简明线性代数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:中国大地出版社

作者:袁文俊

出品人:

页数:194

译者:

出版时间:2009

价格:18

装帧:

isbn号码:9787802462335

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 大学
• 理工科
• 矩阵
• 向量
• 方程组
• 数值计算

深入探索抽象代数的基石：解析几何与向量空间的宏伟殿堂 本书导读： 在浩瀚的数学领域中，线性代数无疑是构建现代科学和工程理论的坚实地基。它以其严谨的逻辑结构、优雅的数学表达，以及在解决实际问题中的强大威力，成为了连接纯数学与应用科学的桥梁。本书旨在带领读者跨越传统代数和初等几何的范畴，进入一个由向量、矩阵和线性变换所构筑的、充满结构美感的抽象世界。我们聚焦于那些构成线性代数核心概念的基石，而非简单地罗列计算技巧，力求使读者不仅“会算”，更能“理解”背后的深刻原理。 第一篇：基础构建——向量与数域 本篇是进入线性代数殿堂的第一扇门。我们首先会从直观的几何概念出发，定义向量——不仅仅是带有方向和长度的箭头，更是一组有序的数字集合，它们在特定的结构下共享着共同的运算规律。我们将详细探讨数域（如实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$）对线性结构的影响，理解系数的性质如何决定了向量空间的可操作性。 深入到向量的线性组合、线性相关性与线性无关性，这是区分一个向量组是否具有“冗余性”的关键。通过严谨的定义和大量的几何实例（二维和三维空间），读者将掌握如何判断一组向量是否能够张成（Span）一个空间，以及如何确定其秩。我们还将引入基（Basis）的概念，将其视为构成特定向量空间的“最小生成集”，这是理解维度（Dimension）的逻辑起点。 第二篇：矩阵的本质——线性变换的代数语言 矩阵（Matrix）在本书中被赋予了更深层次的意义：线性变换（Linear Transformation）的具象化表达。我们不会将矩阵仅仅视为数字的矩形排列，而是将其视为一种作用于向量，保持加法和标量乘法结构不变的函数。 我们将详细剖析线性变换的两个核心属性：核空间（Null Space，或称零空间）和像空间（Range Space，或称值域空间）。核空间揭示了变换如何将非零向量“压扁”到零点，而像空间则描绘了原空间经过变换后所占据的新“区域”。通过理解矩阵的秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem），读者将建立起对线性映射复杂度的深刻认识。 矩阵的乘法将被解释为线性变换的复合，而非简单的数字运算规则。我们还会探讨逆矩阵（Inverse Matrix）的意义，即如何“撤销”一个线性变换。此外，初等行变换（Elementary Row Operations）将被系统化地引入，它们是我们在求解线性方程组和确定矩阵性质过程中最强大的工具。 第三篇：方程的求解与矩阵的分解 线性代数的应用核心之一在于求解线性方程组 $Amathbf{x} = mathbf{b}$。本篇将集中于系统性的求解方法。高斯消元法（Gaussian Elimination）和行阶梯形（Row Echelon Form）的构建，提供了一种可靠的、算法化的途径来确定方程组的解是否存在、解的唯一性以及解集的结构（特解与通解）。 更进一步，我们将引入矩阵分解的概念。LU分解揭示了矩阵如何通过一系列初等变换分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，这极大地优化了大规模方程组的求解效率。 第四篇：空间结构的深度洞察——特征值与特征向量 特征值（Eigenvalues）与特征向量（Eigenvectors）是线性代数中最为精妙和应用广泛的概念之一。它们描述了线性变换作用下，那些方向保持不变的特殊向量。对于一个矩阵 $A$，特征向量 $mathbf{v}$ 满足 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$，其中 $lambda$ 即为特征值。 我们将详尽地推导特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式的构建与根的求解。理解特征值的几何意义，对于分析动态系统的稳定性、数据降维（如主成分分析的理论基础）至关重要。 对于可对角化（Diagonalizable）的矩阵，我们将展示如何通过特征向量构造相似变换，将复杂的矩阵转化为对其结构更易于观察的对角矩阵。这种对角化不仅简化了矩阵的幂运算，也为理解高维空间中的旋转与拉伸提供了清晰的视角。 第五篇：度量与结构——内积空间与正交性 为了在抽象的向量空间中引入“长度”、“距离”和“角度”的概念，我们需要内积（Inner Product）。本书将明确定义内积的公理化要求，并重点讨论欧几里得内积。 正交性（Orthogonality）是内积空间中的核心概念。一组正交向量集合具有极强的独立性。我们将学习如何通过施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization），将任意一组基转化为一组正交基，甚至标准正交基（Orthonormal Basis）。 正交投影（Orthogonal Projection）是利用正交性解决“最近点”问题的关键工具，广泛应用于最小二乘法（Least Squares）的理论构建中。最后，我们将探讨对称矩阵的独特性质，特别是它们保证存在一组特征向量构成实数空间中的标准正交基这一重要结论，为傅里叶分析和量子力学中的算符理论打下坚实的基础。 结论：从结构到应用 本书的叙述路径，旨在从最基础的向量概念出发，逐步构建起线性代数的宏伟结构，最终聚焦于特征值和正交性的深度洞察。我们力求在严谨的数学推导与清晰的几何直觉之间找到完美的平衡点，确保读者能够扎实掌握线性代数的理论框架，为未来深入学习偏微分方程、数值分析、控制理论乃至现代数据科学打下不可动摇的数学根基。

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