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出版者:Birkhauser Verlag AG

作者:Manfredo P.Do Carmo

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1991-12

价格:USD 64.13

装帧:Hardcover

isbn号码:9783764334901

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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好的，这是一本关于拓扑学的图书简介，该书深入探讨了拓扑空间的性质、连续映射以及拓扑结构下的基本不变量，旨在为读者提供一个全面而扎实的拓扑学基础。 --- 《流形上的拓扑结构与同调理论：从基础概念到高级应用》 图书简介 本书旨在为数学系本科高年级学生、研究生以及对现代几何学和拓扑学感兴趣的研究人员提供一本全面、严谨且富有启发性的拓扑学导论。我们的重点将放在拓扑空间的内在结构、连续性的精确描述，以及在几何对象上定义和计算拓扑不变量的方法上。尽管我们不会深入探讨黎曼几何的具体技术，但本书将为理解流形作为拓扑空间的性质奠定坚实的基础，这对于后续学习微分几何、代数几何乃至理论物理中的拓扑场论都是至关重要的。 全书内容组织如下： 第一部分：拓扑空间的构造与基本性质 本书的开篇致力于精确定义拓扑空间的概念，并以此为基础，构建起整个拓扑学的框架。 第一章：拓扑空间的奠基 我们从集合论的背景出发，引入拓扑结构的概念——开集族。我们将详细讨论开集、闭集、邻域、内点、外点和边界点的定义及其相互关系。核心内容包括：如何从其他结构（如度量、排序或基）导出拓扑结构。 第二章：连续性与拓扑保持映射 连续映射是拓扑学的核心概念。本章深入剖析了在拓扑空间之间定义连续性的方式，并将其与度量空间中的概念进行对比。我们将重点分析函数的开闭性保持性质，并引入同胚（Homeomorphism）的概念，强调同胚是拓扑学中最重要的等价关系——它保留了所有的拓扑性质。 第三章：构造新的拓扑空间 如何从已知的拓扑空间构造出新的空间是拓扑学的一大挑战。本章详细介绍了子空间拓扑、商拓扑、积拓扑和余积（不交并）拓扑的定义、性质及构造方法。我们将通过大量的例子（如圆周 $S^1$ 作为一个流形的原型）来阐明这些构造在几何直觉中的意义。特别是商拓扑的构建，为理解商空间（如射影空间）提供了必要的工具。 第四章：连通性与路径连通性 连通性是描述空间整体结构的关键拓扑不变量。本章区分了连通空间（无法分解为不相交开集的空间）和路径连通空间（任意两点间存在连续路径连接的空间）。我们证明了路径连通性蕴含连通性，并讨论了在积空间和商空间下这些性质的保持情况。 第五章：紧致性——拓扑学的“有限性” 紧致性是比有限性更抽象、更强大的性质。本章将严格定义紧致空间（通过开覆盖的有限子覆盖定义），并论证其在度量空间中的等价形式——有界闭子集性质。我们将探讨Heine-Borel定理的拓扑推广，并分析紧致性如何在连续映射下保持，这对于分析函数空间中的收敛性至关重要。 第二部分：代数拓扑的初探：基本群 在建立了基础的拓扑概念后，本书转向代数拓扑，即使用代数工具来区分拓扑空间。基本群是第一个也是最直观的拓扑不变量。 第六章：基础：路径与同伦 我们引入路径的概念，并定义了路径的乘法和逆元。随后，我们深入探讨同伦（Homotopy）的概念，它允许我们将路径视为可形变的“橡皮筋”。我们将证明同伦关系是等价关系，并建立路径类。 第七章：基本群的构造与性质 以一个指定基点 $x_0$ 开始的闭合路径的同伦类构成基本群 $pi_1(X, x_0)$。本章详细阐述了如何定义群运算（路径的连接）以及如何证明其满足群公理。我们将展示基本群是如何捕捉空间中“洞”的代数结构。 第八章：应用：区分空间 本章是基本群应用的集中体现。我们将计算几个经典空间的 $pi_1$： 1. 欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 和凸集： 证明其基本群是平凡群 ${e}$。 2. 圆周 $S^1$： 详细计算 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$，引入绕数（Winding Number）的概念，这是连接分析学和拓扑学的桥梁。 3. 二维环面与射影平面： 探讨如何利用商空间和覆盖空间的概念来计算更复杂的 $pi_1$。 我们将证明基本群对同胚是稳定的，从而能够区分那些在视觉上相似但拓扑结构不同的空间。 第三部分：同调论导论 虽然基本群在处理“一维洞”方面非常有效，但它在处理更高维的洞时计算复杂且难以处理非阿贝尔群。因此，本书引入了同调论 (Homology Theory)，这是区分拓扑空间更强大、更系统的工具。 第九章：链复形与边界算子 我们从代数角度定义单纯形（Simplex）——点、线段、三角形、四面体等——以及它们的带定向的组合 $n$-链群 $C_n(X)$。本章的核心是引入边界算子 $partial_n$，它将 $n$-链映射到 $(n-1)$-链，并证明其关键性质 $partial_{n} circ partial_{n+1} = 0$。 第九章：同调群的代数定义 利用边界算子的零复合性质，我们定义了循环群 $Z_n$（核 $ker(partial_n)$，即边界为零的链）和边界群 $B_n$（像 $ ext{Im}(partial_{n+1})$，即某物体的边界）。最终，第 $n$ 个同调群 $H_n(X)$ 被定义为商群 $Z_n / B_n$。我们将详细解释同调群的元素如何代表空间中“不可收缩的 $n$ 维洞”。 第十一章：马耶尔-维托里斯序列与同调的计算 本章介绍了同调论中最重要的计算工具之一：马耶尔-维托里斯长正合序列。该工具允许我们通过分解空间并分析其重叠部分来递归地计算整体的同调群。我们将使用此工具计算： 1. 球面 $S^n$ 的同调群： 证明 $H_k(S^n) cong mathbb{Z}$ 仅当 $k=0$ 或 $k=n$，在其他地方为零。 2. 环面 $T^2$ 的同调群： 详细计算二维流形的同调结构。 第十二章：同调的自然性与应用 我们证明了同调是一个函子 (Functor)，这意味着任何连续映射 $f: X o Y$ 都会诱导出同调群之间的线性映射 $f_: H_n(X) o H_n(Y)$。这种自然性使得同调成为区分拓扑空间强有力的代数不变量。最后，我们将简要讨论布劳威尔不动点定理在同调论背景下的解释，以及欧拉示性数作为同调群的线性组合如何作为一个重要的拓扑数值特征。 --- 本书的结构从基础的集合拓扑过渡到处理几何形状的代数工具。它强调概念的清晰定义、定理的严谨证明，并通过大量计算实例来巩固读者的理解。通过对这些核心拓扑概念的掌握，读者将为进一步探索微分几何、特别是黎曼流形上的结构和度量（如曲率的拓扑意义）做好充分的准备。

