Finsler Geometry and Applications (Mathematics and Its Applications (Ellis Horwood Ltd)) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Ellis Horwood Ltd

作者:Aurel Bejancu

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1990-06

价格:USD 54.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780133179750

丛书系列:

图书标签:

• Finsler geometry
• Differential geometry
• Non-Euclidean geometry
• Mathematics
• Applied mathematics
• Geometry
• Topology
• Physics
• Calculus of variations
• Optimal control

几何学前沿：微分几何与拓扑的深度探索 一部涵盖现代微分几何、拓扑学以及它们在数学物理中应用的权威性著作。 本书旨在为读者提供一个深入、全面的视角，探索21世纪数学物理研究中的核心领域：黎曼几何、辛几何、规范理论的几何基础以及非交换几何的最新进展。本书的撰写基于对该领域经典理论的深刻理解，并着重阐述了近年来涌现出的重要新概念和新工具。 第一部分：黎曼几何与度量空间的极限 本书首先奠定了微分几何的坚实基础，但其重点迅速转向超越标准黎曼几何的范畴。 1. 结构与曲率的精细分析： 我们深入探讨了魏斯泰因-汉密尔顿流（Ricci Flow with Surgery）的最新进展，特别是关于三维流形奇异点分类的最新研究成果。重点分析了如何利用动力系统方法来理解曲率的演化，以及如何通过局部正则性估计来控制解的长期行为。书中详细梳理了卡拉比-丘流（Calabi-Yau Flow）在代数几何中的应用，以及它与极小曲面理论的深刻联系。 2. 测地线几何与非经典度量： 超越了标准的黎曼度量，本部分聚焦于 Finsler 空间之外的度量结构，特别是广义相对论中的因果结构。我们详细分析了洛伦兹流形（Lorentzian Manifolds）上的Cauchy 问题的适定性，并引入了拓扑曲率（Topological Curvature）的概念，该概念用于量化流形上度量张量的非局部退化特性。 特别地，书中深入讨论了Minkowski 空间的非线性扰动理论，以及在低维时空中奇点形成的几何特征。我们引入了“信息曲率”的概念，它描述了在度量空间中信息传播速度的几何限制。 3. 度量几何与粗糙空间： 鉴于大数据和机器学习对空间结构理解的需求，本章考察了粗糙几何（Rough Geometry）的最新进展。这包括对度量粗糙化（Metric Roughness）的严格定义，以及如何在无穷远尺度上定义“切空间”——例如，通过利用Lipschitz 截面来近似局部结构。我们探讨了低维欧几里得空间中点集的几何测度理论（Geometric Measure Theory），侧重于$mathbb{R}^n$中具有非光滑边界的区域的变分问题。 第二部分：拓扑与代数结构的交汇 本部分将几何结构提升到更抽象的拓扑和代数层次，探索几何对象如何被拓扑不变量所区分。 4. 高阶同调理论与代数拓扑： 本书系统回顾了层论（Sheaf Theory）在代数几何中的应用，并将其推广到微分几何背景下。我们详细分析了超曲率（Super-curvature）在微分分级流形（Graded Manifolds）上的定义，以及它与De Rham 上同调之间的关系。重点讨论了K-理论在描述向量丛上的几何特性的作用，特别是其在稳定化定理中的应用。 5. 规范场论的几何基础： 本章深入探讨了纤维丛（Fiber Bundles）理论在物理学中的应用，但着重于其数学结构，而非物理模型。我们严格定义了规范连接（Gauge Connections）和曲率形式，并利用Berry相位的几何解释，阐明了Chern-Simons 泛函的拓扑性质。书中还讨论了规范群（Gauge Groups）的表示论如何影响流形上的几何结构。 6. 非交换几何的几何直觉： 本书对阿兰·孔涅（Alain Connes）的非交换几何进行了非标准化的介绍。我们侧重于迹公式（Trace Formula）的几何解释，以及如何利用谱序列来重建传统的微分几何对象。我们考察了非交换空间上的“距离”概念，以及它与非交换概率论的联系，特别是关于量子测度的几何构型。 第三部分：应用与交叉领域 最后一部分展示了抽象几何概念如何解决具体领域的难题。 7. 几何分析与偏微分方程： 本章聚焦于几何结构如何影响椭圆型和双曲型偏微分方程（PDEs）的解的存在性和正则性。我们分析了黎曼曲面上拉普拉斯-贝蒂算子（Laplace-Beltrami Operator）的谱性质，并讨论了如何利用几何不等式（如Sobolev不等式在曲率空间中的推广）来确定解的唯一性。我们探讨了Moser-Trudinger 不等式在常曲率几何中的边界行为。 8. 几何在信息科学中的潜在用途： 本节探讨了将测地线和曲率的概念应用于复杂网络和高维数据的结构分析。我们讨论了图黎曼几何（Riemannian Geometry on Graphs），其中图的边权重被视为度量张量的离散化。重点分析了图拉普拉斯算子的特征值如何编码网络的内在几何拓扑，以及如何利用这些信息来改进聚类和降维算法的鲁棒性。 9. 几何与拓扑的动力学系统： 本书以对动力系统几何的探讨结束。我们考察了李群上的动力学，特别是Geodesic Flow在曲面上一致性（Ergodicity）的判定标准。书中通过引入Lyapunov 指数的几何意义，来区分可积系统和混沌系统在曲率空间中的行为差异。 --- 目标读者： 本书面向拥有扎实的微分几何、拓扑学或代数基础的研究生、博士后研究人员以及希望拓宽其数学视野的资深学者。它假设读者对流形、张量分析和基础拓扑有清晰的认识。本书旨在成为该领域未来研究的坚实参考资料。

