Elliptic and Parabolic Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Birkhauser

作者:Brighi, Bernhard 编

出品人:

页数:470

译者:

出版时间:2005-08-01

价格:USD 189.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783764372491

丛书系列:Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications

图书标签:

• 偏微分方程
• 椭圆型方程
• 抛物型方程
• 数值分析
• 有限元方法
• 有限差分方法
• 函数空间
• 泛函分析
• 解的存在性
• 正则性

椭圆与抛物型方程：理论、方法与应用 引言 数学，作为描述和理解宇宙运行规律的通用语言，在众多分支中，微分方程占据着举足轻重的地位。它们是刻画自然界和工程领域中各种动态过程和平衡状态的核心工具。在微分方程的宏大体系中，椭圆型方程和抛物型方程因其在描述稳态现象和演化过程中的关键作用，构成了理论研究和实际应用的两大基石。本书旨在深入探讨这两类方程的理论基础、求解方法以及在不同学科领域的广泛应用，为读者提供一个全面而深入的理解。 第一部分：椭圆型方程的理论基石 椭圆型方程，通常表现为二阶偏微分方程，其最典型的代表便是拉普拉斯方程 ($Delta u = 0$) 和泊松方程 ($Delta u = f$)。这类方程的核心特征在于它们描述的是一种“稳态”或“平衡”状态，即系统在时间上不再发生变化。 第一章：基本概念与分类 本章将首先建立对偏微分方程的宏观认识，明确二阶线性偏微分方程的特征。我们将详细介绍椭圆型方程的定义，区分其与抛物型和双曲型方程的根本区别。重点将放在理解算子中的二次型，以及如何通过特征值来判断方程的类型。此外，本章还会引入一些基础概念，如解的存在性、唯一性、正则性以及光滑性等，为后续深入的理论分析奠定基础。我们将探讨一些简单的例子，如一维和二维的常微分方程，以及它们如何引申出更复杂的偏微分方程。 第二章：狄利克雷、诺依曼与罗宾边值问题 对于描述特定物理或几何场景的椭圆型方程，边界条件是不可或缺的组成部分。本章将聚焦于求解椭圆型方程的三种基本边值问题： 狄利克雷问题 (Dirichlet Problem): 在给定区域边界上，直接指定方程解的值。这通常对应于温度在物体表面的恒定分布，或者电势在导体表面的已知电位。我们将讨论其数学形式，并初步探讨其解的存在性与唯一性。 诺依曼问题 (Neumann Problem): 在区域边界上，指定方程解的法向导数。这常常与热通量或流体的速度有关。例如，在一个隔热的物体表面，热通量为零，这就对应于一个诺依曼边界条件。我们将分析这种边界条件对解的影响。 罗宾问题 (Robin Problem): 结合了狄利克雷和诺依曼条件，即在边界上指定解和其法向导数的线性组合。这在描述对流传热等现象时尤为常见，例如物体表面的散热率与温差成正比。本章将深入研究这三种边值问题的数学构造，并初步探讨证明解的存在性和唯一性的必要条件。 第三章：积分方程与格林函数方法 在处理复杂的椭圆型方程时，直接求解微分方程往往困难重重。本章将引入两种强大的数学工具：积分方程和格林函数。 积分方程的转化: 我们将展示如何将某些偏微分方程问题转化为等价的积分方程。这种转化使得我们可以利用积分方程理论中的成熟方法来求解问题，特别是对于边界条件的处理。 格林函数的概念与构造: 格林函数是求解线性微分方程的一种系统性方法。对于给定的微分算子和边界条件，格林函数扮演着“核”的角色，能够将方程右侧的源项通过积分转化为方程的解。本章将详细介绍格林函数的定义、性质，以及如何针对不同的椭圆型方程和边值问题构造格林函数。我们将看到，一旦格林函数被找到，求解任何具有该算子和边界条件的非齐次方程都将变得相对直接。 第四章：泛函分析在椭圆型方程中的应用 为了更严格地证明椭圆型方程解的存在性、唯一性以及获得更强的正则性结果，泛函分析提供了强大的理论框架。本章将介绍与椭圆型方程密切相关的几个重要函数空间： 索伯列夫空间 (Sobolev Spaces): 这些空间不仅包含具有一定阶数连续导数的函数，还包含了导数“在某种意义下”存在（例如，广义导数）的函数。索伯列夫空间是研究偏微分方程解的正则性的核心工具，它们允许我们在更广泛的函数类中寻找解，并分析解的平滑性。 变分法与弱解: 本章将深入探讨变分法。许多椭圆型方程的解可以被看作是某个能量泛函的最小值。通过寻找使泛函取极值的函数，我们可以得到方程的“弱解”。弱解的概念极大地扩展了我们对解的理解，并使得我们在更一般的条件下讨论解的存在性。我们将学习如何从微分方程形式推导出对应的变分问题，以及如何利用泛函分析的工具来证明弱解的存在性。 第五章：椭圆型方程的数值方法 理论分析固然重要，但在许多实际应用中，数值求解是不可或缺的。