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这本书，坦白说，我刚拿到它的时候，心里是带着几分忐忑的。封面设计简洁有力，但内容本身， Riemannian Geometry，光是名字就足以让人感到一丝敬畏。我并非数学科班出身，虽然对数学有着浓厚的兴趣，但微分几何这块，一直是我的软肋。我听说过黎曼几何在现代数学，特别是在理论物理领域，扮演着至关重要的角色，从广义相对论到弦理论，似乎都离不开它的身影。因此，我抱着学习和探索的心态，试图走进这个抽象而深刻的数学世界。我记得第一次翻开这本书，那些陌生的符号和概念，像层层叠叠的迷雾，让我有些不知所措。那些关于流形、张量、联络、曲率的描述，初读之下，确实令人望而生畏。我花了相当长的时间，才慢慢消化书中的一些基本定义和定理。但我能感觉到，作者在构建这个体系时，有着一种严谨的逻辑和深刻的洞察力。他试图用一种清晰、有条理的方式，引导读者一步步理解这个复杂的世界。当然，作为一个非专业读者，我不可能完全掌握书中的每一个细节，但我能体会到作者的良苦用心，他试图在严谨性和可读性之间找到一个平衡点。这本书并非是那种泛泛而谈的科普读物，它要求读者具备一定的数学基础，并愿意投入时间和精力去思考和理解。尽管如此，我依然对这本书充满了期待，我相信，通过反复的研读和思考，我一定能从中获益匪浅，更深入地理解数学的魅力以及它与现实世界的联系。

