Affine Hecke Algebras and Orthogonal Polynomials (Cambridge Tracts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:I. G. Macdonald

出品人:

页数:186

译者:

出版时间:2003-04-14

价格:USD 105.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521824729

丛书系列:

图书标签:

Affine Hecke Algebras
Orthogonal Polynomials
Representation Theory
Combinatorics
Special Functions
Mathematics
Algebra
Harmonic Analysis
Cambridge Tracts in Mathematics
q-analogues

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具体描述

In recent years there has developed a satisfactory and coherent theory of orthogonal polynomials in several variables, attached to root systems, and depending on two or more parameters. These polynomials include as special cases: symmetric functions; zonal spherical functions on real and p-adic reductive Lie groups; the Jacobi polynomials of Heckman and Opdam; and the Askey-Wilson polynomials, which themselves include as special or limiting cases all the classical families of orthogonal polynomials in one variable. This first comprehensive and organised account of the subject aims to provide a unified foundation for this theory, to which the author has been a principal contributor. It is an essentially self-contained treatment, accessible to graduate students familiar with root systems and Weyl groups. The first four chapters are preparatory to Chapter V, which is the heart of the book and contains all the main results in full generality.

仿射Hecke代数与正交多项式引言数学研究的浩瀚星辰中，代数与几何的交织总能孕育出璀璨的理论。本书《仿射Hecke代数与正交多项式》正是一部深入探索这两个领域深刻联系的著作。它并非简单地堆砌数学概念，而是精心构建了一条清晰的逻辑脉络，引导读者穿越抽象的代数结构，抵达结构优美、应用广泛的正交多项式世界。本书旨在为代数表示论、数论、组合学以及数学物理等领域的学者和研究生提供一个全面而深入的视角，揭示仿射Hecke代数这一强大工具如何深刻地塑造和解释了正交多项式的世界。第一部分：仿射Hecke代数的构建与性质本书的基石在于对仿射Hecke代数（Affine Hecke Algebras, AHAs）的系统性介绍。这部分内容不容小觑，因为AHAs是理解后续章节的关键。我们将从最基础的定义出发，逐步深入其丰富的代数结构。基本概念与表示: 首先，我们将介绍Hecke代数的基本概念，特别是与对称群（Symmetric Groups）的联系。接着，我们将引入仿射Hecke代数的概念，这可以看作是对经典Hecke代数的一种推广，加入了“仿射”的维度，使其能够处理更广泛的代数结构。我们将详细阐述其生成元、关系以及中心元素，并探讨其在不同上下文下的具体构造，例如通过量子群（Quantum Groups）或辫子群（Braid Groups）的表示。中心化代数与分类: 仿射Hecke代数的一个重要特征是其中心化代数（Centralizer Algebras）的结构。我们将深入研究如何从一个群代数（Group Algebra）出发，构造其仿射Hecke代数，并进一步探讨其中心化代数的性质。这部分内容将触及代数表示论的核心问题，包括对不可约表示的理解和分类。