A Radical Approach to Lebesgue's Theory of Integration pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Cambridge University Press

作者:David M. Bressoud

出品人:

页数:344

译者:

出版时间:2008-01-14

价格:USD 39.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521711838

丛书系列:

图书标签:

数学
real
integral
analysis,
Lebesgue
Lebesgue Integration
Real Analysis
Measure Theory
Functional Analysis
Advanced Mathematics
Mathematical Analysis
Integration Theory
Probability Theory
Graduate Level
Mathematics

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具体描述

Meant for advanced undergraduate and graduate students in mathematics, this lively introduction to measure theory and Lebesgue integration is rooted in and motivated by the historical questions that led to its development. The author stresses the original purpose of the definitions and theorems and highlights some of the difficulties that were encountered as these ideas were refined. The story begins with Riemann's definition of the integral, a definition created so that he could understand how broadly one could define a function and yet have it be integrable. The reader then follows the efforts of many mathematicians who wrestled with the difficulties inherent in the Riemann integral, leading to the work in the late 19th and early 20th centuries of Jordan, Borel, and Lebesgue, who finally broke with Riemann's definition. Ushering in a new way of understanding integration, they opened the door to fresh and productive approaches to many of the previously intractable problems of analysis.

《测度论的演进与现代数学基础》一、导言：测度论的诞生与数学分析的重塑本书旨在深入探讨测度论（Measure Theory）在20世纪初如何彻底重塑了经典分析学，并为现代数学，特别是泛函分析、概率论和微分几何奠定了坚实的理论基础。我们不关注某一种特定且狭义的积分理论的激进革新，而是将视角放宽，考察测度论作为一种普适性数学语言的构建历程、核心概念的抽象过程，及其在处理无穷集和不规则函数方面的不可替代性。全书结构围绕测度论的逻辑构建展开：从朴素集合论的局限性出发，逐步引入集合代数、$sigma$-代数，以及最终的测度概念。我们详细分析了博雷尔（Borel）测度在拓扑空间中的自然出现，并探讨了哈尔测度（Haar Measure）在拓扑群上的存在性与唯一性问题，这些都是理解更高级结构的基础。二、从黎曼到勒贝格：积分理论的范式转移本书将黎曼积分（Riemann Integration）视为一个重要的历史节点，而非终点。黎曼积分的局限性——无法处理不规则函数序列的逐点收敛问题，以及其对积分与极限交换顺序的敏感性——是推动数学家寻求更强大工具的直接动因。我们将重点剖析勒贝格积分（Lebesgue Integration）的出现如何通过“化零为整”的策略，从根本上解决了这些难题。这不仅仅是关于“如何定义积分”的问题，更是关于“如何选择合适的函数空间”的问题。我们深入探讨了勒贝格可积函数的空间 $L^p(mu)$，分析了其完备性（即作为一个巴拿赫空间的存在性），以及这些完备空间如何成为泛函分析研究的核心对象。核心章节内容： 1. 可测集与可测函数：严格定义 $sigma$-代数的构造，以及在此基础上如何定义一个函数是否为“可测”，这是构造勒贝格积分的前提。 2. 简单函数逼近：展示了积分的定义如何通过非负简单函数的上确界来构建，这是一种极其精巧的、利用结构化逼近来处理复杂函数集合的方法。 3. 积分的收敛定理：详尽分析了三大关键收敛定理——单调收敛定理（MCT）、法图引理（Fatou’s Lemma）和支配收敛定理（DCT）。我们强调这些定理在交换积分和极限运算时的强大威力，这是黎曼积分体系中无法达到的稳固性。三、测度的广阔应用：概率论与分析的交汇测度论的价值在于其普适性。本书致力于展示测度如何超越单纯的“长度”、“面积”或“体积”的几何直观，成为描述概率和随机性的数学框架。我们将测度论视为概率论的唯一坚实基础。在概率论的语境下，样本空间 $Omega$ 构成了一个基础集合，而 $sigma$-代数 $mathcal{F}$ 代表了可以被“观察”或“定义概率”的事件集合。概率测度 $P$ 赋予这些事件以数值度量。我们在此基础上探讨了随机变量的定义，以及如何使用测度论工具来严格定义期望（Expectation）和条件期望（Conditional Expectation）。案例分析：概率论基础的重建：如何用测度论的语言精确定义独立性、随机向量的联合分布以及中心极限定理的测度论表述。函数空间理论：深入研究 $L^p$ 空间之间的关系，特别是 $L^2$ 空间作为希尔伯特空间的重要性，以及傅里叶分析在 $L^2$ 空间上的完备性论证。四、测度论的高级主题与现代研究前沿本书的后半部分将探讨测度论在更抽象和现代数学分支中的应用，这些应用依赖于对测度结构深刻的理解。 1. Radon-Nikodym 定理：这一核心定理阐述了在一个测度空间上，一个测度如何可以由另一个测度“导出”或“表示”。我们将分析 Radon-Nikodym 导数的概念，及其在统计学中作为似然比（Likelihood Ratio）的根本重要性。 2. 乘积空间与Fubini定理：讨论如何将一维积分推广到高维积分。Fubini 定理保证了在特定条件下多重积分的顺序可以交换。我们必须精确界定“可积”的条件（即 $L^1$ 可积性），以确保这一交换的合法性，这深刻反映了测度论在处理多维积分时的严谨性要求。 3. 与调和分析的联系：探讨测度论如何支撑泛函分析和调和分析。例如，关于狄利克雷函数和黎曼函数在特定测度下的性质研究，以及其在傅里叶级数收敛性证明中的关键作用。结论：理论的深刻性与应用的广度本书的最终目标是让读者理解，测度论提供了一种清晰、统一的数学语言，用于处理涉及极限、无穷和不确定性的问题。它不仅解决了经典分析学中存在的诸多技术难题，更重要的是，它提供了一种结构化的思维方式，使得概率论、泛函分析和更高级的几何学能够在其坚实的逻辑框架上共同发展。本书的论述将侧重于逻辑的严谨性和概念的内在联系，而非仅仅展示某个特定积分工具的“速成”技巧。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

