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出版者:Izd-vo Rostovskogo universiteta

作者:N. K Karapetiants

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1988

价格:0

装帧:Unknown Binding

isbn号码:9785750700516

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 偏微分方程
• 积分方程
• 算子理论
• Volterra算子
• Fredholm算子
• 奇异积分方程
• 数值分析
• 应用数学
• 俄罗斯数学

现代数学前沿探索：函数空间、偏微分方程与非线性动力系统 本书并非关于具有对合算子的积分方程及其应用的专业著作，而是深入探讨现代数学多个核心领域的综合性研究。 本卷聚焦于抽象函数空间理论、具有特定结构的一般偏微分方程的解的性质，以及复杂的非线性动力系统的稳定性与遍历性分析。本书旨在为高等数学、理论物理和应用数学领域的科研人员、高级研究生提供一套严谨且富有启发性的理论框架和分析工具。 --- 第一部分：广义函数空间与算子理论的深化 本部分从更抽象的拓扑向量空间视角出发，重新审视经典函数空间（如 Sobolev 空间、Bessel 势空间）的性质，并引入了更具挑战性的非局部算子理论。 第一章：拓扑群上的函数分析基础 本章首先回顾了局部紧阿贝尔群上的傅里叶变换及其在 $L^p$ 空间上的推广。随后，重点引入了具有柔性条件的测度空间上的函数集合，特别是那些不满足标准测度论假设的“广义”函数空间（如 Fréchet 空间和 DCPO 空间）的构造与拓扑属性。 非标准测度空间上的积分表示： 探讨了 Radon 测度在非局部紧集上的推广，以及如何定义这些空间上的 Lebesgue 积分及其收敛性。 紧算子的精确刻画： 在有限维或光滑流形上定义的线性算子，其紧性（Compactness）条件往往是经典分析的基石。本章将这些条件扩展到无限维、非光滑背景下，特别是那些作用于 Sobolev-Slobodetskii 范畴的伪微分算子。讨论了 Riesz 理论在这些抽象空间中的有效性边界。 第二章：非局部算子的谱理论与正则性 引入了涉及积分核（Kernel）而非微分算子的非局部算子。这类算子在描述介观物理现象（如凝聚态物理中的长程相互作用）时至关重要。 分数阶积分算子与广义半群： 详细分析了 Riemann-Liouville 和 Caputo 类型的分数阶积分算子，它们在描述粘弹性材料和反常扩散过程中的作用。利用 Hille-Yosida 理论，建立了这些算子生成连续半群的充分必要条件，并研究了这些半群的平滑性（Smoothness）提升能力。 解的先验估计（A Priori Estimates）： 针对由非局部算子构成的线性方程组，推导了基于能量泛函（Energy Functionals）的先验估计，特别是当算子满足某些次椭圆性（Sub-ellipticity）或具有特定核函数的限制时，解的梯度和更高阶导数的有限性分析。 --- 第二部分：高维偏微分方程的弱解与正则性理论 本部分聚焦于那些控制自然界基本过程的偏微分方程（PDEs），特别是那些涉及高维、非线性项以及不规则系数的方程。 第三章：变分法与最小正则性要求 本章从变分原理出发，构建了许多重要 PDE 的弱解概念，并系统地研究了弱解的内在正则性（Intrinsic Regularity）。 拟线性方程的 $C^{1,alpha}$ 估计： 详细考察形如 $operatorname{div}(A( abla u)) = f$ 的方程（其中 $A$ 是一个满足适当弹性条件的张量）。运用 De Giorgi-Moser 迭代技术和 Harnack 不等式，证明了在特定条件下，弱解必然是Hölder连续的。讨论了 $p$-拉普拉斯方程在 $p eq 2$ 时所出现的奇特行为，如尖点解（Cusp Solutions）的存在性。 退化与奇异型方程的比较几何： 分析了系数矩阵行列式为零（退化）或无穷大（奇异）的椭圆型方程。通过引入具有几何意义的函数（如体积形式或曲率），建立了这类方程在边界附近解的渐进行为。特别是对于非线性欧拉-泊松方程，探讨了其解的爆破（Blow-up）速度。 第四章：非均匀介质中的演化问题 本章侧重于时间依赖的方程，特别是那些系数随空间位置变化剧烈的非均匀介质中的传播问题。 非齐次波动方程的散射理论： 在具有不规则边界或散射体存在的情况下，分析了线性波动方程的解的渐近行为。引入了波前追踪技术（Wave Front Tracking）来描述能量流，并讨论了散射矩阵（Scattering Matrix）的性质。 相场模型与能量耗散： 探讨了描述材料微观结构演化的相场模型（如 Cahn-Hilliard 或 Allen-Cahn 方程在非光滑势场下的推广）。重点分析了能量泛函的下界、极小值解的唯一性，以及在时间趋于无穷时系统的耗散机制，证明了系统最终会收敛于一个由极小值曲面定义的平衡态。 --- 第三部分：动力系统的遍历性与混沌分析 本部分转向常微分方程（ODEs）和泛函微分方程（FDEs）所描述的系统，关注其长期行为、吸引子的结构及其遍历性质。 第五章：微分动力系统的吸引子结构 本章主要研究高维非线性系统的全局吸引子（Global Attractors）的拓扑与维数。 核线度与有限维近似： 针对一组描述流体力学（如简化 Navier-Stokes 方程）的非线性 ODE 组，利用其解的平滑性，证明存在一个“核线度”（Kernels of Inertia），表明系统的长期演化可以被一个有限维空间中的演化所精确捕获。计算了该吸引子的 Hausdorff 维数和容量维数（Capacity Dimension）。 拟周期运动与准晶体： 探讨了非完全可积系统中的周期性或拟周期性解。引入了 KAM 理论（Kolmogorov-Arnold-Moser）的现代推广，分析了在微小扰动下，正常（regular）区域和混沌（chaotic）区域之间的边界。对于涉及多个频率的拟周期解，利用解析函数理论证明了它们在特定参数空间内的存在性和稳定性。 第六章：遍历理论与随机系统 本章扩展到具有随机项或内在不确定性的动力系统，分析其遍历性（Ergodicity）和统计性质。 随机微分方程（SDEs）的平稳分布： 针对具有扩散项的非线性 SDEs，如描述金融市场波动或生物种群增长的模型，推导了其平稳分布（Stationary Distribution）的性质。运用 Feller 检验和 Kolmogorov 后向方程，证明了在特定势能景观下，系统的解具有遍历性，即时间平均等于空间平均。 混沌系统的熵与信息流： 引入了度量熵（Measure-Theoretic Entropy）的概念，用于量化系统的混沌程度。详细分析了例如 Lorenz 系统在不同控制参数下的 Lyapunov 指数谱，并将其与系统的拓扑熵联系起来，解释了信息产生和耗散的过程。 --- 结论： 本书在上述六个既相互关联又独立成篇的章节中，构建了一座连接纯粹抽象代数、现代泛函分析与复杂系统建模的桥梁。它要求读者具备坚实的泛函分析和 PDE 基础，并期望激发读者对现代数学前沿问题的深入思考与研究。

