The Metric Theory of Banach Manifolds (Lecture Notes in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Ethan Akin

出品人:

页数:328

译者:

出版时间:1978-09-19

价格:USD 46.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540089155

丛书系列:

图书标签:

• Banach Manifolds
• Metric Theory
• Functional Analysis
• Differential Geometry
• Topology
• Mathematics
• Lecture Notes
• Infinite Dimensional Manifolds
• Geometry
• Analysis

Banach流形的度量理论 引言 《Banach流形的度量理论》一书深入探讨了 Banach 流形这一高维空间中的几何学分支。Banach 流形是无限维流形的一类重要实例，它们在量子场论、广义相对论以及许多其他数学和物理领域有着广泛的应用。本书专注于研究这些流形上的度量结构，即如何在其上定义距离和角度，以及这些度量结构如何影响流形的几何性质。 核心内容概述 本书的研究核心在于将有限维黎曼几何中的经典概念推广到无限维的 Banach 流形上。这涉及到对以下几个关键领域的详尽阐述： Banach 流形的基本概念： 首先，本书会建立坚实的理论基础，详细介绍 Banach 流形的定义、构造和重要性质。这包括局部欧几里得结构、光滑映射、切空间以及正切丛等概念，并解释它们如何在无限维的情境下得到自然的推广。对于从有限维几何过渡到无限维空间的读者，这部分将提供清晰的指引。 度量张量的定义与性质： 核心内容之一是对 Banach 流形上的度量张量的定义。在有限维黎曼几何中，度量张量是一个二阶张量场，它允许我们在流形上计算长度、角度、体积等几何量。本书将精确地定义无限维的度量张量，并讨论其存在的条件以及在局部坐标系下的表达形式。会重点分析度量张量的光滑性、正定性以及它如何决定流形的局部几何形态。 测地线与曲率： 度量张量赋予了流形测地线的概念，即连接两点的“最短路径”。本书将深入研究 Banach 流形上的测地线方程，并分析其性质，例如测地线的存在性、唯一性以及它们如何反映流形的几何结构。此外，本书还会探讨曲率的概念，包括里奇曲率和数量曲率等，并研究它们与度量张量之间的深刻联系。这些曲率信息对于理解流形的全局形状至关重要。 共变微分与联络： 度量张量也要求我们引入共变微分的概念，它允许我们在流形上光滑地移动向量场。本书将详细介绍适合 Banach 流形的联络形式，例如 Levi-Civita 联络，并讨论其唯一性条件。共变微分是定义曲率张量以及研究向量场平行移动的关键工具。 重要的例子与应用： 为了让抽象的理论更具象化，本书会提供大量具体的 Banach 流形及其度量理论的例子。这些例子可能包括： 希尔伯特流形（Hilbert manifolds）： 这是 Banach 流形中最常见也最重要的类型之一，其度量理论已经得到了较深入的研究。 李群的度量几何： Banach 空间中的李群具有丰富的代数和几何结构，度量理论可以揭示其内在的几何特性。 函数空间上的度量： 许多重要的数学对象，如路径空间、解空间等，都可以被视为函数空间上的点，而这些函数空间本身又是 Banach 流形。研究它们上的度量理论对于理解这些空间的几何性质至关重要。 几何分析中的应用： 本书的理论也将在几何分析的领域找到应用，例如研究偏微分方程的解空间、调和映射的性质等。 高级主题： 随着读者对基本概念的掌握，本书还将涉足更高级的主题，例如： （可能）黎曼度量的存在性问题： 在无限维空间中，度量张量的存在性本身就是一个重要且复杂的问题，本书可能会探讨相关的条件和结果。 （可能）可积性条件与连接的性质： 讨论度量张量与联络之间的兼容性，以及由此产生的几何结论。 （可能）特殊流形上的度量性质： 例如，在某些特定的 Banach 流形上，度量张量是否满足某些特殊的条件，从而赋予流形更强的几何结构。 本书特点与目标读者 《Banach流形的度量理论》旨在为读者提供一个全面且严谨的 Banach 流形度量几何的入门和进阶读物。本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，并通过丰富的例子来佐证理论。 本书的目标读者包括： 数学专业研究生： 特别是那些对微分几何、偏微分方程、泛函分析以及理论物理（如量子场论、弦理论）感兴趣的学生。 研究人员： 任何需要利用 Banach 流形及其度量理论来解决问题的研究人员。 具有相关背景的学者： 已经熟悉有限维黎曼几何，并希望将其知识扩展到无限维空间的数学家。 通过对 Banach 流形度量理论的深入学习，读者将能够更好地理解和分析高维空间的几何特性，为解决更广泛的数学和物理问题打下坚实的基础。本书将引导读者探索一个既抽象又充满活力的数学领域。

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