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这本书给我的感觉是，它不仅仅是一本数学教材，更像是一扇通往深刻数学思想的大门。作者在介绍“曲率”这个核心概念时，并没有仅仅停留在代数公式的层面，而是花了很多心思去阐释它背后的几何意义。我记得作者在解释“里奇曲率”时，他用了“平行移动一个向量，然后将它沿着不同的路径再平行移动回来，最后比较其变化”的方法来帮助理解。这种细致的入微的解释，让我得以窥见曲率是如何度量空间弯曲的。书中关于“测地线方程”的推导也十分严谨，作者详细解释了协变导数在其中的作用，以及如何利用它来定义“最速下降路径”。我印象深刻的是，作者在介绍“全纯流形”和“凯勒流形”时，他将微分几何的工具与复分析的观念相结合，展现了数学不同分支之间的深刻联系。这本书的习题设计也很有挑战性，很多题目都需要综合运用书中的多个概念才能解答。我曾经为了解决一道关于“常曲率流形”的习题，而花费了很长的时间去研究相关的几何性质。总的来说，这本书的深度和广度都令人印象深刻，它让我对黎曼几何有了更深刻的理解和更浓厚的兴趣。

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这本书在理论的深度和广度上都令人称道。它不仅仅是介绍黎曼几何的基本概念，还触及了许多前沿的研究方向，例如微分几何与拓扑的联系，以及黎曼几何在物理学中的应用。作者在介绍一些更高级的概念时，比如“黎曼流形的度量性质”和“外微分”与“李导数”，都做了非常详尽的阐述。我尤其喜欢作者对“曲率”概念的深入挖掘。他不仅介绍了高斯曲率和平均曲率，还详细解释了里奇曲率和斯卡拉曲率的几何意义，以及它们与空间形状之间的微妙联系。书中关于“曲率张量”的介绍，让我对弯曲空间有了更深刻的认识。作者通过一些具体的例子，例如球面和双曲面，来帮助读者理解不同曲率的含义。我记得在学习“法丛”和“法向截面曲率”时，作者的解释非常到位，他用“二维切平面”在曲面内部的“切割”来形象地说明这些概念。这本书的另一大特色是它对数学史的梳理。作者在介绍一些重要概念时，会提及相关数学家的贡献，这让我在学习技术知识的同时，也能了解到数学发展的脉络和演变。这种人文关怀，让冰冷的数学公式变得更加有温度。

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这本书的叙述风格是那种一丝不苟、严谨到极致的类型，每一个定义、每一个定理都经过了精确的数学语言的雕琢。作者在介绍“张量分析”时，非常细致，他从张量的分量表示开始，然后逐步引入张量的运算，例如张量的加法、乘法和缩并，并详细解释了它们在几何中的应用。我记得在学习“曲率张量”的几何意义时，作者通过对“平行移动”的深入分析，解释了曲率是如何度量在弯曲空间中，平行移动的向量回到原点时发生的变化。他用“德拉姆算子”和“霍奇分解”等工具，来阐释曲率与拓扑学之间的深刻联系。书中关于“黎曼流形的联络”的介绍也让我受益匪浅，作者详细阐述了平行移动的概念，以及如何通过联络来定义曲率。我记得在学习“里奇流”这个概念时，作者的解释非常清晰，他描述了里奇流如何通过扩散的方式，使得流形的曲率分布趋于平滑。这本书的习题设计也很有挑战性，很多题目都需要综合运用书中的多个概念才能解答。我曾经为了解决一道关于“常曲率流形”的习题，而花费了很长的时间去研究相关的几何性质。总的来说，这本书为我提供了一个非常深刻和系统的黎曼几何学习体验，让我能够更深入地理解这个数学分支的精髓。

