Unitary Group Representations in Physics, Probability, and Number theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:George W. Mackey

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isbn号码:9780805367034

丛书系列:Mathematics Lecture Notes Series

图书标签:

• Unitary Representations
• Group Theory
• Physics
• Probability
• Number Theory
• Mathematical Physics
• Quantum Mechanics
• Harmonic Analysis
• Special Functions
• Representation Theory

群表示理论的深邃视角：从粒子物理到概率统计再到数论的跨越 本书旨在深入探索酉群表示理论这一跨越多个学科前沿的数学工具。我们将目光聚焦于其在现代物理学、概率论以及数论等关键领域的核心应用，揭示这一抽象数学概念如何成为理解自然界 fundamental laws、量化不确定性以及揭示数之深层结构的关键钥匙。本书的叙述将力求严谨，同时兼顾清晰的逻辑，为读者勾勒出一幅壮丽的数学图景，展示酉群表示理论的强大力量和深远影响。 第一部分：酉群表示理论的基石 在本部分，我们将首先构建理解酉群表示理论所需的基础。我们将从群论的基本概念入手，详细介绍群、子群、陪集、正规子群等核心概念，为后续的表示理论打下坚实基础。随后，我们将重点阐述酉群的定义及其重要性，强调其在描述物理系统中保持内积（或长度）的变换中的作用。 接下来，我们将进入表示理论的核心。我们将定义群表示，将其理解为将群的抽象运算映射到向量空间上的线性变换。我们将深入探讨酉表示，即保持向量空间内积的表示，并阐明其在物理学中的不可或缺性。本书将详细介绍不可约表示的概念，并阐述完备集和酉酉等价等重要性质。我们将引入特征标理论，讲解如何利用特征标来刻画和区分表示，并介绍一些重要的特征标定理，如正交性定理。此外，我们还将探讨表示的张量积以及如何从已知表示构建新的表示。 为了使读者对这些抽象概念有更直观的认识，我们将提供一系列基础例子。例如，我们将分析有限群的表示，如对称群 $S_n$ 的表示，并展示如何利用特征标表来分析其结构。我们还将初步接触连续群，例如 $U(1)$ 群的表示，并预示其在物理学中的联系。 第二部分：酉群表示在物理学中的应用 在打下坚实的理论基础后，本书将重点转向酉群表示理论在物理学中的广泛应用。我们将首先考察其在量子力学中的核心地位。量子力学中的系统状态由希尔伯特空间中的向量表示，而物理系统的演化则由酉算符描述。酉群的表示理论自然而然地成为描述这些酉变换和对称性的框架。 我们将深入探讨粒子物理学中的应用。例如，我们将在洛伦兹群 $SO(1,3)$ 的表示理论框架下，理解自旋的概念。我们将解释狄拉克方程如何源于对洛伦兹群表示的分析，并展示费米子和玻色子的区分与洛伦兹对称性之间的深刻联系。此外，我们将介绍庞加莱群的表示，以及其如何描述自由粒子的质量和自旋谱。 本书还将关注内部对称性的表示。我们将探讨 $SU(2)$ 群的表示，并将其与量子力学中的角动量理论联系起来。我们将详细介绍 $SU(3)$ 群的表示，并解释其在夸克模型中的作用，例如八重态和十重态的粒子谱是如何从 $SU(3)$ 的特定表示中涌现出来的。我们还将简要介绍更高级的规范对称性，如 $SU(5)$ 和 $SO(10)$ 等，并探讨它们在统一场论中的潜在角色。 在统计物理学领域，我们将探索酉群表示理论如何用于分析相变和临界现象。我们将讨论用表示论来研究晶格模型和连续介质模型中的对称性破缺。我们将介绍一些与临界指数相关的表示理论方法。 第三部分：酉群表示在概率论与数论中的桥梁 本部分将展示酉群表示理论如何超越物理学，在概率论和数论这两个看似不相关的领域发挥着意想不到的作用。 在概率论方面，我们将重点研究有限阿贝尔群及其表示在概率分布分析中的应用。我们将探讨特征函数理论，并展示如何利用群表示来理解独立同分布随机变量的卷积。我们将进一步介绍离散傅里叶变换的群表示论解释，以及它在概率分布的分析和计算中的优势。 更进一步，我们将探讨酉群表示理论在随机过程分析中的应用。例如，我们将讨论马尔可夫链的平稳分布与群表示之间的联系。我们还将简要介绍在某些特定概率模型中，酉群表示如何帮助我们理解长程相关性和统计规律。 数论部分将是本书的另一大亮点。我们将首先介绍酉群表示理论在解析数论中的作用。我们将重点关注数论函数，如黎曼 Zeta 函数，并探讨其与某些群表示之间的联系。我们将介绍著名的“朗兰兹纲领”的早期思想，即通过群表示的语言来统一数论对象。 本书将详细讨论模形式与群表示的关系。我们将分析梅林变换在连接数论函数和表示理论中的作用。我们将深入探讨 $SL(2,mathbb{R})$ 及其离散子群的表示，以及它们如何生成模形式。我们将介绍一些重要的模形式，如爱森斯坦级数，并展示其与群表示的直接联系。 此外，我们还将简要介绍酉群表示理论在代数数论中的一些应用，例如在研究代数数域上的代数结构时，酉群的表示可能会提供新的视角。我们将暗示该理论在研究整数点、丢番图方程等经典数论问题中的潜力。 结语 本书的最后，我们将对酉群表示理论的跨学科应用进行总结。我们将强调，这种强大的数学工具不仅仅是理论研究的抽象构架，更是理解从微观粒子世界到宏观统计规律，再到数之内在结构的普适性语言。通过对酉群表示理论的深入学习，读者将能够以一种全新的视角审视这些广阔的科学领域，并体会到数学语言在揭示宇宙奥秘中的强大力量。本书的目的是启发读者，让他们能够独立地探索和应用酉群表示理论，为解决更复杂的问题提供新的思路和方法。

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