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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Penner, Robert; Kotschick, Dieter; Tsuboi, Takashi

出品人:

页数:524

译者:

出版时间:2008-12-31

价格:USD 86.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9784931469488

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何
• 拓扑学
• 李群
• 微分流形
• 几何群论
• 代数拓扑
• 光滑流形
• 群论
• 动力系统
• 几何学

拓扑流形与微分几何基础 作者： [此处留空，或填写为作者姓名] 出版社： [此处留空，或填写为出版社名称] --- 简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的、关于拓扑流形和微分几何的理论框架。我们聚焦于这些数学领域的基础构建、核心概念的严谨定义，以及它们在现代数学物理中的应用潜力。本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，同时兼顾概念的几何直观性，是数学专业本科高年级学生、研究生以及致力于该领域研究的数学家的理想参考书。 本书的结构精心设计，从最基础的集合论和拓扑空间概念出发，逐步攀升至微分流形的复杂结构，并最终触及黎曼几何的核心思想。我们避免了对特定主题（如李群或微分同胚群）的过度深入，而是致力于构建一个坚实、普适的理论基石。 第一部分：拓扑学基础与度量空间 本部分旨在为后续微分几何的学习打下必要的拓扑基础。我们首先回顾集合论的基本公理和构造，然后迅速过渡到拓扑空间的定义。重点在于理解开集、闭集、邻域、拓扑基以及连续性的抽象定义。我们详尽讨论了拓扑空间中的重要性质，包括紧致性和连通性，并以严谨的代数拓扑工具——同伦群的初级介绍作为本部分的收尾，侧重于其作为区分拓扑空间的拓扑不变量的作用。 紧接着，本书引入了度量空间的概念。我们详细考察了度量、开球、完备性等概念，并展示了完备度量空间（如巴拿赫空间）在分析中的关键作用。收敛性和收敛域的讨论贯穿其中，为后续引入光滑结构和微分做好了分析上的准备。我们特别强调了拓扑结构与度量结构之间的关系与差异。 第二部分：光滑流形：构造与局部结构 本书的核心部分开始于光滑流形的定义。我们从拓扑流形（局部欧几里得空间）的直观概念入手，精确地定义了坐标系（图）和图集（浸渍）。随后，我们将重点放在连接不同图集的关键结构——过渡映射（Transition Maps）。本书强调了要求这些映射是光滑的（$C^infty$）这一条件的数学意义，它允许我们在局部应用微积分工具。 我们详细探讨了光滑流形上的切空间（Tangent Space）的概念。切空间的构建是微分几何的基石。本书提供了两种视角：一是基于曲线在流形上的运动的导数视角，二是基于光滑函数在流形上作用的线性泛函（切向量场）的代数视角。这两种构建方式的等价性得到了严格证明。我们还引入了向量丛的基本概念，特别是切丛，作为研究流形结构的第一步。 张量代数在流形上的推广是本部分的关键进展。我们定义了张量场，包括反变张量和协变张量，以及混合张量。张量场的坐标表示和其在坐标变换下的行为被细致地分析，强调了张量作为几何对象的内在属性，不受所选坐标系的影响。 第三部分：微分算子与微分形式 随着光滑结构和切空间的建立，我们转向在流形上进行分析的工具：微分算子。 微分形式（Differential Forms）的理论是本书的另一个重要支柱。我们从微分 $k$ 形式的定义开始，它们是切空间上 $k$ 次反对称多线性函数。本书系统地推导了外导数（Exterior Derivative） $mathrm{d}$ 算子的构造及其关键性质，特别是 $mathrm{d}(mathrm{d}omega) = 0$ 的自洽性。我们详细阐述了楔积（Wedge Product） $wedge$ 的定义及其在构建高阶形式中的作用。 本书随后深入探讨了流（Flows）和沿向量场的导数。我们定义了李导数（Lie Derivative），它衡量了沿着向量场方向上一个几何对象（如张量场或微分形式）的变化率。李导数在研究流形对称性方面的重要性被突出强调。 德拉姆上同调（de Rham Cohomology）作为拓扑不变量的引入被谨慎处理。我们展示了封闭形式模恰当形式的商空间如何捕获流形的拓扑信息，这为理解全局几何特性提供了强大的分析工具，但叙述保持在基础代数拓扑的范畴内，避免深入到更复杂的谱序列理论。 第四部分：流形上的积分与黎曼度量 本部分将分析工具与几何结构相结合，引入测度和积分的概念。我们讨论了如何在有向流形上定义体积形式（Volume Form），并严格定义了流形上的积分。这需要依赖于对定向流形的精确理解以及对支撑集紧致的微分形式的积分技巧。 最后，本书引入了黎曼度量（Riemannian Metric）。黎曼度量被定义为一个光滑的、正定的、对称的二次型张量场 $g$。我们详细分析了如何使用黎曼度量来定义内积、长度、角度，以及最重要的黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。曲率张量的坐标表示和其几何意义（如测地线的偏离）被深入探讨。 联络（Connection）的概念在黎曼几何中至关重要。本书首先介绍了一般的射线联络，然后聚焦于列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），该联络是唯一与黎曼度量相容且无挠的联络。这使得我们能够定义测地线（Geodesics），作为“流形上的直线”。 总结 本书提供了一条从基础拓扑到黎曼几何的清晰路径，重点在于对光滑流形概念的精确掌握、张量分析的熟练运用，以及微分形式理论的深刻理解。内容涵盖了构造光滑结构、定义切空间、外微分、德拉姆上同调的初步概念，以及黎曼度量的引入和曲率的计算。本书旨在夯实读者的理论基础，为未来进一步研究如李群、辛几何或更高级的微分拓扑打下坚实的基础，但对微分同胚群这一特定代数结构本身的深入研究则被有意地排除在外，以保证对流形基础的全面覆盖。 关键词： 拓扑空间、度量空间、光滑流形、切空间、张量场、微分形式、外微分、德拉姆上同调、黎曼度量、曲率、测地线。