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这本书的深度足以让数学专业学生受益，同时，作者也努力让对黎曼几何感兴趣的非专业人士能够有所收获。我尤其欣赏作者在介绍“黎曼流形的微分形式”时，所采用的循序渐进的方法。他从基础的微分形式开始，然后逐步引入外微分、楔积和霍奇对偶等概念，并且详细解释了它们在黎曼几何中的应用。我记得在学习“德拉姆定理”时，作者通过类比“空间的洞”来解释上同调的意义，让我对这个抽象的数学工具有了直观的理解。书中关于“黎曼流形的测地性和指数映射”的章节也非常详尽。作者不仅给出了指数映射的严格定义，还详细阐述了它在黎曼流形上的性质，以及如何利用它来定义“可积性”和“凸性”。我记得在学习“曲率张量”的分解和性质时，作者进行了非常细致的分析，解释了不同的曲率分量分别代表了什么几何信息。这本书还涉及到一些关于“调和函数”和“调和微分形式”的内容，这让我对黎曼几何与分析学之间的联系有了初步的认识。总的来说，这本书提供了一个非常全面的黎曼几何学习路径，让我能够系统地掌握这个领域的知识。

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这本书的结构组织得非常有条理，它从最基本的概念开始，循序渐进地引入更复杂的理论。作者在解释向量丛、切丛、余切丛等概念时，都非常细致，并且给出了清晰的定义和例子。我特别欣赏作者在讲解“张量”这个关键概念时的处理方式。他并没有一开始就抛出复杂的张量代数，而是从向量和余向量的运算开始，逐步引出张量的概念，并解释了它在几何中的作用，比如协变张量和逆变张量如何描述几何量。书中关于“黎曼联络”的介绍也让我受益匪浅。作者详细解释了平行移动的概念，以及如何通过联络来定义曲率。我记得在学习“曲率张量”的定义时，我花了很长时间去理解它到底在描述什么。作者通过对平行移动的比较，解释了曲率是如何度量在弯曲空间中平行移动的向量在回到原点时发生的变化。这本书还包含了一些关于“李群”和“李代数”的初步介绍，虽然这部分内容对我来说相对比较抽象，但我能感受到它在黎曼几何研究中的重要性。总的来说，这本书提供了一个非常扎实的黎曼几何基础，让我对这个领域有了更全面的认识。

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这本书给我最直观的感受是，它是一个非常扎实的数学工具箱，里面装满了理解弯曲空间的强大武器。作者在讲解“度量张量”时，非常细致，他不仅给出了度量张量的定义，还详细阐述了它在计算长度、角度和体积中的作用。我记得在学习“黎曼流形的曲率”时，作者用了大量的篇幅去介绍各种曲率，比如高斯曲率、平均曲率、里奇曲率和斯卡拉曲率，并分别解释了它们在几何上的意义。他通过一些具体的例子，比如球面、圆柱面和平面，来帮助读者理解不同曲率的含义。书中关于“测地线”的介绍也让我印象深刻，作者详细阐述了测地线方程的推导过程，以及测地线如何描述弯曲空间中的“直线”。我记得在学习“指数映射”时，作者的解释非常到位，他用“从某一点出发，沿切向量方向前进”来形象地说明指数映射的作用。这本书还涉及到一些关于“微分同胚”和“同胚”的概念，这让我对流形的拓扑性质有了初步的认识。总的来说，这本书为我提供了一个非常坚实的黎曼几何基础，让我能够更自信地探索这个领域。

