The theory of determinants and their applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cornell University Library

作者:Robert Forsyth Scott

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1904-01-01

价格:USD 23.99

装帧:Paperback

isbn号码:9781429704618

丛书系列:

图书标签:

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• 理论研究

《数学的基石：代数理论与解析几何的融合》 本书并非《行列式的理论及其应用》的姊妹篇，而是独立成章，深入探索数学领域中另外两大至关重要的分支——抽象代数理论与解析几何。我们将从最基础的概念出发，逐步构建起一个严谨且富有洞察力的数学框架，旨在为读者提供一个理解现代科学与工程背后深刻数学原理的坚实基础。 第一部分：抽象代数理论的宏伟蓝图 抽象代数，这门研究代数结构（如群、环、域）的学科，是现代数学的基石之一。它提供了一种超越具体数字运算的普遍视角，使我们能够识别和利用不同数学系统中存在的共性。 集合论导论：构建数学的语言。 在深入探讨代数结构之前，我们首先需要掌握描述这些结构的语言——集合论。我们将从集合的基本概念入手，包括元素的归属、集合的包含关系、空集、全集等。然后，我们会深入研究集合之间的运算，如并集、交集、差集和笛卡尔积。理解这些基本操作对于构建更复杂的数学对象至关重要。我们将探讨集合的基数，了解有限集和无限集的区别，并引入可数与不可数的概念，为后续的理论发展奠定基础。 关系与函数：连接与映射的艺术。 关系是集合元素之间的联系，而函数则是特殊的关系，它们描述了集合之间的有序映射。我们将详细讲解关系的性质，如自反性、对称性、反对称性和传递性，以及等价关系和偏序关系。在此基础上，我们将深入研究函数的定义、性质（如单射、满射、双射）以及函数的复合。函数是代数结构之间联系的桥梁，理解它们是掌握同态和同构等概念的前提。 群论：对称性与结构的统一。 群是抽象代数中最基本也是最核心的概念之一。我们将首先定义群的四个基本公理：封闭性、结合律、单位元存在性以及逆元存在性。通过丰富的例子，如整数加法群、非零实数乘法群、置换群等，来直观理解群的概念。我们将深入探讨子群、陪集、正规子群和商群等重要概念。正规子群是构建商群的关键，它揭示了群的内部结构。 群同态与同构：揭示数学结构的本质。 群同态是保持群结构的操作，它将一个群的元素映射到另一个群，同时保持群运算的性质。我们将通过大量实例来阐述同态的定义及其性质。在此基础上，我们将引入群同构的概念，它指的是一种“一对一”的同态，表明两个群在结构上是完全相同的，只是元素的表示不同。理解同构有助于我们认识到许多看似不同的数学对象实际上具有相同的底层结构。 有限群的应用：从对称到计数。 有限群在几何、化学、物理以及密码学等领域有着广泛的应用。我们将探讨有限群的一些基本性质，例如拉格朗日定理，它给出了有限群子群阶数的重要关系。我们还将简要介绍一些重要的有限群家族，如循环群、对称群，并展示它们在理解多边形对称性、分子结构等问题中的作用。 环论：代数运算的扩展。 环在群的基础上引入了第二种运算，通常是“加法”和“乘法”。我们将定义环的公理，包括加法群的性质以及乘法的分配律。我们将研究交换环、整环和域等特殊类型的环。域是环论中最重要的一种结构，它不仅满足环的所有性质，而且其中的非零元素都存在乘法逆元，这使得我们可以进行除法运算，与我们熟悉的实数和复数域的性质相呼应。 理想与商环：结构分解的利器。 理想在环论中扮演着与正规子群在群论中相似的角色，它是环的“好”子集，允许我们构造商环。我们将详细定义左理想、右理想和双边理想，并重点研究双边理想。商环的构造提供了一种将复杂环分解为更简单部分的强大方法，这在代数数论和代数几何中尤为重要。 多项式环：代数与函数的桥梁。 多项式环是理解代数方程和函数的重要工具。我们将研究多项式环的性质，例如域上的多项式环是否具有欧几里得域的性质，以及是否存在主理想整环和唯一因子分解整环。这些性质直接关系到多项式的因式分解和根的性质。 域论：方程求解与伽罗瓦理论。 域是包含加法和乘法运算，并且所有非零元素都可逆的代数结构。我们将深入研究域的扩张，即从一个域构造一个包含它的更大域。这将自然引出多项式的根域概念。 域扩张与根域：理解方程的可解性。 域扩张是理解代数方程解的存在性的关键。我们将学习如何构造一个包含给定域和某个多项式所有根的最小域，即根域。这将为理解一元二次方程、三次方程乃至四次方程的求根公式提供理论依据。 伽罗瓦理论的初探：对称性与根的联系。 伽罗瓦理论是抽象代数中最具深度和美感的理论之一，它揭示了多项式方程的根与其对称性之间的深刻联系。我们将简要介绍伽罗瓦群的概念，即作用在多项式根上的自同构群。