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现代数学和力学：第十一届全国现代数学和力学学术会议文集（MMM-XI），ISBN：9787311033675，作者：李世荣，马连生 著
《现代数学与力学》并非一本涵盖所有数学与力学分支的百科全书，其编排与内容精选，旨在为读者呈现那些在当代科学研究与工程实践中具有核心地位，且相互关联、影响深远的关键性概念、理论与方法。本书不是对历史的全面梳理，也不是对基础知识的详尽讲解，而是聚焦于那些最能体现“现代”二字精神的领域，探索其发展脉络、核心思想以及前沿动态。 第一部分：现代数学的基石与演进 本书开篇便着眼于现代数学的几个关键支柱。首先，我们深入探讨的是抽象代数的精妙之处。本书并非仅仅罗列群、环、域等基本概念，而是着重揭示它们在理解对称性、编码理论、密码学以及物理学（如粒子物理中的对称性群）等领域的深刻应用。我们将展示如何通过抽象代数的视角，将看似迥异的问题统一起来，发现隐藏在现象背后的普遍规律。例如，Galois理论不仅仅是关于多项式方程可解性的理论，它更是连接数论、代数几何乃至拓扑学的桥梁。我们还将探讨李代数及其在微分几何、量子力学中的作用，展示其在描述连续对称性方面的强大力量。 其次，拓扑学作为研究空间在连续形变下不变性质的学科，其重要性在现代科学中日益凸显。本书将超越基础的连通性、紧致性等概念，重点介绍代数拓扑工具（如同调论、同伦论）的威力。读者将了解到，这些抽象的数学工具如何在凝聚态物理中描述材料的电子性质（如拓扑绝缘体），在计算机科学中用于形状分析与数据挖掘，甚至在生物学中用于分析蛋白质的折叠结构。本书将力求使读者理解，拓扑学的思想已渗透到多个领域，成为理解复杂系统结构与性质的重要语言。 再次，函数分析是连接代数与几何，以及为量子力学、偏微分方程等提供严格数学基础的关键分支。本书将侧重于巴拿赫空间、希尔伯特空间等概念的引入，并深入探讨算子理论，特别是谱理论。读者将理解，为何这些抽象的空间和算子能够精确地描述物理系统中能量、动量等可观测量，以及如何通过算子的性质来理解微分方程的解的存在性、唯一性和稳定性。本书将特别关注泛函分析在处理无穷维问题中的优势，例如在量子场论中对无限自由度的处理。 此外，本书还将触及测度论与概率论的现代发展。在本书中，测度论不再仅仅是讨论长度、面积、体积的推广，而是作为连接数学分析与概率论的桥梁，为理解随机过程、统计推断提供严谨的数学框架。我们将探讨大数定律、中心极限定理的现代表述与应用，以及它们在金融建模、机器学习等领域的关键作用。特别地，我们将关注随机微分方程及其在描述布朗运动、金融市场波动等现象中的应用，展示现代概率论如何成为理解不确定性世界的重要工具。 第二部分：力学的现代视角与交叉领域 本书的第二部分将视角转向力学，但并非局限于经典力学的范畴。我们首先探讨的是连续介质力学的现代发展。本书将重点介绍材料非线性的概念，例如塑性、损伤、断裂等，以及如何使用更复杂的本构模型来描述材料在极端条件下的行为。我们将深入研究数值方法（如有限元方法）在解决复杂连续介质力学问题中的应用，并展示这些方法如何推动材料科学、航空航天工程、土木工程等领域的发展。本书还将探讨流变学，即研究材料在流动和变形时的行为，及其在食品工程、生物力学等领域的应用。 其次，非线性动力学与混沌理论是现代力学研究中最具吸引力的领域之一。本书将系统介绍非线性系统的基本概念，如吸引子、分岔、相空间等，并重点阐释混沌现象的生成机制及其不可预测性。我们将通过具体的例子，如天气预报模型、人口动态模型、电路振荡等，说明混沌理论如何挑战传统的确定性预测思维，并揭示复杂系统中隐藏的模式。本书还将探讨混沌控制与同步问题，展示如何利用混沌的特性来改善系统的性能或实现不同系统间的协同。 再次，统计力学作为连接微观粒子行为与宏观热力学性质的桥梁，在现代物理学和化学中扮演着核心角色。本书将深入探讨统计系综理论，如微正则系综、正则系综、巨正则系综，并着重介绍其在描述相变、临界现象等复杂宏观行为中的应用。我们将分析伊辛模型等经典模型，并通过蒙特卡洛模拟等数值方法，展示如何从微观层面理解宏观物理现象。本书还将简要介绍其在材料科学、统计物理学中的最新进展。 最后，本书将着力展现数学与力学在交叉领域的融合。我们将探讨计算力学的最新进展，包括高性能计算在模拟复杂物理过程中的作用，以及计算模型如何加速科学发现和工程设计。例如，流体力学的数值模拟（CFD）在航空航天、能源研究中的应用，固体力学的数值模拟（FEA）在结构设计、材料失效分析中的作用。 此外，本书还将涉及生物力学，即用力学的原理来研究生物体的结构和功能。我们将探讨骨骼的力学性能、心血管系统的血流动力学、肌肉的收缩机制，以及这些力学原理在设计生物工程假体、理解疾病发生发展中的重要性。 同样，地球物理学中的力学问题，如地震波传播、板块构造的力学模型、地幔对流等，也将得到体现。 本书的编写风格将力求清晰、严谨，同时兼顾理论的深度与应用的广度。我们不回避数学的严谨性，但会尽量以直观的方式阐释抽象概念，并通过大量的实例来展示数学与力学在解决实际问题中的强大能力。本书的目标读者是具有一定数学和力学基础，希望深入了解这些学科在现代科学技术中前沿发展与应用的研究者、工程师和高年级学生。它旨在成为读者探索现代数学与力学广阔世界的引路人，开启对更深层次科学问题的思考。
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