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我必须承认，我的专业背景更偏向于应用数学和偏微分方程的数值解法，所以当我打开这本纯理论的专著时，最初的感受更多是敬畏而非亲近。我翻阅它的目的，主要是想探究在某些非经典（non-classical）边界条件或奇异扰动问题中，那些基于对合性质的算子是如何被用来构造解析解的。这本书的深度和广度是令人印象深刻的，它并没有停留在介绍对合算子的基本定义和性质上，而是迅速深入到这些算子在Hilbert空间、Banach空间乃至更抽象的拓扑空间中如何影响微分方程解的存在性和唯一性。其中关于特征值问题和谱理论与对合性质之间联系的论述，尤为精彩。作者对细节的把控达到了近乎偏执的程度，每一个前提条件的设定都经过了深思熟虑。阅读过程中，我常常感到自己像是置身于一个巨大的、逻辑严密的迷宫中，需要不断地回头查阅前几章定义的符号和定理，以确保自己没有在某个细微的逻辑推导上出现偏差。这本书对读者的数学成熟度要求极高，它不会浪费时间去“温和地引导”你，而是直接将你置于理论的核心。对于那些希望将数学工具应用于解决复杂物理或工程问题，并需要理解“为什么”这些工具有效的人来说，这本书是不可或缺的参考。它提供的是基础的哲学支撑，而非简单的公式堆砌。