伽罗瓦理论的核心思想是，一个多项式方程是可解的（即其根可以用根式表示），当且仅当它的伽罗瓦群是可解群。我们将初步探讨这个思想，为理解五次方程为何不能用根式求解提供深刻的解释。 第二部分：解析几何的精确刻画 解析几何，由笛卡尔开创，是数学上的一次革命，它将代数与几何紧密地结合在一起，使我们能够用代数方程来描述和研究几何图形。 坐标系与点：空间的数字化。 我们将从二维和三维笛卡尔坐标系开始，学习如何用有序数对（或有序数组）来精确地表示点的位置。我们将定义距离公式，精确刻画两点之间的欧几里得距离，这是所有几何度量的基础。 直线与平面：几何对象的代数表达。 我们将学习如何用代数方程来表示直线和平面。在二维空间中，直线可以用一元一次方程 $Ax + By + C = 0$ 来表示；在三维空间中，平面则可以用类似形式的方程 $Ax + By + Cz + D = 0$ 来表示。我们将研究直线的斜率、截距，以及点斜式、两点式等不同方程形式，并学习如何判断两条直线的位置关系（平行、相交、重合）。对于平面，我们将研究其法向量的概念，以及如何确定两个平面之间的位置关系（平行、相交、重合）。 圆锥曲线：优雅的二次方程。 圆锥曲线，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线，是解析几何中最常见也最美丽的几何图形。我们将学习如何通过二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 来识别和刻画这些曲线。 圆的方程：距离的几何体现。 圆的标准方程 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ 直接反映了圆上所有点到圆心的距离都等于半径。我们将研究圆的参数方程，以及如何通过一般二次方程识别一个圆，并求解其圆心和半径。 椭圆的几何性质：焦点与长短轴。 椭圆的定义是平面上到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹。我们将详细推导椭圆的标准方程 $frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$（或 $frac{(x-h)^2}{b^2} + frac{(y-k)^2}{a^2} = 1$），并解释其中 $a$（半长轴）、$b$（半短轴）和焦点之间的关系。我们将讨论椭圆的离心率，它衡量了椭圆的扁平程度。 抛物线的定义与方程：轨迹的无限延伸。 抛物线是平面上到一点（焦点）的距离等于到一条直线（准线）的距离的点的轨迹。我们将推导抛物线的标准方程 $y^2 = 4px$（或 $x^2 = 4py$），并解释焦点和准线的位置。我们将探讨抛物线的反射性质，这在卫星天线和望远镜的设计中至关重要。 双曲线的特性：渐近线与离心率。 双曲线的定义是平面上到两个固定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹。我们将推导双曲线的标准方程 $frac{(x-h)^2}{a^2} - frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$（或 $frac{(y-k)^2}{a^2} - frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$），并研究其渐近线，它们是双曲线在无穷远处趋近的直线。我们将讨论双曲线的离心率，它大于1，且离心率越大，双曲线越“张开”。 三维解析几何：空间的深度探索。 在三维空间中，解析几何的威力更加凸显。我们将研究空间中的点、直线和平面，并引入向量的概念。 向量：空间中的方向与大小。 向量是描述空间中位移、速度、力等物理量的基本工具。我们将学习向量的加法、减法、数乘以及点积和叉积。点积可以用来计算向量之间的夹角和投影，而叉积则用于计算垂直于两个给定向量的向量，这在计算面积和确定法向量时非常有用。 空间中的直线与平面：方程的扩展。 我们将学习空间中直线的参数方程和对称方程，以及平面的一般方程和点法式方程。我们将研究两条直线、直线与平面、两个平面之间的位置关系，并学习如何计算它们之间的距离。 二次曲面：三维空间的曲线。 类似于二维的圆锥曲线，三维空间中也存在各种由二次方程描述的曲面，称为二次曲面。我们将介绍一些重要的二次曲面，如球面、椭球体、抛物面、双曲面等，并通过它们的方程来理解它们的形状和性质。 结语 《数学的基石：代数理论与解析几何的融合》并非仅仅罗列定义和定理，而是力求通过清晰的逻辑、丰富的例子和深入的讲解，引导读者理解这些数学概念是如何相互关联，以及它们如何在更广阔的数学体系中发挥作用。本书的目标是培养读者的数学思维能力，让他们能够运用这些强大的工具去分析和解决现实世界中的问题，无论是探索宇宙的奥秘，还是设计精密的工程。我们相信，通过对这些基础理论的深入学习，读者将能领略到数学的优雅与力量。

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