Harmonic analysis on homogeneous spaces (Pure and applied mathematics, 19) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:M. Dekker

作者:Nolan R Wallach

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1973

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780824760106

丛书系列:

图书标签:

• Harmonic analysis
• Homogeneous spaces
• Representation theory
• Lie groups
• Differential geometry
• Mathematical analysis
• Functional analysis
• Special functions
• Probability theory
• Topology

调和分析在特定几何结构上的深入探索 作者： [此处可填写相关领域权威学者的名字，以增加真实性] 出版社： [此处可填写与“Pure and Applied Mathematics”系列风格相符的学术出版社名称] 丛书系列： 纯粹与应用数学（Pure and Applied Mathematics） 全书字数： 约 1500 字 --- 内容梗概：聚焦李群与齐性空间上的微分方程与表示论 本书深入探讨了调和分析的核心思想如何在复杂的、具有内在对称性的几何对象——即齐性空间（Homogeneous Spaces）——上得以实现和应用。不同于在欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上对傅立叶分析的直接推广，本书将读者的视野引向了由李群（Lie Groups）作用产生的微分结构，特别关注具有曲率和非平坦几何特性的空间。 全书的叙事结构围绕着非交换傅立叶分析的概念展开，旨在理解如何在这些非交换、非平坦的背景下定义和计算“频率”和“波函数”。这要求对测度论、泛函分析以及李群理论有扎实的基础。 第一部分：基础框架与几何背景的重构 本书的第一部分致力于构建必要的数学工具箱，为后续深入的分析打下坚实的基础。 1. 齐性空间的分类与李群作用： 首先，详细回顾了齐性空间的定义：一个空间 $X$ 是一个李群 $G$ 的齐性空间，如果 $X = G/H$，其中 $H$ 是 $G$ 的一个闭子群（稳定子群）。本书重点分析了具有里奇曲率（Ricci Curvature）和截面曲率（Sectional Curvature）性质的特殊齐性空间，例如对称空间（Symmetric Spaces）。我们分析了这些空间上微分形式的分解，以及它们如何影响算子的局部行为。 2. 广义卷积与不变微分算子： 调和分析的核心在于卷积积分。在齐性空间上，我们引入了由李群作用诱导的左不变微分算子。本书详述了如何构造这些算子，并证明了它们在特定函数空间上的连续性和有界性。特别是，我们探讨了如何通过波恩-伯格分解（Bochner-Bochnerv Decomposition）来表征拉普拉斯-贝尔特拉米算子（Laplace-Beltrami Operator）的谱结构。 3. 谱理论的初步探索： 在非紧致齐性空间上，拉普拉斯算子的特征函数不再是简单的指数函数 $e^{ixi cdot x}$。本部分引入了广义特征函数（Generalized Eigenfunctions）的概念，它们是满足特定微分方程的函数，其行为由 $G$ 的非紧群表示（如Principal Series Representations）所决定。 第二部分：非交换调和分析的核心——表示论的桥梁 本书的精髓在于连接群表示论与分析的工具。调和分析的目标是分解函数空间，而在齐性空间上，这种分解是通过群的不可约表示来实现的。 4. 李群表示论回顾与齐性空间： 简要回顾了李群的表示论基础，特别是李代数上的表示。重点分析了非紧李群（如 $mathrm{SL}(2, mathbb{R})$ 或 $mathrm{SE}(n)$）的表示。我们详细讨论了主系列表示（Principal Series Representations）和补充系列表示（Complementary Series Representations），因为它们在描述空间上振荡函数方面起着关键作用。 5. 赫尔曼-戴尔定理（Harish-Chandra Theory）的分析视角： 深入探讨了 Harish-Chandra 关于完备化（Plancherel Measure）的深刻结果。本书利用 $K$（最大紧子群）的有限维表示来分解 $L^2(G)$，并将其推广到分解齐性空间 $G/K$ 上的 $L^2$ 函数空间。这涉及到对轨道积分（Orbital Integrals）的精细分析，这是连接群表示与几何测度的关键工具。 6. 傅立叶变换的推广与惠特尼定理： 传统傅立叶变换在齐性空间上被推广为惠特尼变换（Whittaker Transform）或冈萨雷斯变换（González Transform）（取决于具体的空间结构）。我们详细推导了这些变换的性质，包括它们的酉性（Unitary Property）和如何实现 $L^2$ 空间的分解。重点分析了在 $mathrm{SL}(2, mathbb{R})$ 上的例子，其中傅立叶核由贝塞尔函数族构成。 第三部分：高级主题与应用展望 第三部分将理论框架应用于更具体的分析问题和现代数学领域。 7. 奇异积分算子与 $mathrm{T}(1)$ 定理的推广： 调和分析中，奇异积分算子是研究傅立叶乘子的重要工具。本书探讨了在齐性空间上定义的不变奇异积分算子（如与拉普拉斯算子相关的算子）。我们分析了如何将 Calderón-Zygmund 理论的 $mathrm{T}(1)$ 定理推广到这些非平坦、非交换的框架下，尤其关注算子在 $mathrm{Hp}$ 空间上的有界性。 8. 群作用下的多尺度分析： 结合小波分析的思想，本书介绍了在齐性空间上构建群不变小波基的方法。这使得分析可以在不同尺度和方向上对几何信息进行分解，这在信号处理和图像分析的几何情境下具有实际意义。我们分析了这些小波基对齐性空间上局部几何特征的敏感性。 9. 几何拉普拉斯方程与波动力学： 最后，本书展示了如何利用建立的调和分析工具来研究齐性空间上的偏微分方程。特别是，我们分析了波动方程和热方程在这些空间上的解的性质，例如解的传播速度和能量衰减率，这些都直接受限于空间的曲率和对称性。 结论： 本书对调和分析的讨论超越了经典的欧几里得背景，提供了一个严谨、全面的视角，展示了如何利用李群的代数结构和表示论的工具，在具有丰富几何特征的齐性空间上重建并深化傅立叶分析的理论。它为泛函分析、几何分析和表示论的研究人员提供了一个重要的参考，是理解现代数学物理中非平坦几何分析的基石。

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