从2015年5月，到2016年3月，我断断续续看了这本书大概6个月，收获很大。前1-4章，我虽然也看了好几遍，但是总是有一种陌生的感觉，没有那种醍醐灌顶，心里一片透彻的感觉。这大概就是自己的修炼还不到家的结果吧。读于5-8章，我看了一遍又一遍，很有感觉，主要是结合着Royd...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

说实话，初次翻开这本书时，我有些担心它的“激进”取向是否会使内容过于晦涩难懂，毕竟勒贝格理论本身就有一定的学习门槛。然而，我的担忧很快就被打消了。作者的写作风格出人意料地具有引导性。他们并没有选择最常见的教科书路径，而是采取了一种更具建设性的方法，从更基础的分析概念出发，逐步搭建起测度空间的宏伟蓝图。这种自下而上的构建方式，极大地增强了读者的自主构建能力，而不是被动地接受既定定义。我特别欣赏作者在引入“积分”这个概念时所做的铺垫工作，那种对黎曼积分局限性的深刻剖析，为后续的理论发展提供了强烈的动机。书中的例题和练习设计得极其巧妙，它们不是为了炫耀技巧，而是精准地对应着理论中的关键难点，迫使读者必须在实践中巩固理解。对于那些已经学过黎曼积分，但对勒贝格积分感到困惑的读者来说，这本书无疑是一剂良药，它能有效地“解构”旧有的思维定势，重塑对积分本质的认知。

