Classical Function Theory, Operator Dilation Theory, and Machine Computation on Multiply-Connected D pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Jim Agler

出品人:

页数:159

译者:

出版时间:2007-12-28

价格:USD 69.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821840467

丛书系列:

图书标签:

• Complex analysis
• Operator theory
• Domain decomposition
• Machine computation
• Multiply-connected domains
• Function theory
• Mathematical analysis
• Numerical analysis
• American Mathematical Society
• Memoirs

经典函数论、算子扩张理论与多连通域上的机器计算 本书深入探讨了数学分析的两个核心领域——经典函数论和算子扩张理论，并将其巧妙地应用于多连通域上的机器计算问题。全书的研究脉络清晰，逻辑严谨，内容翔实，旨在为研究者和高年级学生提供一个全面而深入的视角，理解这些抽象数学概念在解决实际计算问题中的强大威力。 第一部分：经典函数论的基石 本书的开篇，将读者带回到经典复变函数论的严谨世界。这里，我们不再仅仅将复数视为二维平面上的点，而是将其作为分析对象的内在结构。我们首先回顾解析函数的基本性质，包括柯西-黎曼方程、幂级数展开以及不同形式的积分表示（如柯西积分公式和柯西积分定理）。这些是理解后续内容的基础，我们将着重强调其在分析函数行为上的关键作用。 接着，本书将深入探讨解析函数的解析延拓理论。我们阐释了解析延拓的唯一性原理，以及如何通过路径和定义域来扩展函数的解析性。这将为理解复变函数在更广阔区域上的行为打下基础。 莫比乌斯变换是本章的重要组成部分。我们将详细介绍莫比乌斯变换的几何意义，它如何将复平面映射到自身，以及它在保角映射中的核心作用。对莫比乌斯变换的深刻理解，将为后续处理多连通域的映射问题提供直接的工具。 随后，我们将目光转向解析函数的边界性质。例如，塔姆-奥列格不等式和塔姆-奥列格定理，这些关于解析函数在单位圆盘边界上行为的深刻结果，将被详细阐述。它们不仅揭示了函数在边界上的“软肋”，也为理解函数的全局行为提供了重要的线索。 本章的另一重要主题是单叶函数。我们将定义单叶函数，讨论其性质，并引入斯宾格尔变换。斯宾格尔变换在单位圆盘上的单叶映射性质，是理解如何构造单叶函数以及其在几何函数论中的重要性的关键。 此外，我们将触及一些更高级的经典函数论概念，例如黎曼曲面。尽管可能不涉及复杂的黎曼曲面理论，但我们将介绍黎曼曲面的基本思想，即如何通过“粘合”多个复平面来“修复”函数的奇点，从而使函数在整体上变得良定。这将为理解多连通域的拓扑性质提供直观的图像。 在经典函数论的最后，我们将强调共形映射在几何分析中的作用。我们将探讨如何利用共形映射将复杂的几何区域转化为更简单的区域，从而简化对函数性质的研究。这为本书后续将函数论应用于实际计算问题奠定了基础。 第二部分：算子扩张理论的深度探索 在扎实掌握了经典函数论的基础上，本书将转向更加抽象但同样强大的算子扩张理论。这一理论的核心在于研究算子（通常是线性算子）在其定义域之外的延拓问题。 我们首先从希尔伯特空间中的有界自伴算子入手。我们将阐述有界自伴算子的一些基本性质，例如其谱的实数性质以及其谱分解定理。这些性质是理解算子扩张的基础。 接着，我们将引入算子扩张的概念。对于一个在闭子空间上定义的算子，我们将其扩张到更大的空间。我们将区分几种重要的扩张类型，例如自伴扩张、正规扩张等。在此过程中，我们还将接触到卡瓦格-弗里德里希定理，该定理为确定算子的自伴扩张的存在性和唯一性提供了重要的框架。 本书将着重探讨一个线性算子的全自伴扩张（all self-adjoint extensions）。