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接触这本著作，就像是进行一次高强度的智力攀登。它的知识密度极高，每一页都塞满了需要耗费大量时间去消化吸收的信息。这本书的结构非常清晰，从基础的代数结构定义开始，逐步过渡到具体的微分和积分方程中的应用案例，最后落脚于更广阔的算子代数理论。我特别喜欢作者在引言中对“对合”这一概念的哲学性探讨——即“逆转与其自身统一”的内在对称性，如何映射到数学结构中。书中关于特征空间分解的讨论，为理解非厄米系统中的态演化提供了重要的理论参考。虽然我主要关注的是其在随机过程中的应用潜力，但不得不说，这本书在纯粹的算子理论部分打下的基础，比我读过的任何一本标准教材都要坚实得多。它要求读者具备极强的符号处理能力和抽象思维能力，它挑战的不是你是否能做题，而是你是否能构建一套全新的理论体系。读完之后，你会觉得自己在看待线性算子时，拥有了一副全新的、更高清的“眼镜”，能够洞察到那些平时被模糊处理的细节和内在的相互作用。这本书无疑是一部经典的、具有里程碑意义的专业文献。

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说实话，如果不是为了完成我的博士论文中关于某个特定算子代数结构的研究，我可能永远不会接触到这本著作。它在我的桌子上静静地躺了很久，那密密麻麻的西里尔字母和复杂的希腊符号，形成了一种令人望而生畏的氛围。这本书的排版和符号系统继承了传统的俄国数学教科书的风格，简洁、高效，但对非母语读者（比如我）来说，初期阅读体验并不友好。我最大的收获是关于算子半群理论与对合算子之间的桥梁构建。作者巧妙地利用了对合算子在某些群作用下的不变性，来简化和阐释半群的生成元性质。在处理那些涉及无穷维李群作用的方程时，这本书提供的视角是革命性的。它迫使我重新审视了那些我原本认为是理所当然的“连续性”假设。其中关于算子平方等于恒等算子（$T^2 = I$）的特殊情况下，如何利用这种对称性来分解函数空间，进而将一个复杂问题转化为两个相对简单的子问题，这一部分的讨论，简直是一场数学上的盛宴。这本书的论述风格非常“内敛”，它不会高声宣布自己解决了什么里程碑式的问题，而是通过严密的逻辑推导，让读者自己去体会其深远的影响。

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这本厚重的俄文著作，光是书名就透着一股高深莫测的劲头，光是拿起它，就能感受到它所承载的理论重量。我记得我是在一个二手书店的角落里偶然发现它的，封面设计朴实无华，但内容的气息却让我立刻被吸引。我当时对泛函分析和算子理论的研究还处于起步阶段，看到“involutive operators”（对合算子）这个词，立刻明白这不是一本可以轻松翻阅的入门读物，它直指数学前沿那些晦涩但至关重要的核心问题。坦白说，阅读过程充满了挑战，每一个章节都需要反复推敲，很多证明过程的跳跃性很大，初次接触时，常常需要借助其他辅助教材来理解作者的逻辑链条。然而，一旦跨过那道最初的理解障碍，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。它不像某些当代教材那样过度依赖图示或简化模型，而是以一种近乎纯粹的数学语言，严谨地构建起一个完整的理论框架。我特别欣赏作者在处理某些关键引理时的那种“古典”美感，仿佛能触摸到上世纪中叶数学家们思维的脉络。这本书更像是一部工具箱，里面装满了用于解决特定类型微分方程和积分方程的精密工具，每一个工具的打磨都极其精细，虽然使用起来需要扎实的预备知识，但一旦掌握，其效用是其他通俗读物无法比拟的。它不仅是知识的传授，更是一种思维方式的训练，教会你如何以一种更深层次、更结构化的视角去看待线性算子在特定代数结构下的行为。

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我尝试将这本书推荐给一位学习泛函分析的研究生，结果他只坚持了前三章就放弃了。这充分说明了这本书的“门槛”有多高。它不是一本用来建立直觉的书，它是一本用来巩固和深化精确知识的书。对我个人而言，我最欣赏的地方在于其对“应用”的定义。这里的“应用”并非指具体的工程实例，而是指将这种抽象工具应用于解决其他更抽象的数学问题，例如拓扑动力学系统中的不变集分析，或是量子场论中的某些对称性约束。书中对“有界线性算子”的讨论，细致入微到几乎让人觉得多余，但正是这些细微之处，保证了后续所有高级结论的绝对可靠性。比如，它花了大量篇幅讨论在弱拓扑下，对合算子的性质是如何发生微妙变化的，这在处理诸如Wasserstein距离等度量空间上的算子理论时，具有极强的指导意义。这本书的价值不在于它提供了多少现成的“答案”，而在于它提供了一套近乎完美的“提问”和“验证”的数学框架。它要求读者不仅要“知道”一个定理的结论，更要“理解”这个定理成立的每一个必要的、不可或缺的条件。

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