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这本书的阅读体验简直就是一场智力上的攀登之旅，每翻开一页都像是在探索一片未经人烟的数学高地。作者似乎采用了非常独特的叙事方式，不是简单地罗列定理和证明，而是通过一系列精心设计的、环环相扣的问题来引导读者进入微分同胚群这个迷人的世界。我注意到书中花费了大量篇幅来讨论无限维李群的特性，特别是它们在无穷小生成元方面的行为。那种从局部线性近似过渡到整体非线性结构的细腻处理，令人叹服。书中对这些群的“光滑性”的严格要求，似乎也反映了作者对于数学严谨性的执着追求。它更像是一部深入的专题研究，而不是一本涵盖所有内容的教材。对于那些希望了解如何利用泛函分析的工具来研究无限维空间的对称性的人来说，这本书提供了宝贵的资源。虽然有些术语和概念需要查阅其他参考书才能完全消化，但这种挑战性正是其魅力所在，它激发了读者主动学习和探索的欲望，让人感觉自己正在进行一项真正的、富有创造性的数学研究。

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从一个更侧重于应用和直觉的读者的角度来看，这本书的风格显得尤为“学术化”和“纯粹”。它似乎完全没有为工程或物理学中的直接应用提供桥梁，而是将全部精力倾注于挖掘微分同胚群本身的内在美学和结构规律。作者在处理无穷小微分同胚和有限微分同胚之间的关系时，所采用的方法论非常独特，它似乎更偏向于一种内在的、几何代数化的描述，而非传统的解析延拓。我发现书中对“测度”和“不变量”在这些群上的作用的讨论非常具有启发性，这让我开始重新审视在处理高维空间形变时，哪些量是真正保持不变的。总而言之，这本书就像是一部精密的手术刀，精准地切割和分析了某一类数学实体，展示了其复杂和精妙的内部构造。它成功地将我对微分几何的理解提升到了一个全新的、更加抽象和深刻的层次。

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这本书的标题是《群论与微分同胚群》，读完之后，我感觉这本著作在数学领域里，尤其是在几何学和拓扑学的交界地带，提供了一个非常深刻且严谨的视角。作者似乎将重点放在了对特定类型的数学结构——微分同胚群——的性质进行深入探索和分类上。书中对光滑流形上的各种变换群的结构进行了细致入微的剖析，从拓扑性质到代数结构，都做了详尽的论述。我尤其欣赏作者在处理高维情况下的复杂性时所展现出的清晰思路。例如，书中对于紧致流形上微分同胚群的结构定理的论证过程，逻辑链条异常紧密，让人在阅读过程中能真切感受到数学证明的美感和力量。尽管有些章节涉及的微分拓扑基础知识对我来说略显晦涩，需要反复咀嚼，但这恰恰说明了本书内容的深度和广度，它绝非一本面向初学者的入门读物，而是为那些已经在微分几何领域有一定积累的读者准备的饕餮盛宴。它迫使读者跳出传统的分析框架，用群论的视角去审视几何对象的稳定性与形变。

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这本书给我的感觉是，它仿佛是一本为资深研究人员准备的“工具箱”手册，里面装满了处理微分同胚群这一特定数学客体的尖端工具和最新进展。其行文风格非常简洁、高效，几乎没有冗余的解释，所有的信息都以最高密度的形式呈现出来。尤其是在处理规范场论背景下的某些对称性群时，书中展示出的深刻洞察力令人惊叹。作者似乎在努力构建一个普适的框架，用以统一处理不同维度和不同流形上的微分同胚群的行为。我特别关注了关于这些群的中心和它们的局部性质的讨论，这部分内容直接关系到我们对高维流形上刚性与柔性边界的理解。虽然阅读起来需要高度集中精神，因为一个疏忽可能就会错过关键的逻辑跳跃，但这正是这本书的价值所在——它迫使你保持思维的敏锐，并不断地进行批判性思考。

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我必须承认，这本书的抽象程度相当高，它要求读者对现代微分几何的基本概念有着非常牢固的掌握。它似乎专注于研究特定空间上微分同胚的集合所构成的空间本身的性质，比如这些集合空间的拓扑结构、连通性以及它们是否能形成一个“好的”数学对象。作者似乎对“稳定性”这个概念情有独钟，花费了相当大的篇幅去探讨在哪些条件下，这些群会表现出紧凑性或者局部有限生成性。书中的图示相对较少，这进一步凸显了其高度的代数化和分析化倾向。我印象非常深刻的是关于同伦论在这些群上的应用部分，作者巧妙地利用代数拓扑的工具来揭示这些几何变换群中隐藏的非平凡结构。对于那些热衷于纯粹的、基础性的数学结构分析的人来说，这本书无疑是极具价值的参考资料。它提供了一种不常见的、自上而下的宏观视角来看待微分结构。

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