对于给定的闭对称算子，其全自伴扩张的存在性和构造是算子扩张理论的核心问题之一。我们将介绍如何利用算子的缺陷子空间来参数化其所有的自伴扩张。这通常涉及到对特定数学对象的深入分析，例如算子的格林函数或者其在某个扩张空间上的表示。 格林函数在算子扩张理论中扮演着至关重要的角色。我们将详细介绍如何构造和利用格林函数来描述算子的扩张。它提供了一种刻画算子在不同扩张下的行为的有效方法，并且与狄利克雷问题和诺伊曼问题等边值问题紧密相关。 此外，我们将探讨算子扩张理论在量子力学中的一些经典应用，例如哈密顿算子的谱性质。虽然本书的重点是机器计算，但理解算子扩张理论在物理学中的根基，有助于更好地把握其数学的深刻内涵。 算子扩张理论的精髓在于其为理解算子在更广阔、更自由的设定下的行为提供了强大的数学工具。它允许我们将受限的算子“解放”出来，研究其在不同约束条件下的各种“可能性”。 第三部分：多连通域上的机器计算 将经典函数论和算子扩张理论的洞见与多连通域上的机器计算相结合，是本书最具创新性和实践意义的部分。多连通域，即具有“洞”的区域，在实际问题中普遍存在，例如航空动力学中的翼型绕流、地质勘探中的地下结构建模等。在这些领域，精确的数值计算至关重要。 我们首先需要解决在多连通域上定义和计算解析函数的问题。由于多连通域的存在“洞”，沿不同路径积分可能得到不同的结果（除非是解析函数），这给直接应用积分公式带来了挑战。本书将探讨如何利用共形映射将多连通域映射到一个更易于处理的标准区域，例如单位圆盘上移除若干个同心圆盘的区域。 书中将详细介绍用于构建这些共形映射的数值算法。我们将讨论基于迭代方法的算法，例如泰勒级数展开法和格林函数法。对于某些特定的多连通域，我们甚至可以讨论解析方法的应用，例如通过求解具有特定边界条件的偏微分方程来构造映射。 在计算解析函数时，除了基本的积分和求导，我们还将关注更复杂的数值计算问题。例如，求解黎曼-希尔伯特问题（Riemann-Hilbert problem）。这是一个在复变函数论中占有重要地位的问题，它涉及到在边界上已知某些跳跃或值关系的函数。在多连通域上求解黎曼-希尔伯特问题，通常需要结合多项式逼近、数值积分以及算子扩张理论中的相关技巧。 本书的另一个核心内容是利用算子扩张理论来加速和优化在多连通域上的数值计算。例如，对于一些涉及微分算子的边值问题，我们可以尝试将其看作是某个算子在特定边界条件下的扩张。通过分析算子的各种自伴扩张，我们可以找到更高效的数值求解策略。 此外，我们将探讨卡尔曼滤波（Kalman filtering）和卡尔曼滤波的算子理论解释。卡尔曼滤波是一种在存在噪声的情况下估计动态系统状态的算法。我们将展示如何从算子扩张的视角来理解卡尔曼滤波的数学原理，并探讨如何将其应用于多连通域上的动态系统建模和估计。这可能涉及到将状态空间表示看作某种算子，并分析其在不同扩张下的性质。 本书还将深入研究快速多极子方法（Fast Multipole Method, FMM）在处理多连通域上积分方程时的应用。FMM是一种能够将计算复杂度从O(N^2)降低到O(N)的算法，在物理和工程领域有着广泛应用。我们将探讨如何修改和推广FMM，使其能够有效地处理多连通域上的计算问题，这可能涉及到对格林函数进行分层和快速求和。 最后，本书将通过一系列具体的实例来展示这些理论和方法在实际问题中的应用。这些例子可能涵盖： 空气动力学中的翼型绕流计算： 利用共形映射将翼型映射到圆盘，并求解相关的黎曼-希尔伯特问题来模拟流体流动。 弹性力学中的应力分析： 在具有内孔的材料中计算应力分布，可能涉及到求解具有复杂边界条件的偏微分方程。 电磁场模拟： 在复杂几何结构中计算电磁场的分布，可能需要用到快速多极子方法。 信号处理和图像识别： 在非标准几何域上进行信号分析或模式识别，可能需要用到算子理论和函数逼近。 本书的整体结构紧凑而富有逻辑。从坚实的数学基础出发，逐步深入到抽象的算子理论，最终将其巧妙地应用于解决实际的机器计算问题。本书力求在理论的严谨性和应用的实用性之间找到平衡，旨在为读者提供一个既有理论深度又不失实践指导意义的研究工具。

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