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这本书的优点在于它提供了一个非常系统和完整的黎曼几何框架。从最基础的拓扑概念引入，到微分流形、光滑映射，再到黎曼度量、联络，最后深入到曲率张量及其各种类型（里奇曲率、斯卡拉曲率等等），整个逻辑链条非常清晰。我尤其欣赏作者在介绍一些核心概念时，所使用的类比和几何直观的解释。比如，在解释切空间时，他会用汽车的行驶方向来帮助理解；在描述联络时，则会强调它如何“平行地”移动向量。这些细节虽然看似微小，但对于初学者建立概念模型至关重要。我印象深刻的是，作者在讲解里奇曲率时，并没有仅仅停留在公式的推导上，而是花了相当篇幅去阐述它在几何上的意义，比如它如何描述体积的膨胀或收缩。这让我得以跳出公式的束缚，去感受黎曼几何的灵魂。另外，书中大量的例题和习题也是这本书的一大亮点。这些习题并非简单的计算，而是包含了理论的深化和应用的拓展。虽然有些习题对我来说还是颇具挑战性，但通过尝试解决它们，我能够更扎实地掌握书中的知识。而且，很多习题的解答都提供了非常有价值的提示，让我能够在卡住的时候获得启发。这本书的排版设计也非常人性化，公式清晰，符号规范，阅读体验很好。

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这本书的语言风格非常严谨，但也并非枯燥无味。作者在必要的时候，会穿插一些历史性的注解和数学家的趣闻，这让阅读过程不至于过于沉闷。我印象最深刻的是，作者在介绍“测地曲率”时，他通过描述一个在球面上移动的“粒子”，来形象地解释测地曲率是如何衡量粒子运动轨迹偏离测地线的程度。这种富有想象力的比喻，让我对抽象的数学概念有了更生动的理解。书中关于“法截面曲率”的讲解也十分精彩。作者不仅给出了数学定义，还通过对比不同曲面的法截面曲率，来展示曲面的弯曲程度。例如，他会用球面的法截面曲率恒大于零来解释球面的凸性，以及用双曲面的法截面曲率恒小于零来解释双曲面的凹性。我记得在学习“里奇流”这个概念时，作者的解释非常清晰，他描述了里奇流如何像“热传导”一样，使得流形的曲率分布趋于平滑。这本书的习题设计也很有意思，很多题目不仅仅是简单的计算，而是需要对概念有深刻的理解才能解答。我曾经为了解决一道关于“卡拉比-丘流形”的习题，而查阅了大量的相关资料，最终才有所领悟。

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阅读这本书的过程，对我而言，更像是一场智力上的探险。它不是那种可以轻松翻阅的书，而是需要沉下心来，仔细揣摩每一个定义、每一个定理、每一个推导。我记得在学习“指数映射”这一章节时，我花费了几个晚上反复琢磨，试图理解它如何在局部将切空间中的向量映射到流形上的点。作者通过详细的例子和图示，帮助我逐渐建立了直观的认识。而当涉及到“测地线”的概念时，我更是被它优美的定义所吸引——那些“最短路径”在弯曲空间中的模样，简直令人着迷。这本书的叙述方式，有时会显得比较“密集”，需要读者主动去填补一些中间的逻辑空白，但这恰恰也增加了它的深度和挑战性，使得每一次的理解都来之不易，也更加珍贵。我曾经在某个定理的证明过程中卡壳了很久，然后翻阅了附录中的相关内容，又查阅了一些其他的资料，最终豁然开朗，那种感觉，真是难以言喻。它让我体会到了数学研究的艰辛，也让我更加敬佩那些为这个领域做出贡献的数学家们。我不能说我完全理解了书中所有的内容，但我相信，这本书已经在我心中种下了一颗种子，它让我看到了一个更加广阔、更加精妙的数学世界。

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确实不错

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9-13章是尤为有趣的部分，大赞球面定理。这书的缺点是例子少了点，例子还是要看petersen的书上的。

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只是篇幅有点少

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