Fourier Series and Orthogonal Functions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Harry F. Davis

出品人:

页数:416

译者:

出版时间:1989-05-01

价格:USD 18.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486659732

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 数学-FouriserAnalysis
• 傅里叶级数
• 正交函数
• 数学分析
• 信号处理
• 工程数学
• 高等数学
• 数值分析
• 振动理论
• 电路分析
• 图像处理

好的，这是一份关于《傅里叶级数与正交函数》的图书简介，内容详实，旨在介绍本书将涵盖的核心主题，同时避免提及任何与该书内容无关的信息： 《傅里叶级数与正交函数》：深入探索函数逼近的数学基石 导言：数学分析的强大工具箱 本书旨在为读者提供对傅里叶级数和正交函数理论的全面而深入的理解。在现代数学、物理学、工程学以及信号处理等众多领域中，有效分析和表示复杂函数的能力是解决实际问题的关键。本书将从最基础的微积分和线性代数概念出发，逐步构建起一个严谨的理论框架，使读者能够掌握如何将复杂的、任意形状的函数分解为一系列简单、易于处理的基函数的线性组合。这种分解能力不仅是理论上的优雅，更是实践中进行数据压缩、滤波和系统分析的核心技术。 第一部分：傅里叶级数的基础与收敛性 本书的开篇聚焦于傅里叶级数的建立。我们将详细探讨如何将周期函数表示为正弦和余弦函数的无穷级数和。 1.1 周期函数的周期延拓与基本周期性： 首先，明确周期函数的定义及其在整个实轴上的延拓。我们将介绍如何通过傅里叶级数来精确描述和重构具有特定周期的信号或波形。 1.2 欧拉公式与复数形式的引入： 尽管实数形式的傅里叶级数（正弦和余弦项）在物理直观上更易理解，但复数形式的表示（使用 $e^{inx}$ 项）在理论推导和计算便利性上具有显著优势。本书将详细推导欧拉公式在傅里叶展开中的应用，并阐述复数形式的简洁性。 1.3 傅里叶系数的计算与性质： 重点讲解如何利用内积的概念（在特定函数空间上的积分形式）来计算傅里叶系数。这部分将为后续的正交函数理论打下坚实的基础。我们将深入探讨系数的性质，例如如何利用函数的奇偶性来简化计算。 1.4 收敛性理论——狄利克雷条件与积分的意义： 理论的严谨性要求我们考察级数是否真正收敛于原函数。本书将详细讨论狄利克雷（Dirichlet）条件，这些条件为函数在间断点和边界处的收敛行为提供了明确的指导。我们将分析傅里叶级数在平方可积函数空间中的收敛性，区别于逐点收敛和均方收敛。 1.5 傅里叶级数的应用：经典问题的求解： 理论的建立必须辅以实例。我们将展示傅里叶级数如何用于求解经典偏微分方程（PDEs）的定解问题，例如一维热传导方程和弦振动方程（波动方程）的定性与定量分析。 第二部分：正交函数族与希尔伯特空间 傅里叶级数是特定函数集（正弦和余弦函数）上的展开。本书的第二部分将理论提升到更抽象、更普适的层面——正交函数族。 2.1 内积空间与函数空间的建立： 我们将回顾线性代数中向量空间的内积概念，并将其推广到函数空间。定义在某个区间上的函数可以视为高维空间中的“向量”，它们的“点积”（内积）由加权积分定义。 2.2 正交性与完备性： 阐释正交性的核心意义：函数族中任意两个不同函数的内积为零。这一性质极大地简化了投影和系数的计算（与坐标轴相互垂直的向量基类似）。随后，我们将引入“完备性”的概念，即一个正交函数族是否能够表示空间中的任意函数。 2.3 施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）理论的框架： 这是理解正交函数族生成的通用机制。本书将详细介绍标准形式的二阶线性常微分方程（ODE）——施图姆-刘维尔方程。我们将探讨其特征值问题及其对应的特征函数（即本征函数）所构成的正交函数族。 2.4 经典正交多项式族： 理论的深入离不开对具体正交函数族的掌握。我们将系统地研究以下关键函数族： 勒让德多项式（Legendre Polynomials）： 定义在区间 $[-1, 1]$ 上，在解决球坐标系下的势能问题中至关重要。 切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）： 探讨其在最佳一致逼近理论中的独特地位。 拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）和厄米特多项式（Hermite Polynomials）： 分析它们在量子力学中描述特定势场（如谐振子和氢原子）时的应用。 第三部分：正交展开的应用与高级主题 在掌握了傅里叶级数和一般正交函数族的理论后，本书将探讨更广泛的应用和高级概念。 3.1 函数的逼近与最佳近似： 利用正交性，我们可以找到函数在特定有限维子空间上的“最佳”近似。我们将分析均方误差（$L^2$ 范数下的误差）最小化的原理，并讨论截断级数带来的误差。 3.2 帕塞瓦尔恒等式（Parseval's Identity）的推广： 这一恒等式建立了函数本身的“能量”（或范数平方）与展开系数的平方和之间的精确关系。我们将展示该恒等式如何从傅里叶级数推广到一般的施图姆-刘维尔展开，是能量守恒在函数空间中的体现。 3.3 傅里叶变换的桥梁作用： 傅里叶级数处理周期函数，而傅里叶变换则处理非周期函数。本书将清晰地阐述，傅里叶变换是傅里叶级数在周期趋于无穷大时的极限形式。通过这一视角，读者将理解从离散（级数）到连续（积分）的数学过渡，为学习信号和系统分析中的频率域表示打下坚实基础。 结论：理论的综合与展望 通过对傅里叶级数到一般正交函数理论的系统学习，读者将获得一套强大的分析工具，能够将复杂的物理现象分解为更简单的、具有特定物理意义的本征模式。本书的结构旨在确保理论的严谨性与实际应用（尤其是在微分方程求解中）的紧密结合，为读者在后续学习高等数学物理、应用分析或信号处理课程时提供不可或缺的数学基础。

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