评分☆☆☆☆☆

这本书的“激进”之处，绝不仅仅体现在对传统教学顺序的颠覆上，更在于它对“测度”本身的深刻洞察。作者似乎有一种魔力，能将那些看似冰冷的集合论操作，转化为富有生命力的分析工具。我对比了手头其他几本经典教材，这本书在处理测度空间构造的“黏合性”问题时，展现了独一无二的清晰度。它没有回避测度论早期发展中遇到的困难，反而将其作为引入更强大工具的契机。阅读过程中，我多次停下来思考，作者是如何做到在不牺牲严谨性的前提下，将数学的严密性与思想的灵活性完美结合的。这本书更像是一本“思想引导手册”，它教会你如何像一个真正的分析学家那样思考问题，如何从最基本的公理出发，建立起一个功能强大的数学理论体系。对于那些希望跳出题海战术，真正掌握分析学精髓的读者，我强烈推荐这本书，它提供的不仅仅是知识，更是一种看待数学世界的方式。

评分☆☆☆☆☆

我发现这本书的叙事节奏非常紧凑，几乎没有浪费任何一个段落。它直接切入核心，用一种近乎哲学的态度去审视积分的定义。与其他一些侧重于“计算”而非“理解”的教材不同，这本书更侧重于理论的内在逻辑和必然性。它成功地回答了“为什么是这样？”这个问题，而不是简单地告诉你“它是这样”。对于那些已经具备扎实微积分基础，但渴望进入现代分析领域的自学者而言，这本书提供了一个非常可靠的跳板。它的深度足够让研究生受益匪浅，而其清晰的论证结构又不会让高年级本科生感到望而却步。我个人尤其喜欢它对Lp空间探讨的部分，作者没有急于抛出Riesz表示定理这类高深结论，而是循序渐进地构建了函数空间的基础结构，使得后续的收敛性结果像是水到渠成。这种对知识体系的整体把握和精妙布局，让整个学习过程充满了一种探寻真理的快感。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是打开了我对积分理论的全新视角。我之前接触的那些处理方式，总觉得像是在打地基时只关注了砖块的形状，而忽略了整个建筑的美学和结构。这本书则不然，它从一开始就建立了一种极其清晰、甚至可以说是优雅的框架，让我看到了测度论如何自然而然地导向勒贝格积分的构建过程。那种“豁然开朗”的感觉，至今难以忘怀。作者在处理收敛性定理，比如支配收敛定理时，所展现出的洞察力令人敬佩。他们不是简单地罗列公式，而是深入挖掘了背后的直觉和几何意义，这使得原本抽象的数学概念变得触手可及。特别是对简单函数逼近的讨论，作者的处理方式非常精妙，避免了许多初学者容易陷入的繁琐细节，直击核心。读完前几章，我感觉自己对“极限”和“可测集”的理解都提升到了一个新的高度，这对于任何想深入研究泛函分析或概率论的人来说，都是一笔宝贵的财富。这本书的论证路径非常流畅，每一步的逻辑衔接都无可挑剔，仿佛是在阅读一篇精心编排的乐章，高潮迭起，引人入胜。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和符号使用堪称业界典范。在处理如此复杂的数学结构时，清晰的表示法至关重要，而这本书在这方面做得近乎完美。每一个新定义的引入都经过了深思熟虑，既保证了数学上的严谨性，又最大限度地保持了视觉上的可读性。我经常发现，一些在其他教材中需要反复查阅才能理解的符号约定，在这本书中因为上下文的完美衔接而变得不言自明。更重要的是，作者在讲解那些需要高度抽象思维的部分时，运用了大量的类比和直观的几何图像来辅助理解。例如，在阐述如何定义乘积测度和Fubini定理时，作者借助三维空间中的切片概念，使得原本极其抽象的测度扩张问题变得可以想象、可以触摸。这种对教学细节的极致关注，体现了作者深厚的教学功底和对读者学习体验的尊重。它不是一本为数学家写的书，而是一本真正旨在教育和启发下一代分析学家的杰作。

评分☆☆☆☆☆