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这本书的深度和广度令人印象深刻，它不仅仅停留在理论介绍的层面，而是将Finsler几何的实际应用场景描绘得淋漓尽致。我惊喜地发现，作者不仅详尽讨论了其在经典力学和广义相对论中的潜在联系，还花了大量篇幅探讨了它在信息几何、最优传输理论，乃至更现代的机器视觉中的映射可能性。这种跨学科的视野，极大地拓宽了我对该领域价值的认知。书中的例题和习题部分设计得非常巧妙，它们不是简单的重复计算，而是巧妙地引导读者去探索理论的边界，激发对更高阶问题的思考。完成其中几个较难的习题后，我感觉自己对理论的掌握又上了一个新的台阶，这种“学以致用”的成就感，是阅读一本纯粹的理论教材难以获得的。

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初读几章，我立刻感觉到作者在阐述复杂概念时所展现出的非凡耐心和清晰度。那些通常被认为晦涩难懂的Finsler几何中的核心定义和公理，在这里被分解成了易于理解的步骤，每一个定义后面都紧跟着详尽的几何直观解释和必要的代数推导。我特别喜欢作者在引入新概念时，总是会先回顾读者可能已经熟悉的（比如黎曼几何中的相应概念），然后巧妙地指出Finsler几何的独特之处和扩展性，这种对比性的教学方法极大地帮助我构建了新的认知框架。书中对于张量分析和微分形式的运用也处理得非常得心应手，没有那种为了炫技而堆砌公式的倾向，所有的数学工具都服务于几何直观的表达，使得原本抽象的理论“活”了起来。对于一个想要深入研究这个领域的自学者来说，这种循序渐进、兼顾严谨性与可读性的写作风格，简直是救星一般的存在。

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坦率地说，这本书的阅读门槛并不低，它要求读者对微分几何和拓扑学有扎实的预备知识。对于初学者来说，可能需要配合其他入门级的参考书一起使用。然而，正是这种对数学深度的坚持，保证了内容的可靠性和前沿性。我注意到作者在关键的定理证明部分，采取了一种非常审慎的态度，力求每一步推理都无懈可击，并且经常会附上对证明策略的简短评论，解释为什么选择这种特定的证明路径。这种“幕后解析”的处理方式，对于那些希望真正理解“为什么”而非仅仅“是什么”的读者来说，是极其宝贵的。它像一位经验丰富的导师，在你困惑时轻声指引，而不是简单地甩给你一个既定的结论。

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这本书的语言风格非常学术化，但又保持了一种近乎诗意的精确性。它没有使用过多的口语化表达，保持了极高的专业水准，这使得它在国际学术交流中具有很强的通用性。我特别欣赏作者在总结章节时所流露出的对该领域未来发展的展望，那种既谦逊又充满激情的语气，让人感受到数学家对于未知领域的探索热情。这本书更像是一份详尽的“路线图”，它不仅教会了你如何操作已有的工具，更重要的是，它启发你思考如何利用这些工具去开辟新的数学疆域。对于任何致力于Finsler几何乃至相关非黎曼几何领域进行深入研究的学者或研究生而言，这本书无疑是一部必不可少的、具有里程碑意义的著作，其价值将随着时间的推移愈发凸显。

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这本书的封面设计简洁大气，那种深蓝色的底色配上烫金的字体，立刻就给人一种严谨、专业的印象。我拿起它，首先被它厚实的质感吸引住了，感觉像是在捧着一本沉甸甸的知识宝库。书的装帧质量非常出色，纸张的触感细腻，印刷清晰，即使是那些复杂的数学符号也能看得一清二楚，这对于需要长时间阅读和查阅的专业书籍来说，无疑是一个巨大的加分项。我最欣赏的是它的目录结构，编排得极其有条理，从基础概念的引入到高级理论的阐述，层层递进，逻辑链条清晰可见，让人对整本书的知识脉络有一个非常直观的把握。这种精心的排版和装帧，体现了出版方对学术内容的尊重，也极大地提升了阅读体验。我甚至愿意把它放在书架上，不仅仅是因为它的内容，更是因为它本身作为一件“工具书”的美学价值。

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