本章将介绍几种求解椭圆型方程的常用数值方法： 有限差分法 (Finite Difference Method): 将微分方程中的导数用差分来近似，从而将偏微分方程转化为一个大型线性代数方程组。我们将探讨网格的构造、差分格式的选择（如中心差分、向前差分、向后差分）以及稳定性与收敛性的分析。 有限元法 (Finite Element Method): 这是一种更强大、更灵活的数值方法，尤其适用于处理复杂几何形状和非均匀介质的问题。有限元法的基本思想是将求解区域离散化为一系列小的单元（例如，三角形、四边形），并在每个单元上用简单的基函数（如多项式）来逼近解。我们将介绍有限元法的基本步骤，包括网格划分、基函数选择、单元方程的构造以及整体方程的组装。 谱方法 (Spectral Methods): 当问题具有规则的几何形状和光滑的解时，谱方法可以提供非常高精度的结果。它们利用全局的基函数（如傅里叶级数或切比雪夫多项式）来逼近解。本章将简要介绍谱方法的原理及其优势。 第二部分：抛物型方程的动力学描绘 抛物型方程，如热传导方程 ($frac{partial u}{partial t} = k Delta u$) 和扩散方程，是描述物理量随时间演化的典型方程。它们的核心特征在于方程中包含时间导数项，反映了系统状态的动态变化过程。 第六章：抛物型方程的基本性质与初边值问题 本章将深入探讨抛物型方程的定义，并重点关注其基本性质，如最大值原理和能量估计。 最大值原理 (Maximum Principle): 对于热传导方程等抛物型方程，最大值原理表明，方程解的最大值（或最小值）一定出现在区域的边界或初始时刻。这一性质对于证明解的存在性、唯一性以及分析解的增长行为至关重要。 初边值问题 (Initial-Boundary Value Problem): 抛物型方程的求解通常需要同时给定方程在初始时刻的分布（初值条件）和在边界上的行为（边值条件）。本章将详细介绍初值条件和边值条件（包括狄利克雷、诺依曼和罗宾类型）的数学表述，并初步探讨这些条件对解的影响。 第七章：能量方法与收敛性分析 能量方法是分析抛物型方程解的稳定性和收敛性的强大工具。本章将介绍如何构建合适的能量泛函，并利用积分技巧来估计解的衰减速率。 能量泛函的构造: 通过对抛物型方程进行适当的积分运算，我们可以定义一个与系统能量相关的量。 时间积分与解的衰减: 利用最大值原理和能量估计，我们可以证明当时间趋于无穷时，方程的解趋于稳态解，或者证明数值方法产生的近似解收敛于精确解。这将涉及到对时间积分进行精确的估计。 第八章：抛物型方程的数值求解 与椭圆型方程类似，抛物型方程的数值求解也是实际应用中的关键。本章将介绍几种常用的数值方法： 有限差分法: 我们将讨论如何将时间导数和空间导数都用差分来近似。重点将介绍显式和隐式有限差分格式。显式格式计算简单，但稳定性条件较严格；隐式格式稳定性好，但计算量稍大。我们将分析不同格式的稳定性与收敛性。 有限元法: 同样，有限元法也可用于求解抛物型方程。本章将介绍如何将时间和空间维度都进行离散化，并通过求解一系列代数方程来逼近时间演化的解。 第三部分：椭圆与抛物型方程的应用领域 椭圆型和抛物型方程的应用遍及科学和工程的各个角落。本部分将通过具体案例展示它们的重要性。 第九章：物理学中的应用 热传导与扩散: 热传导方程描述了热量在物体中的传播过程，而扩散方程则用于描述粒子在介质中的扩散现象。我们将探讨稳态温度分布（由椭圆型方程描述）和温度随时间的变化（由抛物型方程描述）的典型问题。 电磁场理论: 麦克斯韦方程组中的泊松方程在静电学中用于描述电势的分布，而波动方程（与抛物型和双曲型方程都有联系）则用于描述电磁波的传播。 流体力学: 纳维-斯托克斯方程组（虽然是非线性的）包含了椭圆型和抛物型方程的元素，用于描述流体的运动。我们将重点关注层流的稳态解（由椭圆型方程近似）和流体的瞬态行为。 第十章：工程学中的应用 结构力学: 弹性力学方程，如拉梅方程，是描述材料在应力作用下的变形的椭圆型方程。它们用于分析桥梁、建筑等结构的受力情况。 化学工程: 反应-扩散方程，它结合了化学反应和物质扩散，通常由抛物型方程描述，用于模拟化学反应器中的物质分布和转化。 金融数学: 布莱克-斯科尔斯方程，一个著名的偏微分方程，用于期权定价，它是一个抛物型方程。 第十一章：其他领域的应用 生物学: 种群动态模型，如反应-扩散方程，可以用于描述物种在空间上的分布和演化。 地球科学: 地震波的传播（由双曲型方程描述）和地热的分布（由抛物型方程描述）。 结论 椭圆型方程和抛物型方程作为描述稳态和动态过程的两大支柱，其理论研究和数值求解方法在现代科学技术中发挥着不可替代的作用。本书从基本概念出发，逐步深入到高级理论，并结合了重要的数值方法和广泛的应用案例，旨在为读者提供一个全面而深入的学习体验。通过掌握这些方程的精髓，读者将能够更好地理解和解决来自不同学科的复杂问题。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