构等。 本书致力于引导读者掌握组合拓扑学的基本工具和思想，为进一步深入研究微分拓扑、代数拓扑以及相关交叉学科领域打下坚实的基础。通过严谨的数学推导和丰富的示例，我们期望读者能够领略组合拓扑学之美，并激发对抽象数学结构的探索热情。

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