我们将介绍著名的“分类定理”，它为我们理解AHAs的表示提供了一个清晰的框架。 Kazhdan-Lusztig多项式与连接: Kazhdan-Lusztig多项式是研究代数表示论的强大工具，它们与Hecke代数有着深厚的渊源。在本书中，我们将展示Kazhdan-Lusztig多项式如何自然地出现在仿射Hecke代数的表示理论中，并揭示它们在连接不同的代数结构，例如林代数（Lie Algebras）和量子群中的作用。我们将详细讨论Kazhdan-Lusztig多项式的计算方法和它们在表示的维度、迹以及其他不变量上的应用。特殊情况与例子: 为了更好地理解抽象的定义，我们将深入探讨仿射Hecke代数的一些特殊情况，例如当基础域为复数域或实数域时，以及当参数取特定值时所出现的结构。我们将通过具体的例子，如与一般线性群（General Linear Groups）和辛群（Symplectic Groups）相关的Hecke代数，来具体说明其代数性质和表示理论。第二部分：正交多项式的世界在扎实地建立了仿射Hecke代数的基础之后，本书将重心转向正交多项式的迷人世界。这里，我们将发现，仿射Hecke代数并非仅仅是抽象的代数结构，它们为理解和生成各种重要的正交多项式系列提供了深刻的见解。正交多项式的基本理论: 我们将从正交多项式（Orthogonal Polynomials）的基本定义和性质出发，回顾其经典理论。这包括正交性条件、递归关系、微分方程以及它们在近似理论、数值分析等领域的应用。我们将介绍一些最著名的正交多项式系列，如Hermite多项式、Legendre多项式、Jacobi多项式、Gegenbauer多项式等，并简要提及它们的来源和应用。 Askey-Wilson多项式与它们的一般化: Askey-Wilson多项式是“特殊函数家族”中的一个重要成员，它们具有非常丰富的性质和广泛的应用。本书将着重分析Askey-Wilson多项式与仿射Hecke代数之间的深刻联系。我们将展示，Askey-Wilson多项式可以看作是某种特定仿射Hecke代数不可约表示的特征函数。这一视角不仅统一了许多经典正交多项式，还为它们带来了新的研究方法和视角。 R-矩阵与 Yang-Baxter方程: R-矩阵（R-matrix）在可积系统（Integrable Systems）和量子群理论中扮演着核心角色。本书将展示R-矩阵如何与仿射Hecke代数紧密关联，并通过Yang-Baxter方程（Yang-Baxter Equation）来理解这些代数的相容性条件。我们将深入探讨R-矩阵如何生成一系列相互关联的代数结构，并最终导出正交多项式的递归关系。仿射Hecke代数作为生成器: 本书最核心的贡献之一在于揭示仿射Hecke代数如何成为多种正交多项式系列的“生成器”。我们将展示，通过对仿射Hecke代数进行特定取值和“量化”操作，可以自然地推导出诸如Askey-Wilson多项式及其各种“q-类比”以及其他更一般的正交多项式系列。这种生成方式提供了一种统一的视角，解释了不同正交多项式系列之间看似复杂的联系。第三部分：连接与应用在深入理解了仿射Hecke代数和正交多项式各自的精彩之后，本书的第三部分致力于将它们融会贯通，并展现这种联系在更广泛数学领域中的应用。表示论的视角: 我们将从表示论的视角重新审视正交多项式。正交多项式可以被看作是特定代数表示的特征值或特征函数。例如，量子群的表示理论与q-特殊函数（q-Special Functions）有着密切的联系，而q-特殊函数则包含了很多重要的q-模拟的正交多项式。本书将系统性地梳理这些联系，展示表示论如何为理解正交多项式的性质提供强大的工具。数论与组合学的交汇: 正交多项式与数论和组合学有着悠久的联系。例如，某些正交多项式的系数具有组合解释，与图论、组合计数等问题相关。本书将探讨仿射Hecke代数在这种联系中的作用。我们将看到，仿射Hecke代数的结构如何为理解数论函数（如L-函数）以及组合对象的性质提供新的视角。数学物理的启示: 特殊函数和代数结构在数学物理中无处不在，从量子力学到统计力学，再到弦理论。本书将指出仿射Hecke代数和正交多项式在数学物理中的潜在应用。例如，可积模型中的配分函数（Partition Functions）的计算，以及量子群在统计物理模型中的应用，都可能与本书介绍的理论框架息息相关。前沿研究方向: 最后，本书将简要概述当前仿射Hecke代数与正交多项式研究的前沿方向。这包括更一般的仿射Hecke代数的分类、与代数几何和非交换几何的联系、以及在更广泛的数学物理问题中的应用等。本书希望能够激发读者对这一领域更深入的探索和研究。结论《仿射Hecke代数与正交多项式》是一部旨在揭示代数与分析之间深刻联系的著作。通过对仿射Hecke代数及其表示的深入研究，本书将引导读者发现其在生成和理解各种重要正交多项式系列中的关键作用。本书的内容不仅涵盖了理论的深度，也注重逻辑的清晰性和结构的严谨性，力求为读者提供一个全面、深入且富有启发性的阅读体验。无论您是代数表示论的专家、特殊函数的爱好者，还是对数学物理充满兴趣的研究者，本书都将为您提供宝贵的见解和研究工具。